shpory

Предел функции

определена в открытом интервале , содержащем точку , за исключением может быть самой точки

Предел –постоянное число а переменной х, при котором для каждого, наперед заданного произвольно малого положительного числа ε можно указать такое значение переменной х, что все последующие значения переменной будут удовлетворять |x-a|< ε.

Предел функции-Число А называется пределом функции в точке x₀ (или при x–>x₀) если для любого ε>0 найдется δ>0, такое что для всех x, удовлетворяющих условию |x-x₀|<δ, x≠x₀ справедливо неравенство |f(x)-A|<ε.

Предел на бесконечности

Число А называется пределом функции при x–>∞ если для любого положительного ε (ε>0) найдется δ>0, такое что для всех x, удовлетворяющих условию |x|>δ, справедливо неравенство |f(x)-A|<ε

Односторонние пределы: бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к а сущ-нно влияет на значение предела ф-ии. Поэтому вводится понятие одн. пределов.

Односторонние пределы: Если в определении предела вместо условия |x-a|<δ, x≠a наложить условие a<x<a+δ,то мы получим односторонний предел

Если a-δ<x<a, то мы получим предел слева

Если предел слева и справа совпадают, то существует общий предел

=>

Свойства пределов: (единственность и ограниченность).

Теорема: Если предел существует, то он единственен. (Числовая последовательность может иметь только один предел.).

Доказательство: метод от противного lim_x→af(x)=b, lim_x→af(x)=c, b/=c . Возьмем ε=∣b−c∣, по определению и свойству окрестности найдется выколотая окрестность т.а Uo(a,δ), в которой одновременно будут выполняться неравенства ∣f(x)−b∣<2∣b−c∣∣f(x)−c∣

<2∣b−c∣ ,тогда в точках этой же окрестности ∣b−c∣=∣(b−f(x))+(f(x)+c)∣≤

∣f(x)−b∣+∣f(x)−c∣<2∣b−c∣+2∣b−c∣=∣b−c∣ противоречие (от неправильно допущения).

Теорема: Ф-я ограничена в интервале, если для всех х из интервала |f(x)|<M<∞. Ф-я ограничена в точке х₀, если она ограничена в некоторой(очень малой) окрестности этой точки.

● Если ф-я имеет lim_x→х0f(x)=b, то она ограничена в этой точке.

● Если ф-я б.б. в точке х₀, то она не ограничена.

P.S. Не всякая б.б. ф-я является ограниченной.

P.P.S.

Бесконечно большая ф-я(б.б.)-ф-я y=f(x) называется б.б. при x→х0, если для любого числа M>0 существует такое число δ= δ(М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|x-x₀|< δ, выполняется неравенство |f(x)|>M.

● функция может быть неограниченна, но не быть бесконечно большой.

Если при является бесконечно большой () и

, то

, то

Бесконечно малые(определение).

Б.м. величина-переменная, предел которой =0.

(Ф-я y=f(x) называется б.м. при x→х0, если lim_x→х0f(x)=0.)

Связь б.м. и б.б. величин.:

Если при является бесконечно большой (), то (и наоборот).

Свойства бесконечно малых:

1. Сумма бесконечно малых бесконечно мала

– бесконечно малая

– бесконечно малая

2. Произведение бесконечно малой на ограниченную является бесконечно малой

Функция называется ограниченной в точке на некотором промежутке , если для любого из этого промежутка выполняется неравенство , где – какое-то фиксированное число. Пример: (ограничена на любом промежутке, т.к. )

– бесконечно малая

– бесконечно малая равносильны

()

4. Произведение бесконечно малых является бесконечно малым

– бесконечно малая

– бесконечно малая

ограничена в районе точки

– бесконечно малая

Свойства пределов:

1. Предел суммы равен сумме пределов

Если , то

Доказательство:

– б.м.

– б.м.

