Matematika
.docx1( 1) Понятие функции: зависимость переменой Y от аргумента X, при которой каждому значению аргумента X соответсвует еденственное значение Y.
2) Понятие предела функции в точки: lim F(x) = F(x0) x->x0
3) Предел: Число b называется пределом функции F(x) при x стремящимся к a, если для любого числа E>0 найдется такое число б>0, что при всех X не= a, удовлетворяющих неравенству |x-a|<б, будет выполнено неравенство |F(x)-b|<E
4) Предел обозночается так: lim F(x)=b x->a
5) Теорема 1: если при x->a существует предел функций F(x) и g(X), то существует также предел их суммы равный сумме пределов функции F(x) и g(x). lim ((F(x)+g(x))=lim F(x)+lim g(x) X->a
6) Теорема 2: если при x->a существует предел функций F(x) и g(X), то существует также предел их произведений, равный произведению пределов функций F(x) и g(x). lim (F(x)*g(x))=lim F(x)*lim g(x) X->a
7) Теорема 3: если при x->a существует предел функций F(x) и g(X) и предел функции g(x) отличен от нуля, то существует также предел отношения F(x)/g(x), равный отношению пределов lim (F(x)/g(x))=lim F(x)/lim g(x) X->a)
2(Опр#1. Велечина называется бесконечно большой в некоторой точке если ее предел равен + или + ∞, такая велечина называется бесконечно большой.
Опр#2. Велечина обратная бесконечно большой, есть велечина бесконечно малая.
Опр#3. Велечина предел которой в точке равен нулю называется бесконечно малой в этой точки.
Опр#4. Велечина обратная бесконенчо малой есть велечина)
3(1) Первый замечательный предел. lim sinx/x = 1 x->0 [0/0]
2) Второй замечательный предел. lim(1+1/x)^x=у [1^∞])
4(1) Производная функции в точке называется: предел отношения приращению функции к приращению аргумента, когда прирощение аргумента стремится к 0. (g(x)+f(x))'= g'(x)+f'(x)
2) Правила дифференцирования:
2.1) (U/V)'=(U'*V-U*V')/V^2 - производная частного равна производная числителя умноженное на знаменатель минус числитель умножить на производную знаменателя т разделить всё на квадрат знаменателя.
2.2) (U*V)'=(U'*V+U*V') - производная произведения равна производной первого множителя на второй плюс первый множитель умножить на производную второго.
2.3) (U±V)'=U'±V' - Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумму (разности) производных этих функций.)
5(Опр#1. Дифферинциалом функции в точке Xo основная часть изменения функции в этой точке.
dy=y'(Xo)*dx
Опр#2. Дифферинциалом функции равен произведение производной функции в точке, на изменение аргумента в этой точке.
дельта X=dx
Применение к приближенным вычислениям.
ΔY~f'(Xo)*dx
f(X)-f(Xo)~f'(Xo)dx => f(x)
f(x)~f(Xo)+f'(Xo)dx
y(x)~y(Xo)+dy(Xo)
Значение функции приближенно равно значению функциии в точке Хо плюс дифференциал функции в этой точке.
)
6(Действие, обратное дифференцированию называется итегрированием.
Опр#1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если выполняется равенство.
F'(x)=f(x))
7(Опр#1. Неопределенным интегралом функции f(x) на переменной x(по dx) называется совокупность первообразных под интегральной функции.
∫ f(x)dx=F(x)+с (F(x)+C)'=f(x)
Свойства:
1) (∫ f(x)dx)'=f(x) Производная от неопределеногоинтеграла равна подинтегральной функции.
2) d (∫f(x)dx)=( ∫ f(x)dx)'*dx=f(x)dx Деференциал от неопредленого интеграла, равен подинтегральной функции.
3) ∫ С*f(x)dx=С*∫ f(x)dx Постояный множитель можно вынести за знак неопределенного интеграла.
4∫(f1(x)±f2(x)dx=∫f1(x)dx±∫ f2(x)dx Неопределный интегралом суммы функции равен сумме неопределеных интегралов каждого слагаемого.
Опр#2.Непосредсвенное интегрирование - интегррование с использованием таблицы, с использованием свойств и алгебраических преоброзований.) 8(1) ∫ U*dv=U*V-∫ V*du
2) ∫ X*sinx*dx = | U=x, dv=sinx*dx, du=u'*dx, du=dx, V ∫ sinx*dx=-cosx| = X(-cos)-∫ - cos*dx = -xcosx+sinx+C)
9(∫ а до b, f(x)dx=F(x) | a до b F(b)-F(a)
Опр. 1 Определнный интеграл y=f(x) по переменной x(dx) равен разности значений первообразной в верхнем и нижнем пределах.
Свойства определеного интеграла.
1) ∫ a до b, C*f(x) = С ∫a до b, f(x)dx
2) ∫ a до b, f(x)dx = 0
3) ∫ a до b, -f(x)dx = - ∫ a до b, f(x)(dx)
4) ∫ a до b, (f1(x)±f2(x))dx = ∫ a до b, f1(x)dx ± ∫ a до b, f2(x)dx)
10(Вычесление площади с помощью опр. интеграла.
Разобьем промежуток интегрирование (a,b) на n частей (равных) h=(b-a)/n
Xo=a, X1=Xo+h
Вычеслим значение функции в каждой полученной точки.
Yo=f(Xo)
Опр. 1 - Определенным интегралом функции f малое от X по dx на промежутке от a до b называется предел интегральной суммы составленной для функции f малое от X когда число разбиений отрезка ab стремящемся к ∞
∫ a до b, f(x)dx=[n->oo]lim [n;E;k] f(Xk)(b-a)/n
Опр. 2 - Определенным на промежутке от a до b функции f(x) по dx есть площадь криволенейной площади aABb ограниченной с верху графиком функции f(x), снизу отрезком [a;b] на оси Ox; слева и справа прямыми x=a; x=b, паралельными оси Oy.
1) |∫ a до b, f(x)dx| = SaABb
2) S=∫a до c, f(x)dx+|∫ c до b, f(x)dx| x=с, f(x)=0 (пересечение с Ox)
3) S=∫ a до b, f1(x)dx - ∫a до b, f2(x)dx, f1(x)=f2(x)-> x1=a x2=b
4) ∫ c до d, фи(y)dy, y=f(x)=>x фи(y)
Vox=П*∫ a до b, f^2(x)dx - объём
Voy=П*∫c до d, фи^2(y)dy - объём
S't=U мгновенная скорость в момент времени.
U't = S''t=a)
11(Общим решением диф. уравнения, называется функция y, Зависящая от переменной X и постоянной C
y=фи(X,C1,C2,...,Cn) - О.Р.
Частным решением диф. уравнения называется решение полученное из общего решения фиксированным постоянным С
y=Фи(X,C)
x=xo*y=yo
Диф. Уравнения с разделяющимися переменными.
M1(x) * y'+ M2(y)=0
1) Введем замену: y'=dy/dx; M1(x)*(dy/dx)+M2(y)=0
2) Разделим переменные: M1(x)*(dy/dx)=-M2(y)|*dx
M1(x)(dy/<dx>)*<dx>=-M2(y)*dx|:(M1(x)*M2(y))
<текст> - сокращение
(<M1(x)>*dy)/(<M1(x)>*M2(y)=-(<M2(y)>*dx)/(M1(x)<M2(y)>)
∫ (dy)/(M2(y))=-Интеграл(dx)/(M1(x))
3) Проинтегрируем
F1(y)=F2(x)+C
y=фи(X,C) - О.Р.
F1(y)-F1(x)=С - Общий интеграл)
12(Уравнение содержащие в левой части производную функции а в правой выражение зависящее от отношения y'=Фи(y/x)
y'=Фи(y/x)
1)Введем замену
y/x=u
y=x*u
y'=(x*u')=u+x*u'
2)Введем данную замену
y'=f(y/x)
u+x*u'=f(u) - du
Получили уравнение первого порядка с разделяющимися переменными
а) u'=du/dx;u+x*(du/dx)=f(u)
б) x*(du/dx)=f(u)-u|*dx
x*du=(f(u)-u)*dx|:x
(x*du)/x=((f(u)-u)/x)*dx|:(f(u)-u)
(du)/(f(u)-u)=dx/x
в) ∫(du)/(f(u)-u)=∫(dx/x)
F(u)=ln|x|+c
F(y/x)=ln|x|+c
г)y=f(x,c) - О.р.
f(y/x)-ln|x|-с общий интеграл)
13(Диф.уравнением первого порядка называется уравнение вида:
y'+ P(x)*y=Q(x)
1)Введем замену
y=u*v
y'=(u*v)'=u'*v+u*v'
u'v+u*v'+p(x)*u*v=Q(x)
u'*v+u*(v'+p(x)*v)=Q(x)
2)Приравнять выражение в способах к 0.
v'+p(x)*v=0
v'=(dv/dx)=-P(x)v|:dx
dv=-p(x)v|:v
dv/v=-P(x)dx
Интеграл dv/v = - интеграл P(x)dx
ln|v|=F(x)+c c=0
v=e^F(x)
3)Подставим найденную функцию
u'*e^(F(x))+u*0 = Q(x)
u'*E^(F(x))=Q(x) - Dy
(du/dx)*e^F(x)=Q(x)|*xdx
du*e^F(x)=Q(x)*dx|*e^F(x)
(du=Q(x))/(e^F(x))*dx
∫ du = ∫ (Q(x)*dx)/(e^F(x))
u=F1(x)+c
4)y=u*v
y=u*v-(F1(x)+c)*e^F(x) - Общее решение)
14(SQR - квадратный корень числа
y"p*y'*dy=0, p,q-const
1)y"=k^2;y'=k,y=1=k^0
1*k^2+p*k+q=0 - характеристическое
2)Находим корни кв. уравнения
Д=P^2-4q
a) Д>0 - 2 различных действ. корня
k1,2=-(p±SQR(Д)/2
Общее решение ОЛДУ
y=C1*E^k1*x+C2*e^k2*X
б) Д=0 - один корень(или два одинаковых) и тогда
k1=k2=-P/2=k
y=e^kx*(c1+c2*x) - о.р.2
в) Д<0 - два сопряженных комплексных числа
k1,2=-(p±SQRД)/2=-(p±SQR(1.01)*j^2)/)(2)=(-p±j*SQR|Д|)/2=-(P/2)±((SQR|Д|)/2)j=альфа±бета*j - общее решение диф. уравнения
y=e^d*x(c1*cosбета(x)+c2sinбета(x)))
15(Числовой ряд называется сходящимся, если предел последовательности нармонических сумм, при n->oo равен числовому значению.
выражение вида: a1+a2+...+an+...=[oo;E;i=1]ai называется числовым рядом, где ai-iый член ряда(число)
Признак даламбера: Если предел отношение последующего члена ряда к предыдущему ((an+1)/(an)) при n->oo меньше 1, то ряд сходится,
больше расходится,равен вопрос о сходимости остается открытым (n->oo)lim((an+1)/(an))=l
Признак сравнения: Если члены знакоположительного ряда (1), начиная с некоторого номера не превосходят соответствующее членов ряда(2), то их сходимости ряда (2)(с большими членами) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1)(с меньшими значениями)следует расходимость ряда (1)
a1+a2+...+an+...(1)
b1+b2+...+bn+...(2)
Радикальный признак каши: Если предел при n->oo корня n-ой степени из n-ого члена ряда (x->oo)lim nSQR(an)=q
Достаточный признак расходимости ряда: Если предел n->oo члена ряда (n-oo)lim(an)<=>0 То ряд расходится)
16(Признак лейбница - исследование на сходимость знакочередующегося ряда. Ряд первый сходится если его члены монотонно убывают по абсолютноей величине и предел n-ого члена ряда при n->oo равен 0
(n-oo)lim(An)=0
|a1|>|a2|>|a3|>...)
17(Ряд вида U(x)+U2x+...+Un(x)=[oo;E;n=1]Un(x) называется функциональным рядом
Ui(x) - функция
Те значения переменной x при которых функциональный ряд превращяется в числовой ряд называется областью определения ряда
Областью сходимости ряда называется те значения x при которых данный ряд сходится.
Число R называется радиусом сходимости ряда, если |x|<R - ряд при данных X сходится абсолютно. |X|>R - при таких X ряд расходится)
18(Ряд Тейлора - разложение функции в степенной ряд по степеням (x-a)
f(x)~f(a)+(f'(a)/1!)*(x-a)'+(f"(a)/2!)*(x+a)^2+(f'"(a)/3!)*(x-a)^3+...+(f^n(a)/n!)(x-a)^n
Ряд макларена - разложение функции в ряд по членам x:
f(x)~f(a)+(f'(0)/1!)*x'+(f"(0)/2!)*x^2+(f"'(0)/n!)*x^2+...)
