Колледж телекоммуникаций DTO_Zanyatie_63

Математика 1 курс СПб ГУТ Колледж телекоммуникаций

ДТО Занятие № 20 Симметрия в пространстве 3

Занятие № 63 СИММЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

1. Симметрия относительно точки.

2. Симметрия относительно прямой.

3. Симметрия относительно плоскости.

4. Решение задач.

1. Симметрия относительно точки.

Определение. Точки Aи называются симметричными относительно точки O, если O – середина отрезка .

Точка O называется центром симметрии, эта точка считается симметричной самой себе.

Определение. Точка называется центром симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно неё некоторой точке той же фигуры.

Если фигура имеет центр симметрии, то она обладает центральной симметрией.

2. Симметрия относительно прямой.

Определение. Точки Aи называются симметричными относительно прямой a, если прямая a проходит через середину отрезка и перпендикулярна к этому отрезку.

Прямая a называется осью симметрии данных точек. Всякая точка этой прямой считается симметричной самой себе.

Определение. Прямая называется осью симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно неё некоторой точке той же фигуры.

Если фигура имеет ось симметрии, то она обладает осевой симметрией.

3. Симметрия относительно плоскости.

Определение. Точки A и называются симметричными относительно плоскости α, если плоскость α проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему.

Плоскость α называется плоскостью симметрии, а всякая точка этой плоскости симметрична самой себе.

Определение. Плоскость называется плоскостью симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно неё некоторой точке той же фигуры.

Если фигура имеет плоскость симметрии, то она обладает зеркальной симметрией.

В геометрии центр, оси и плоскости симметрии многогранника называются элементами симметрий этого многогранника.

4. Решение задач.

1. Сколько центров симметрии имеет двугранный угол и отрезок.

Двугранный угол не имеет центра симметрии.

Отрезок AB имеет один центр симметрии – середина данного отрезка O.

2. Сколько осей симметрии имеет куб.

Куб имеет 9 осей симметрий: 3 оси, проходящие через центры противолежащих граней;

6 осей, проходящих через середины противолежащих рёбер, но не принадлежащие одной грани.

3. Сколько плоскостей симметрии имеет правильная четырёхугольная пирамида и правильная треугольная пирамида.

Четырёхугольная правильная пирамида имеет 4 плоскости симметрии: две плоскости проходят через вершину пирамиды и диагональ основания;

две другие через вершину пирамиды и прямые, проходящие через середины противолежащих рёбер основания.

Правильная треугольная имеет 6 плоскостей симметрии, проходящих через ребро и середину противолежащего ребра.

Контрольные вопросы:

1. Сколько центров симметрии имеет параллелепипед, правильная треугольная призма.

2. Сколько осей симметрии имеет отрезок, правильный треугольник.

3. Сколько плоскостей симметрии имеет правильная четырёхугольная призма, отличная от куба.