– сумма бесконечно малых бесконечно малая

2. Предел произведения равен произведению пределов

Если , то

, имеющая предел в точке , ограничена в окрестности этой точки

Доказательство:

2. Постоянный множитель выносится за знак предела

3. Предел частного равен частному предела, если предел знаменателя отличен от нуля

Если , то

Доказательство:

– ?

– б.м?

– ограничена при

Предел монотонной ф-ии:

Если ф-я f(x) монотонна и ограничена при x< x₀ или x> х₀, то существует соответственно ее левый предел

Следствие: ограниченная монотонная последовательность имеет предел.

Теорема о пределе монотонной переменной: монотонная переменная всегда имеет предел, причем если она возрастает и ограничена сверху, она имеет предел конечное число, а если она не ограничена, то предел =.

Если она убывает и ограничена снизу, то она имеет предел конечное число, а если она не ограничена, то предел =.

Теорема (Вейерштрасса о пределе монотонной функции). Для того

чтобы возрастающая на множестве E функция f : E → R имела левый предел при

x → b − 0, x ∈ E, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху,

а для того чтобы она имела правый предел при x → a + 0, x ∈ E, необходимо и

достаточно, чтобы она была ограничена снизу.

Эквивалентные БМФ

Бесконечно малые функции и называются эквивалентными, если при ,

При вычислении предела произведения и частного бесконечно малые можно заменять на эквивалентные

Доказательство:

Замечание: В сумме или разности заменять бесконечно малые на эквивалентные вообще говоря нельзя

Теорема о 2ух милиционерах(о сжатой переменной).

Теорема называется так благодаря таким фактам. Если два милицейских удерживают между собой злоумышленника и при том направляются в клетку, то узник также должен идти туда. В различных странах эта теорема именуется по различному. Теорема сжатия, теорема о сэндвиче (или правило сэндвича), теорема о двух карабинерах, теорема о двух жандармах, теорема о трёх струнах, теорема о двух городовых.

Основные пределы анализа (Замечательные пределы)

Доказательство:

Теорема о сжатой переменной

Если при , и

, тогда

случай . Рассмотрим единичную окружность

При

Тогда

Если , то

Если , то

Доказательство:

Доказательство:

1

Следствие:

5. ,

Доказательство:

Непрерывные функции*

Пусть точка x₀ является внутренней точкой области определения функции y=f(x)

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если:

1. она определена в х0 и в ее окрестности существует f(x)<.

Все элементарные функции непрерывны во внутренних точках области определения

Элементарные функции:

• степенные:

• показательные:

• логарифмические:

• основные тригонометрические:

• обратные тригонометрические

f(x) называется непрерывной на промежутке , если она непрерывна во всех точках этого промежутка.

Теорема: для того, чтобы ф-я определенная в х0 была непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы б.м. приращению аргумента соответствовало б.м. приращение ф-ии.

Классификация точек разрыва

Точки, в которых функция является не непрерывной, называются точками разрыва (подразумевается, что функция определена в окрестности точки разрыва)

1. предел существует, но функция в точке x₀ не определена

В это случае точка x₀ называется точкой устранимого разрыва

2. скачок

Точка x₀ называется точкой скачка функции f(x), если в этой точке пределы слева и справа существуют, но не равны между собой

Устранимые разрывы и скачки называются разрывами первого рода

3. x₀ называется точкой бесконечного разрыва функции, если

4. x₀ называется точкой существенного(неустранимого) разрыва функции f(x), если не существует ни в конечном, ни в бесконечном виде

Бесконечные и неустранимые разрывы называются разрывами второго рода.

Теорема о непрерывных ф-ях.

1. Сумма, произведение и частное 2ух непрерывных ф-й – есть ф-я непрерывная( для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель=0.)

2. Пусть ф-я u=g(x) непрерывна в точке х0,a ф-я y=f(u) непрерывна в u0=g0(x0). Тогда сложная ф-я f(g(x)), состоящая из непрерывных ф-й, непрерывна в х0.

