ЦОС_Lek_3

9

Лекция 3. Z-преобразование

1. Преобразование Лапласа.

2. Z-преобразование.

3. Основные свойства Z-преобразования.

4. Обратное Z-преобразование.

5. Связь комплексных переменных p и z. Смысл нормированной частоты.

6. Связь комплексных p- и z-плоскостей.

7. Таблица соответствий.

3.1. Преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа (интеграл):

,

где:

— функция непрерывного времени (оригинал);

— ее изображение по Лапласу (L-изображение);

 — оператор Лапласа:

. (3.1)

Преобразование Лапласа справедливо в области абсолютной сходимости интеграла.

В теории линейных аналоговых систем оно позволило ввести фундаментальное понятие _____________________________ в _____________________________ виде.

При переходе имеем дискретное преобразование Лапласа (ряд):

.

3.2. Z-преобразование

Выполнив замену переменных:

, (3.2)

получаем формулу Z-преобразования (ряд):

, (3.3)

где — последовательность (оригинал); — ее z-изображение.

Z-преобразование справедливо (3.3) в области абсолютной сходимости ряда:

,

называемой областью сходимости z-изображения.

3.3. Основные свойства Z-преобразования

1. Линейность: если последовательность равна линейной комбинации последовательностей, то ее z-изображение равно линейной комбинации z-изображений данных последовательностей:

Доказательство

2. Теорема о задержке: z-изображение последовательности, задержанной на отсчетов, равно z-изображению незадержанной последовательности, умноженному на :

,

.

Доказательство:

3. Теорема о свертке: z-изображение свертки последовательностей равно произведению z-изображений сворачиваемых последовательностей:

.

Доказательство:

3.4. Обратное Z-преобразование

Точная формула:

,

где C — замкнутый контур на комплексной z-плоскости, охватывающий начало координат и особые точки (полюсы) дробно-рациональной функции .

Способы вычисления обратного Z-преобразования

1. На основе теоремы Коши о вычетах:

,

где — k-й полюс, а — вычет в k-м полюсе:

.

Пример 3.1

Задано z-изображение . Найти оригинал .

1) отображается относительно положительных степеней z — числитель и знаменатель умножается на _____:

2) определяются полюсы; в данном случае имеем __________ полюс:

3) определяются вычеты: в данном случае имеем __________ вычет:

__________

. (3.4)

2. С помощью разложения на простые дроби.

Дробно-рациональная функция может быть представлена в виде суммы простых дробей, если, если ___________________________________________

, (3.5)

где — k-й полюс; — ___________________; — константа разложения при k-м полюсе.

На основании свойства _________________Z-преобразования и (3.4) получаем оригинал:

. (3.6)

3. С помощью таблицы соответствий, которая будет получена в разд. 3.6.

3.5. Связь комплексных переменных p и z. Смысл нормированной частоты

Комплексные переменные p и z связаны соотношением (3.2):

;

. (3.7)

Комплексная переменная z может быть представлена в двух формах:

• алгебраической:

, (3.8)

где ; .

Рис. 3.1. Комплексные p- и z-плоскости

• показательной:

. (3.9)

Сравнивая с (3.7), имеем:

Нормированная частота (рад) — это ________________________________

3.6. Связь комплексных p- и z-плоскостей

1. Начало координат p-плоскости:

.

Начало координат p-плоскости отображается _________________

Рис. 3.2. Отображение начало координат p-плоскости на z-плоскость

2. Точки p-плоскости :

.

Две точки отображаются в ____________________

Рис. 3.3. Отображение точек p-плоскости на z-плоскость

3. Отрезок на оси частот p-плоскости :

, .

Отрезок длиной отображается ____________

Рис. 3.4. Отображение отрезка p-плоскости на z-плоскость

4. Ось частот p-плоскости :

, .

Ось частот p-плоскости отображается ____________________________

____________________________________________________________________

Неоднозначность отображения точек p-плоскости на z-плоскость

Множеству точек на p-плоскости (рис. 3.5):

,

на z-плоскости соответствует — __________

Однозначное отображение — внутри коридора , где (один оборот единичной окружности).

Рис. 3.5. Отображение точек p-плоскости на z-плоскость

5. Коридор в левой p-полуплоскости: , :

, где и .

Коридор в левой p-полуплоскости отображается ____________________

Рис. 3.6. Отображение левой p-полуплоскости на z-плоскость

3.6. Таблица соответствий

Пример 3.3

Найти z-изображение цифрового единичного импульса :

Пример 3.4

Найти z-изображение последовательности и область его сходимости.

Изобразить карту нулей и полюсов.

Область сходимости:

Для определения нулей и полюсов z-изображение выражается относительно положительных степеней z!

.

Нули — это значения z, при которых___________________________________

Полюсы — это значения z, при которых ________________________________

Карта нулей и полюсов — это символическое изображение нулей и полюсов на z-плоскости одновременно с единичной окружностью.

Пример 3.5

Найти z-изображение последовательности и область его сходимости. Изобразить карту нулей и полюсов.

Область сходимости:

Нули и полюсы (числитель и знаменатель умножаем на ):

Карта нулей и полюсов:

.

Таблица соответствий

№	Последовательность	z-изображение
1
2
3

Пример 3.6

Найти оригинал по z-изображению . Учесть ННУ.

Изобразить карту нулей и полюсов.

В таблице имеем соответствие:

На основании свойства линейности и теоремы о задержке:

С учетом ННУ:

Нули и полюсы (самостоятельно):

Карта нулей и полюсов (самостоятельно):

Пример 3.7

Найти оригинал по z-изображению . Учесть ННУ.

Изобразить карту нулей и полюсов.

В таблице имеем соответствие:

Определим и :

На основании свойства линейности и теоремы о задержке:

С учетом ННУ:

Полюсы

Нули (умножаем на числитель и знаменатель и находим корни числителя):

.

Получены комплексно сопряженные нули. Определим их модуль и аргумент:

; ;

.

Карта нулей и полюсов: