ФОТП 2013

15.5 Политропный процесс

Условие определяющее политропный процесс, записывается в виде:

р υn = const,

(15.37)

где р и υ – параметры состояния системы в ходе политропного процесса: абсолютное давление и удельный объём соответственно, Па, м3,кг; n - показатель политропы (безразмерная постоянная величина, значение которой может находится в интервале от –∞ до +∞).

Условие (15.37) говорит о том, что в ходе всего политропного процесса произведение давления газа на его удельный объём в степени n остаётся постоянным. В частности, для любой промежуточной точки политропного процесса можем записать:

р υn = p υn ,		(15.38)
1	1

где р1 и υ1 – значения давления и удельного объёма в начале процесса, Па, м3/кг.

Из (15.38) можно получить уравнение политропного процесса вида:

			υ	k
	p p(υ( p		1		,	(15.39)
			υ
	1

где р (υ) – обозначает функциональную зависимость давления от удельного объёма в политропном процессе, Па.

Связь между параметрами состояния в политропном процессе устанавливается с помощью уравнения состояния идеального газа. Запишем это уравнение для начального и конечного состояния газа точек 1 и 2:

	p υ			RT					(15.40)
1			1	1				.
	p2υ2 RT2
Разделим обе части (15.40) друг на друга:
	p1υ1					T1		.	(15.41)
	p2υ2
					T2
Записав (15.41) для конечного состояния, получаем:
	p	2	υn		p υn ,				(15.42)
			2	1				1

или

61

	p							υ		n
		1						1				,		(15.43)
	p							υ2
			2
или							1
		p								υ
				2		n
											1
		p								υ		.		(15.44)
											2
				1
Подставляя (15.43) в (15.41), получаем:

												p υ									υ	2		n			υ						υ	2	n 1				T
													1 1															1												1
												p									υ						υ						υ					T		.					(15.45)
													2		υ	2												2
																						1												1						2
Подставляя (15.44) в (15.41), получаем:
											1														1								1							n 1
	p υ					p			p	2	n				p						p			n						p		1 n				p			n				T
		1 1					1										1				1										1						1							1
	p					p			p						p																												T		. (15.46)
		2	υ	2			2										2		p			2				p					2				p		2							2
										1

Исходная система уравнений (14.6) с дополнительным условием для политропного процесса имеет вид:

du dq dl,
dq c dT ,
dl p dυ,				(15.47)
dq
ds T ,
	υ	n
p p	1
		.
υ

В результате интегрирования второго уравнения с учётом последнего условия получаем:

2

υ 2

υ 2

p 1 υ1n

d υ

p 1 υ1n

υ 2

d υ

dl

l

pd υ

n

n

1

υ1

υ1

υ

υ1

υ

62

		p	υn		1		1
		1	1					.	(15.48)
		n 1			υn 1		υn 1
					2		1

В результате преобразования (15.48) с учётом (15.44) и уравнения состояния идеального газа, получаем следующие формулы:

	p	υn			1	1				p n		1	1
l	1	1								1 1
	n 1				υn 1	υn 1				n 1		n 1	n 1
					2	1						1	2

			p		υ														n 1				p									p			n 1
																	1																2	n
				1	1																			1 1
				n 1																			n 1									p
										1							2												1
																																	1
	R T1			1		T2									R				T T										1		(RT RT							)
	n 1					T								n		1											n 1
																			1				2									1					2
							1
									1				( p υ						p		υ		) .																(15.49)
							n			1
															1 1					2		2
В результате интегрирования первого уравнения в (15.47) получаем:
											2															2					2
											du u 2 u1 dq dl q l
или											1															1					1
																		q = (u2 – u1) + l.																					(15.50)

Из (15.50), учитывая (15.49), формулу Майера и свойство идеального газа (….), получаем:

q = (u2 – u1) + l = сυ · (Т2 – Т1) + n R 1 (T1 T2 ) =

R

c p cυ

c

υ

(T

2

T )

c

υ

(T

2

T

)

n 1

1

n 1

1

c p

1

c

n k

υ

c

υ

1

c

υ

(T

2

T ) ,

(15.51)

n 1

n 1

1

63

где сυ – удельная теплоёмкость газа при постоянном объёме, Дж/(кг · К); n

– показатель политропы; k – показатель адиабаты.