19(Ряд Фурье - это ряд содержащий тригонометрические функции
Тригонометрический ряд имеет вид:
f(x)~ao/2+(a1cosx+b1sinx)+(a2cos2x+b2sin2x)+...+(ancosnx+bnsinnx)+...=ao/2+[oo;E;n=1](ancosnx+bnsinnx)
-П<=x<=П
ao,an,bn, - коэфф. ряда
ao=∫от -П до П, f(x)dx
an=∫ от -П до П, f(x)cos(nx)dx
bn=∫ от -П до П, f(x)sin(nx)dx)
20(Комбинаторика - это подсчет числа комбинация, которой можно составить из каких то элементов на некотором множестве.
0!=1
1)Pn - Перестановка из n элементов - это кол-во всевозможных различных комбинация, составленных из этих n элементов.
2)Cn^m - Сочетание из n элементов по m - это количество всевозможных различных подмножеств по m элементов составленных по множестве из n элементов.
3)An^M - Размещение элементов по m - количество всевозможных различных упорядоченных комбинация, составленных по множестве из n элементов)
22(Законы умножения и сложения вероятностей
1)Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
p(A+B)=P(A)+P(B)
Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного выполнения.
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B)
2)вероятность произведений двух независемых событий равна произведению вероятностей этих событий.
P(A*B)=P(A)*P(B)
Вероятность произведения двух зависимых событий равна одного из них умноженной на вероятность при условии что первое произошло.
P(A*B)=P(A)*Pa(B)*Pв(A)
Pв(A)=P(A|B)-условия вороятности события (A))
23(Случайная величина.Дискретная и непрерывная случайные величины.
1)Случайной величиной называется величина которая в результате опыта может принемать то или иное значение.
2)Дискретной случайной величиной "Прирывная" называется такая величина которая в результате опыта может принимать определённые значение с определённой вероятностью счёткое множество.
3)Неприрывной случайной величиной называется такая величина принимает значения из-за некоторого конечного или бесконечного промежутка.)
24(Закон распределения случайной величины.Числовые характеристики дискретной случайной величины.
1)Закон распределения дискретной случайной величины-это соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями
Задаётся закон распределения графически,аналитически и таблицей.
2)Числовые характеристики ДСВ
Математическое ожидание дискретной случайной величины-это сумма произведений всех возможных значей ДСВ на их вероятности
M(x)=[n;E;i=1]Xi*Pi=Xi*Pi+X2*P2+...Xn*Pn
Свойства Математического ожидания
1)M(c)=c
2)M(cx)=c*M(x)
3)M(xy)=M(x)*M(y)
4)M(x+y)=M(x)+M(Y))
27(Задачи математической статистики.Основные понятия.Осноные воборочные характеистики.
1)Выборка называется множество всех объектов,случайным образом обработанным из всей совокупности расматреваемых объектов.
2)Объём выборки-число объёктов совокупности.(генеральный или выборочный)
3)Вариционный ряд-последовательность вариантов,записаном в возратающем порядке.
4)Статистический ряд-перечень вариантов их соответствующих или относительных частот.
5)Размах выборки-наибольшие заначение минус наименьшие значение выборки.
6)Полигон частот-ломаная отрезка которая соединяет точки.)
27(Погрешность арифметических вычислений.
1)Абсолютная погрешность приближённого значения величины-это модуль разности точного и приближённого значений величин
Δ=|в-а|
2)Относительная погрешность-это дробь в числители абсолютная погрешность разделить на точное значение и умножить на 100%
Δ =(|в-а|/в) *100%)
28 29(Численное дифференцирование.Численное интегрирование
∫ (от а до б)f(X)dx=SaAВв
Разобьём промежуток интегрирования ав на n частей
n-число разбиений
h-шаг=в-а/n
вычислить значение переменной x в каждой точке разбеения
Xо=a
X1=Xо+h
X2=X1+h
Xk=(X(k-1))+h
Xn=(X(n-1))+h
Вычислим значение функции в каждой из точки разбеения
Yо=f(Xо)
Y1=f(x1)
Y2=f(x2)
Yк=f(Xк)
Yn=f(Xn)
вычисление определённого интеграла по формуле трапеций
S1=(Yо+y1/2)*h
S2=(Y1+y2/2)*h
S3=(Y2+y3/2)*h
∫ (от а да в)f(x)dx=(в-а/n)*(Yо/2+Yn/2+Y1+Y2+...+Yn-1))