3.Если ф-я y=f(x) непрерывна и строго монотонна на [a;b] оси Ох, то обратная ф-я y=g(x) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c;d] оси Оу.

Т.Вейерштрасса: Если ф-я непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Т.Коши:Если ф-я y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах неравные значения А и В, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между A и В.

Теорема:Любая элементарная ф-я непрерывна всюду, где определена.

Производная*

Производной функцией в точке называется (основное понятие дифференциального исчисления, хар-ее скорость изменения ф-ии в данной точке)

Функция должна быть определена в самой точке a и в ее окрестности

Геометрический смысл производной

В пределе секущая становится касательной к графику функции. Касательная – это предельное положение соответствующей секущей. При малых секущая идет практически по графику функции.

Геометрический смысл производной состоит в том, что она совпадает с tg угла наклона касательной к графику функции в точке x₀

Производная отвечает за возрастание и убывание функции. Там, где производная положительна, функция возрастает (причем, тем быстрее, чем производная). Там, где производная отрицательна, функция убывает.

Свойства производных*

1. Дифференцирование – линейная операция

2. Производная произведения

3. Производная частного

4. Производная сложной функции

сложная функция

Доказательство:

5. Производная обратной функции

Производная сложной функции

Ф-я сложная, если над независимой переменной производятся не одна, а несколько операций.

Теорема: Если ф-я u=g(x) имеет производную в точке х, а ф-я y=f(u) имеет производную в точке u=g(x), то сложная ф-я y=f(g(x)) имеет производную в точке х.

При диф-ии сложной ф-ии диф-е начинают с внешней операции, рассматривая при этом аргумент как единое целое.

Производная обратной функции:

Если ф-я y=f(x) строго монотонна на интервале [a;b] и имеет неравную нулю производную в произвольной точке этого интервала, то обратная ей ф-я x=g(y) также имеет производную в соответствующей точке. Производная обратной ф-ии= обратной величине производной данной ф-ии.

Дифференциал*

- дифференциал функции y

Дифференциалом функции в точке называется главная часть ее приращения, равная произведению производной ф-ии на приращение аргумента .

Дифференциал является функцией двух аргументов:

и

Диф. Является линейной ф-ей.

Свойства дифференциалов:

1. Дифференциал является главной частью приращения функции

()

– б.м.

при малых :

2. Если , то

3. Диф- линеен.

4.duv= udv+vdu

5. Диф. Суммы, произведения и частного определяется также, как и производные.

6. Диф. Сложной ф-ии равено произведению производной этой ф-ии по промежуточному аргументу на на диф. Этого промежуточного

Аргумента.

Теорема Лагранжа (Формула конечных приращений)

Пусть функция непрерывна и дифференцируема на промежутке , тогда внутри промежутка найдется точка c, такая что:

Теорема Лагранжаутверждает, что на кривой найдется такая точка с, в которой касательная параллельна хорде AB

– формула конечных приращений

Док-во(с лекции).

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя годится для раскрытия неопределенности типа , косвенно и для других видов

Если , то

Замечание:

1. Правило Лопиталя можно применять в случае, если

2. Правило Лопиталя применяется и в случае неопределенности типа

и

3. Правило Лопиталя применяется ко всем другим типам неопределенности

Экстрмум*

Точка называется точкой экстремума функции, если:

1. она является внутренней точкой ООФ

2. промежуток возрастания в этой точке сменяется промежутком убывания или наоборот

Необходимое условие для наличия экстремума

Необходимым условием для наличия экстремума функции одного аргумента является обращение в нуль (или разрыв) производной этой функции

Если промежуток возрастания сменяется промежутком убывания, то точка экстремума называется максимумом (локальным)

Если промежуток убывания сменяется промежутком возрастания, то точка экстремума называется минимумом(локальным)

Замечание:

Максимум и минимум не нужно путать с наибольшим и наименьшим значением функции на промежутке