Если первое уравнение в (15.47) проинтегрировать до некоторой промежуточной точки политропного процесса, в которой газ имеет температуру Т, то вместо (15.51) получаем:

				dq = сn dT,	(15.52)
где	cn	n k		– по определению является истинной теплоёмкостью
		cυ
		n 1

идеального газа в политропном процессе, Дж/(кг · К).

После интегрирования четвёртого уравнения в (15.47) получаем формулу для вычисления изменения энтропии газа в политропном процессе:

2	T2 dq		T2 c		dT	T2 dT			T
ds s2 s1		T			n	cn	T	cn ln	2	.	(15.53)
					T				T
1	T		T			T			1
	1		1			1

Политропный процесс является обобщающим термодинамическим процессом для идеального газа. Он, в частности, охватывает всю совокупность основных термодинамических процессов, что показано в табл. 15.1.

Таблица 15.1

Значение показателя политропы n для основных термодинамических процессов в идеальном газе

№	Наименование	Условие	Вид условия	Значение n
п/п	процесса	(свойство)	политропы:
		процесса	p υn = const
1	Изобарный	p = const	pυ0 = const	n = 0
			(т.к. υ0 = 1)
2	Изотермический	T = const или	pυ1 = const	n = 1
		pυ = const
3	Адиабатный	q = 0	pυk = const	n = k
		(pυk = const)
4	Изохорный	υ = const	pυn = const	n = ∞
			1	1
			p n υ const	(т.к. p n po	1)

Данные таблицы 15.1 можно проиллюстрировать в рυ-координатах с помощью графиков изображённых на рис. 15.9, где изображены графики всех четырёх основных термодинамических процессов.

64

Рис. 15.9. Основные термодинамические процессы (табл.15.1), соответствующие значениям показателя политропы n

Из рис. 15.9 видно, что положение графиков на р υ плоскости монотонно меняется с ростом значения показателя политропы n: от горизонтальной линии, при n = 0, до вертикальной – при n = ∞.

Очевидно, что промежуточным значениям n на рис. 15.1 будут соответствовать промежуточные графики процессов. Например, если 0 < n < 1, то график политропы будет проходить между изобарой и изотермой.

Такое свойство позволяет с помощью политропного процесса описать в рυ-координатах отдельные участки у любого произвольного процесса, что часто применяется в расчётах.

Примечание:

Формула для удельной теплоёмкости идеального газа в политропном процессе (15…) позволяет построить график зависимости с от показателя политропы n, которая имеет вид, приведённый на рис. 15.10.

65

Рис.15.10. Зависимость сn от n cn	n k
	cυ	:
	n 1

ср, сυ и k – удельные теплоёмкости при постоянном давлении, объёме и показателе адиабаты некоторого газа (например, азота) соответственно

Анализ графика на рис. 15.2 показывает:

•если n = k (адиабатный процесс), то cn = 0;

•если n < 1 и n > k, то cn >0;

•если 1 < n < k, то cn < 0;

•если n = 1 + 0 (изотермический процесс), то cn = +∞;

•если n = 1 – 0 (изотермический процесс), то cn = –∞;

Таким образом видно, что у одного газа теплоёмкость существенно меняется в зависимости от того, в каком процессе к нему подводится (или отводится) теплота.

66

Библиографический список

1.Путилов, К.А. Термодинамика. / К.А. Путилов. – М.: Наука, 1971. –

с. 375.

2.Ерошенко, В.А., Евтушенко, А.В. Существующий механический эквивалент теплоты. Является ли он фундаментальной константой? Интер-

нет: iee.kpi.ua / files / 2009 ukr / 47.pdf/

3. История физики за последние	столетие.Интернет: alxandr
4784.narod.ru/

4.Кириллин, В.А., Сычёв, В.В., Шейндлин, А.Е. Техническая термодина-

мика. / В.А. Кириллин [и др.]. – М.: Наука, 1976. – 512 с.

