ЦОС_Lek_2

6

Лекция 2. Линейные дискретные системы: описание во временной области

1. Определение и свойства ЛДС.

2. Математическое описание ЛДС.

3. Нулевые начальные условия.

4. Физическая реализуемость.

5. Импульсная характеристика.

6. Соотношение вход/выход: формула свертки.

7. Соотношение вход/выход: разностное уравнение.

8. Рекурсивная и нерекурсивная ЛДС.

9. КИХ и БИХ ЛДС.

10. Устойчивость ЛДС. Второй критерий устойчивости.

2.1. Определение и свойства ЛДС

Системой называют_______________________

В соответствии с определением, системой можно назвать и физическое устройство, и математическое преобразование.

В ЦОС система представляет собой математическое преобразование.

Систему называют линейной, если она обладает свойствами:

1)_________________________

2)_________________________

Систему называют дискретной, если воздействие и реакция (рис. 2.1) — ________________

Рис. 2.1. К описанию линейной дискретной системы (ЛДС)

Систему называют стационарной, если она обладает свойством __________________

Параметры стационарной системы ____________________________

2.2. Математическое описание ЛДС

Подобно линейной аналоговой системе, ЛДС описывается в трех областях:

• временной;

• области комплексной переменной (см. Лекцию 3);

• частотной.

В каждой из этих областей математическое описание ЛДС включает в себя:

• в статическом режиме — ____________________________________

• в динамическом режиме — ___________________________________

2.3. Нулевые начальные условия

Нулевые начальные условия (ННУ) означают, что до начала воздействия ()

______________________________________________________________________

(2.1)

где i и k — ______________________________________

Признаком ННУ является то, что в отрицательной области времени все значения воздействия и реакции равны ______________

2.4. Физическая реализуемость

ЛДС называется физически реализуемой, если для нее выполняются условия физической реализуемости:

1) при ННУ реакция ___________________

2) при ННУ реакция в любой момент времени зависит от __________________

2.5. Импульсная характеристика

Во временной области основной характеристикой ЛДС является импульсная характеристика (ИХ).

Импульсной характеристикой называется _______________________

Рис. 2.2. К определению ИХ

ИХ называют основной характеристикой ЛДС, т. к. ____________________________

2.6. Соотношение вход/выход: формула свертки

Определим реакцию на произвольное воздействие при известной ИХ .

Воздействие реакция:

1. согласно определению:

2. согласно свойству инвариантности во времени:

3. согласно свойству однородности:

4. согласно свойству аддитивности при ННУ ():

5. согласно фильтрующему свойству цифрового единичного импульса, слева — __________________, а справа — реакцию :

Полученное соотношение вход/выход называют формулой свертки, которая имеет две тождественные записи:

Пример 2.1

Вычислить реакцию по формуле свертки (2.2):

…

Сравним с вычислением реакции линейной аналоговой системы по формуле свертки

.

1. Для вычисления интеграла необходимо выбрать численный метод — алгоритм.

2. Любой из них будет неточным (содержать методическую погрешность).

Для ЛДС вычисление реакции по формуле свертки выполняется _____________ ______________________________

Следовательно, при переходе получена формула, непосредственно описывающая __________________ вычисления реакции. Методическая погрешность в вычислениях ________________.

Пример 2.2

Определить, является ли ЛДС, соотношение вход/выход которой описывается формулой свертки, физически реализуемой при ННУ. Рассмотрим (2.2):

1. реакция не может возникнуть раньше воздействия:

2. согласно примеру 2.1, реакция зависит от _________________________________

Пример 2.3 (самостоятельно)

Задано воздействие длины и ИХ длины . Найти реакцию по формуле свертки (2.2) и выразить длину свертки относительно и :

2.7. Соотношение вход/выход: разностное уравнение

Для линейной аналоговой системы с одним входом и одним выходом соотношения вход/выход имеет вид линейного дифференциального уравнения, коэффициенты которого зависят от R, L, C, а порядок равен количеству реактивностей:

.

При переходе это уравнение преобразуется в линейное разностное уравнение (РУ), где производным соответствуют разделенные разности:

.

В области дискретного нормированного времени РУ имеет вид:

. (2.4)

где i и k — ______________________________;

Коэффициенты РУ и называют _____________________

Пример 2.4

Вычислить реакцию по РУ (2.4):

…

Сравним с решением линейного дифференциального уравнения:

1. Необходимо выбрать численный метод решения — алгоритм.

2. Любой из них будет неточным (содержать методическую погрешность).

Для ЛДС вычисление реакции по РУ выполняется ________________________. Следовательно, при переходе получено уравнение, непосредственно описывающее ____________ вычисления реакции. Методическая погрешность в вычислениях _______________

Пример 2.5

Определить, является ли ЛДС, соотношение вход/выход которой описывается РУ (2.4), физически реализуемой при ННУ:

1. реакция не может возникнуть раньше воздействия:

2. согласно примеру 2.4, реакция зависит от _________________________________

2.8. Рекурсивная и нерекурсивная ЛДС

ЛДС называется рекурсивной, если __________________________________________

На практике выполняется условие

.

Порядок рекурсивной ЛДС равен максимальной задержке реакции .

ЛДС называется нерекурсивной, если _______________________________________

. (2.5)

Порядок нерекурсивной ЛДС равен максимальной задержке воздействия .

2.9. КИХ и БИХ ЛДС

Определим ИХ ЛДС по ее РУ на основе определение ИХ.

Пример 2.6

Определить ИХ _______________________ЛДС ______ порядка по РУ:

.

Перепишем РУ с учетом определения ИХ:

и определим отсчеты ИХ:

Выводы:

1. ИХ нерекурсивных ЛДС — ______________________, отсюда тождественное название ____________________

2. Значения (отсчеты) ИХ КИХ ЛДС равны ____________________

, (2.6)

3. Длина ИХ (количество отсчетов ИХ) равна _____

Пример 2.7

Определить ИХ _____________________ЛДС _____ порядка по РУ:

.

Перепишем РУ с учетом определения ИХ:

и определим отсчеты ИХ:

…

Вывод: ИХ рекурсивных ЛДС — ______________________, отсюда тождественное название ____________________

2.10. Устойчивость ЛДС. Второй критерий устойчивости

ЛДС называют устойчивой, если при ограниченном воздействии:

и произвольных начальных условиях реакция будет ограниченной:

.

где и — любые сколь угодно большие положительные числа.

Второй критерий устойчивости ЛДС: для того чтобы ЛДС была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие абсолютной сходимости ряда:

. (2.7)

Доказательство:

Определим реакцию по формуле ____________________:

ее модуль:

и максимум модуля:

.

Необходимость: если реакция ограничена:

,

необходимо, чтобы ______________________

Достаточность: для того чтобы реакция была ограниченной, достаточно, чтобы _____________________________________

Выводы:

1. КИХ ЛДС ________________________________

2. Для БИХ ЛДС ____________________________