Острый экстремум – точка разрыва производной. К такому экстремуму нельзя построить касательную

Монотонные функции*

Убывающие или возрастающие функции называются монотонными

Функция называется монотонно возрастающей на промежутке , если для любых и выполняется неравенство

строго возрастающая

нестрого возрастающая

Функция называется монотонно убывающей на этом промежутке, если (строго убывающая)

Теорема Лагранжа (достаточное условие монотонности функции)

Если для всех точек промежутка

, то функция возрастает

, то функция убывает

Доказательство:

Зафиксируем любые точки и на интервале, такие что

Согласно теореме Лагранжа: , где

По условию на всем интервале . Следовательно,

, т.к.

Тогда => => функция убывает

Промежутки монотонности дифференцируемой функции

На промежутках, где производная сохраняет знак, функция является монотонной. Таким образом, промежуток монотонного возрастания может смениться промежутком монотонного убывания только в тех точках, где производная меняет знак ( или не существует)

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания дифференцируемой функции необходимо:

1. взять ее производную

2. найти точки, в которых производная равна нулю или терпит разрыв

3. посмотреть на знаки производной между этими точками

Асимптоты.:

Определение . Асимптотой графика функции называется прямая, к которой неограниченно приближается график функции при  или .

Различают вертикальные и наклонные асимптоты (в частности, горизонтальные).

Прямая х = а называется вертикальной асимптотой, если хотя бы один из односторонних пределов  f (а + 0),  f (а –  0) равен бесконечности или не существует, то есть в точке х = а функция терпит разрыв второго рода.

Пример. Найти вертикальные асимптоты функции

Решение. Знаменатель дроби равен нулю в точках х = – 1, х = +1. Значит функция в этих точках не определена. Классифицируем разрыв, вычислив односторонние пределы. Эту работу можно уменьшить, если учесть чётность функции:  у(– х) = у(х) (см. рис. 25). Исследуем только одну из точек разрыва, например,  х = – 1:,

.Следовательно, прямые х = – 1, х = 1 –  вертикальные асимптоты.

Прямая у = b называется горизонтальной асимптотой, если выполняется условие  В частности, это полупрямая у = b при  или .Определение 2. Прямая у = k х + b называется наклонной асимптотой графика функции f(х) при  , если эту функцию можно представить в виде: f (х) = kх + b + a (х), где .

То есть разность a  (х) между ординатами точек кривой и асимптоты при  () есть величина бесконечно малая.

Теорема. Чтобы график функции имел наклонную асимптоту, необходимо и достаточно, чтобы имели место соотношения:

 ,   ,

причём при  и при  эти пределы могут быть неравными, то есть кривая может иметь различные асимптоты при  и.

Если k  = 0, , уравнение асимптоты принимает вид у = b, то есть получаем уравнение горизонтальной асимптоты.

Первообразная функция, неопределенный интеграл.* Функция называется первообразной для , если

Первообразная для определена неоднозначно. Если является первообразной, то первообразной будут и все функции вида ( – произвольная постоянная)

Теорема (Структура множества всех первообразных)

Все первообразные для заданной имеют вид , где – любая первообразная, – произвольная постоянная

Доказательство:

Пусть , – первообразные для . Покажем, что их разность является постоянной величиной:

Рассмотрим

ч.т.д

Множества всех первообразных для заданной называются неопределенным интегралом от

Интегрирование – нахождение интеграла. Операция является обратной к дифференцированию, т.е. для того чтобы проверить правильно ли взят интеграл нужно продифференцировать ответ. Если интеграл взят правильно, то она совпадает с подинтегральнной функцией.

Свойства неопределенного интеграла:

1. Линейность

Интегрирование – линейная операция

2. Интегрирование по частям

Доказательство:

Замечание:

Название формулы интегрирование по частям объясняется следующим образом:

• Если мы решили брать какой-то интеграл по частям, то процесс интегрирования начинается с того, что мы подинтегральную функцию представляем в виде

• С помощью интегрирования находим функцию :

• Далее в формулу интегрирования по частям входит , ищем интеграл

По частям интегралы берут от следующих функций:

где – многочлен в степени , .