5.Теплотехнический справочник в двух томах. / Под ред. В.Н. Юренев, П.Д. Лебедев. Изд. 2-е, перераб. Т.1. – М.: Энергия, 1975 – 744 с.

6.Зоммеррельд, А. Термодинамика и статистическая физика. / Перевод с нем. В.Л. Бонг-Бруевича. – М.: Изд-во Иностранной литературы, 1955. – 479 с.

7.Ферми, Э. Термодинамика. / Перевод с англ. Б.А. Вайсмана. - Харьков.: Изд-во Харьковского университета, 1969. – 139 с.

8.Куинн, Т. Температура. / Перевод с англ. под ред. Д.Н. Астрова. –

М.: Мир, 1985. – 448 с.

9.Базаров, И.П. Термодинамика. / И.П. Базаров. – М.: Высш. шк., 1983. – 344 с.

10.Крутов, В.И., Исаев, И.А. Техническая термодинамика. / В.И. Кру-

тов [и др.]. – М.: Высш. шк., 1991. – 384 с.

11.Пригожин, И., Кондепули, Д. Современная термодинамика. От тепловых двигателей до диссипативных структур. / Пер с англ. Ю.А. Данилова и В.В. Белого. – М,: Мир, 2002. – 461 с.

12.Румер, Ю.Б., Рывкин, М.Т. Термодинамика статистическая физика

икинетика. / Ю.Б. Рдмер. – М.: Наука, 1977. – 552 с.

13.Сивухин………..

67

П Р И Л О Ж Е Н И Я

Приложение 1

По определению, д а в л е н и е – это сила, действующая на единицу площади поверхности по направлению нормали (перпендикулярно к плоскости поверхности). В системе СИ единицей давления является паскаль (Па) – это давление, вызываемое силой один ньютон (1 Н), равномерно распределенной по поверхности площадью 1 м2.

Абсолютное давление, например газа, на некоторую поверхность обусловлено ударами молекул газа об эту поверхность. При каждом ударе молекула газа действует на поверхность с определенной силой. Обратно направленная сила, с которой действует на молекулу поверхности сосуда, заставляет молекулу отражаться от неё.

Если бы в объёме содержалось всего несколько молекул, то их удары следовали бы друг за другом редко и беспорядочно и нельзя было бы говорить ни о какой регулярной силе давления, действующей на поверхность. Если же число молекул в объёме очень велико, то будет велико и число ударов их о поверхность. Бесконечно малые силы отдельных ударов складываются в конечную и почти постоянную силу, действующую на поверхность. Эта сила и есть абсолютное давление газа, которое рассматривается в термодинамике.

Из этого очевидно следует, что абсолютное давление не может быть отрицательным.

Абсолютное давление определяется по показаниям приборов (манометров и вакуумметров) и вычисляется по соотношению:

● при рабс > В:

рабс = рман + В,

(1)

где В – барометрическое (атмосферное) давление, Па; рман – манометрическое давление, показывающее избыток давления измеряемой среды над атмосферным давлением, Па;

● при рабс < В:

рабс = В – рвак,

(2)

где рвак – вакуумметрическое давление, которое ниже атмосферного. Оно показывает насколько давление рассматриваемой среды меньше атмосферного (здесь вакуум трактуется как разрежение), Па.

Барометрическое – атмосферное давление определяется с помощью барометров.

68

Современные приборы позволяют определять давление с точностью до ±0,01 Па.

Температура – термин латинского происхождения. Означает смешение (холодного и горячего).

Считается, что первый прибор для наблюдения за измерениями температуры был изобретен примерно в 1597 году итальянским учёным Галилео Галилеем. Назывался он термоскоп. Термоскоп был выполнен в виде небольшого стеклянного шарика с припаянной к нему стеклянной трубкой. Функционировал термоскоп следующим образом. Вначале шарик нагревали. При этом нагревался и воздух, находящийся внутри шарика. Затем конец трубки опускали в воду. Через некоторое время воздух в шарике охлаждался до прежней температуры. Соответственно объём воздуха в шарике уменьшался и вода, под действием атмосферного давления, поднималась по трубке вверх на некоторую высоту. После этого термоскоп был готов к работе. Если температура окружающего воздуха, а значит и воздуха внутри шарика, изменялась, то изменялся и уровень воды в трубке. При потеплении температура и объём воздуха в шарике возрастали и соответственно уровень воды в трубке понижался. При похолодании наоборот – уровень воды повышался.

Таким образом, уже в первый измерительный прибор был заложен принцип, который широко применяется и сегодня: использовать для изме-

рения температуры свойство тел изменять свой объём при изменении температуры.

В17 веке термоскоп был усовершенствован флорентийскими учёными. В итоге прибор перевернули шариком вниз и заполнили его спиртом. Действие прибора основывалось на расширении спирта при нагревании.

В1714 году голландский учёный Д.Г. Фаренгейт изготовил ртутный термометр. Шкала строилась по двум реперным (базовым) точкам. Нижняя

точка – это температура смеси снега и нашатыря (0 F). Верхняя – нормальная температура человеческого тела (100 F). В наше время шкалой Фаренгейта пользуются в США.

В1730 году французский учёный Р.Ремюр описал изобретённый им спиртовой термометр со шкалой, которая делилась на 80-ть частей в интервале температур от таяния льда до кипения воды. Такое деление объяснялось тем, что спирт расширяется между этими точками в отношении

1000 : 1080.

В1742 году шведский учёный А.Цельсий разделил этот же интервал

на 100 частей, но принял за 100 С температуру таяния льда, за 0 С – температуру кипения воды (при давлении одна атмосфера).

69

В1750 году шведский учёный Штремер «перевернул» шкалу Цельсия,

иона приняла современный вид. Однако наименование «градус Цельсия» осталось.

Внастоящее время в физике основной температурной шкалой является абсолютная термодинамическая шкала температур (АТШТ) (ее называют также шкалой Кельвина).

Она не зависит от индивидуальных свойств термометрического вещества (например, газа) и построена таким образом, что принципиально позволяет измерять любые температуры, как бы высоки или низки они ни были.

Строится АТШТ на том свойстве цикла Карно, что его термический КПД зависит только от температур нагревателя и холодильника (не зависит от конструкции машины Карно и от свойств используемого рабочего вещества).

Можно показать, что абсолютная термодинамическая шкала тождественна со шкалой идеально-газового термометра [13]. Поэтому от 4 до 1338

К(точка затвердевания золота) АТШТ практически осуществляется с помощью газового термометра.

Практически газовый термометр можно реализовать двумя способами. В одном способе объем газа поддерживается постоянным, а индикатором температуры служит давление. Во втором способе поддерживается постоянное давление газа, а измерение температуры сводится к измерению его объема. Принципиально оба способа равноправны. Но первый способ более удобен, а потому он и применяется на практике.

Газовый термометр находится вне конкуренции среди термометров другого типа по чувствительности, точности и воспроизводимости измерений.

На практике, для повышения точности измерений, давление в газовом термометре должно быть достаточно низким (атмосферное и ниже). Например, самая низкая температура, которая может быть измерена с помо-

щью газового термометра, составляет примерно минус 272 С при условии, что термометр наполнен гелием при низком давлении [1].

Газовые термометры не пригодны для измерения очень высоких и очень низких температур.

При температурах более тысячи градусов многоатомные газы начинают диссоциировать, т.е. их молекулы распадаются на атомы. При еще более высоких температурах атомы ионизируются, т.е. распадаются на электроны и положительно заряженные ионы. Из-за этого в газах перестаёт выполняться линейная зависимость между температурой и давлением, даже при очень низком давлении.

70