Интегрировать нужно раз

За выбираются обратные тригонометрические

функции

3. Замена переменной

4. Подведение множителя под знак дифференциала

Этот метод совпадает с заменой переменной, но без введения новой буквы

Вычисление объемов (по площадям поперечных сечений)

Дано тело

– площадь поперечного сечения в точке

Будем считать, что части настолько мелкие, что в пределах каждого отрезка поперечное сечение мало меняет форму

Приближение тем лучше, чем меньше куски

, где – площадь основания, – высота цилиндра

…

Выражение, стоящее под знаком предела, является интегральной суммой для функции на промежутке

Предел интегральной суммы равен соответствующему определенному интегралу

Определенный интеграл

Площадь криволинейной трапеции

непрерывна на промежутке ,

это приближение будет тем точнее, чем уже полоски и чем больше

В пределе, когда полоски вырождаются в вертикальные отрезки и погрешность стремиться к нулю

Определение определенного интеграла

Дана функция на промежутке . Разобьем промежуток на частей точками

Составим сумму по формуле

называется интегральной суммой для функции на промежутке .

Определенным интегралом от функции на промежутке называется предел

Геометрический смысл определенного интеграла

. Тогда совпадает с площадью заштрихованной ступенчатой фигур.

Таким образом, геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что он для положительной функции совпадает с площадью соответствующей криволинейной трапеции

Свойства определенного интеграла

1. аддитивность

Верно для любого числа слагаемых

2. 

3. Линейность

4. Если , то

Доказательство:

, т.к.

Частная производная*

Рассмотрим функцию . Зафиксируем переменную y:

Тогда мы получим функцию от одной переменной x. Производная этой функции по переменной x называется частной производной z по x

;

Геометрический смысл частных производных

Частная производная отвечает за возрастание и убывание функции в направлении переменной (т.е. когда фиксирована). Точно также отвечает за возрастание и убывание функции в направлении переменной (т.е. когда фиксирована).

Теорема о среднем значении

На промежутке найдется точка , такая что

Доказательство:

,

По одной из теорем о значении непрерывности функции, они заполняют весь промежуток между наименьшим и наибольшим значением

Формула Ньютона-Лейбница*

Замечание:

Известно, что определяется по неоднозначно, но они все имеют вид и при двойной подстановке постоянная сокращается, т.е. правая часть формулы Ньютона-Лейбница не зависит от выбора первообразной

Доказательство:

Мы доказали, что интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для подинтегральной функции.

Пусть – другая первообразная. Любые две первообразные отличаются на постоянную

Длина дуги кривой

На каждом из кусков заменим кривую на

прямую

Вычислим длину каждого:

Будет точным равенством, если

Выражение, стоящее под знаком предела является интегральной суммой для функции на промежутке

Предел интегральной суммы равен соответствующему определенному интегралу – формула длины дуги

Несобственный интеграл

При определении интеграла мы считаем, что подинтегральная функция непрерывна и промежуток интегрирования конечен. Если одно или оба из этих условий нарушаются, то интеграл называется несобственным

Определенный интеграл по бесконечному промежутку

Предположим, что

Такой предел не обязан существовать. Если он существует, то интеграл называется сходящимся; если конечного предела не существует, то говорят, что интеграл расходится

Предел не обязательно существует. Если предел существует, то интеграл сходящийся, в противном случае расходящийся

интеграл сходящийся, если сходятся оба интеграла правой части

Замечание:

Интегралы, стоящие справа, нужно исследовать на сходимость по отдельности

Интегралы от разрывных функций

функция имеет разрыв на промежутке

1. 

2. Разрыв второго рода

Если этот предел существует, то интеграл называется сходящимся, в противном случае говорят, что интеграл расходится

Предел не обязательно существует