tvims_3
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г) z (1 − ln z); д) z2; е) |
z |
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4 |
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§ 5. Условная вероятность и теорема умножения. |
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5.7. |
0, 72. 5.8. 0, 224. |
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5.9. |
0, 42. 5.10. |
0, 125. |
5.11. |
|
0, 998. 5.12. 0, 41. |
||||||||||||||||||||||||
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15 |
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1− |
1 1 |
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− |
2 |
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+ |
1 |
1 |
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+ |
|
1 |
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− |
1 |
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|||||||||
5.13. |
0, 3808. 5.14. p |
(1 |
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q q2) (1 |
|
q3q4) |
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q5 |
(p1p3 |
|
p2p4 |
|
p1p2p3p4). |
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5.15. 0, 75. 5.16. а) |
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+ |
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+ |
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+ . . . = |
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; б) |
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+ |
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+ |
|
+ . . . = |
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. 5.17. 4 раза. |
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2 |
23 |
25 |
3 |
22 |
24 |
26 |
3 |
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k |
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n |
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> lg (1 − p1 ) |
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Q |
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5.18. |
0, 6. 5.19. 1 − i 1 |
(1 − pi). 5.20. а) 1 − (1 − p) ; б) n |
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lg (1 − p) |
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= |
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§ 6. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
6.4.71/90. 6.5. 387/640; 175/387. 6.6. ≈ 0, 1601. 6.7. 0, 55. 6.8. 9/13. 6.9. 35/81.
6.10. 0, 5. 6.11. 0, 4. 6.12. 4/29. 6.13. |
0, |
056 |
≈ 0, 3. 6.14. 2p2 |
1 − |
2 |
p . 6.15. 0, 852. |
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0, |
188 |
3 |
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n |
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6.16. а) 0, 574; б) 0, 819; в) 0, 923. 6.17. |
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0, 3 · 0, 99 |
|
|
. |
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||||||||||||||||||||
0, 3 · 0, 99n + 0, 5 · 0, 97n + 0, 2 · 0, 9n |
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§ 7. Повторение испытаний. Формула Бернулли. |
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7.3. |
P4 |
(3) |
+ |
P |
4 |
(4) |
= 0, 1792 |
. 7.4. а) |
0, 31 |
; б) 0, 48; в) 0, 52; г) 0, 62. 7.5. P |
4 |
(2) |
= |
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2 |
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2 |
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C42 · |
2 |
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· |
1 |
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= |
8 |
. 7.6. 25 |
или 24. 7.7. 0, 0579. 7.8. ≈ 0, 389. 7.9. ≈ 0, 298. |
|||||||||||||||||||
3 |
|
3 |
27 |
7.10.p1 = 0, 665, p2 = 0, 619, p3 = 0, 597.
§8. Локальная и интегральная теоремы Муавра — Лапласа. Формула Пуассона.
8.4.0, 0041. 8.5. 0, 8944. 8.6. а) 0, 4236; б) 0, 5. 8.7. P21 (11; 21) ≈ 0, 95945. 8.8. 100.
8.9.≈ 0, 036. 8.10. 0, 677. 8.11. 0, 0797. 8.12. 0, 95.
Глава 2. Случайные величины
§9. Случайные величины с дискретным распределением. Числовые характеристики случайных величин с дискретным распределением.
9.3. |
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xi |
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0 |
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
4 |
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|
P (X = xi) |
0, 6561 |
0, 2916 |
|
0, 0486 |
|
0, 0036 |
0, 0001 |
|
||||||
|
|
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|
0, x 6 0; |
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< x 6 1; |
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||
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|
0, 6561, 0 |
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||||
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|
= |
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|
< x 6 3; |
= |
|
|
= |
|
|
= |
||
|
|
0, 9963, 2 |
|
|
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|||||||||
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|
|
< x 6 2; |
|
|
|
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|
0, 9477, 1 |
|
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||||
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F (x) |
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|
EX |
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0, 4, DX |
|
0, 36, P (X 6 2) 0, 9963. |
0, 9999, 3 < x 6 4;
1, x > 4.
101
9.4. |
xi |
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0 |
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1 |
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2 |
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||||
P (X = xi) |
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1/4 |
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1/2 |
1/4 |
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1 |
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6 |
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||||||
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|
0, |
x 6 0; |
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|||||||||||||||
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, 0 < x 1; |
|
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1 |
|
, P (X < 2) |
|
3 |
. |
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|
F (x) |
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4 |
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EX 1, DX |
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3 |
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2 |
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4 |
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||||||||||
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= |
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, 1 < x 6 2; |
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= |
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= |
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= |
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4 |
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1, x > 2. |
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xi |
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0 |
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1 |
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2 |
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9.5. |
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P (X = xi) |
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9/16 |
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6/16 |
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1/16 |
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||||||||||||||||||
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|
9 |
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|
x 6 |
0; |
|
6 |
|
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||||||||||
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0, |
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, 0 < x 1; |
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1 |
, DX |
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3 |
, P (X < 2) |
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15 |
. |
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F (x) |
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16 |
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EX |
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15 |
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2 |
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8 |
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16 |
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= |
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, 1 < x 6 2; |
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= |
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= |
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= |
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16 |
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1, x > 2. |
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xi |
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1 |
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2 |
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3 |
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, |
EX = |
, DX = |
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P (X |
= |
xi) |
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1/6 |
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xi |
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0 |
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2 |
, EX |
= 0, 8, DX = 0, 36. |
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P (X = xi) |
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0, 3 |
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0, 6 |
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, P (X |
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= 0, 675. |
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9.14. |
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6 1) = |
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P (X = xi) |
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xi |
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, P (X 6 2) = |
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. |
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P (X = xi) |
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2/21 1/21 |
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21 |
9.16
P (X = k) = 4k · e−4 , k = 0, 1, 2 . . .; P (1 6 X 6 2) ≈ 0, 21978. k!
9.17
P (X = k) = 43k , k = 1, 2, . . ., 14, P (X = 15) = 4114 ; k = 1.
103
9.18. а) |
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xi |
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0 |
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1 |
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2 |
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, EX = |
1 |
, DX = |
15 |
. |
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P (X |
= |
xi) |
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5/56 |
1/56 |
2 |
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б) |
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k |
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P (X = k) = |
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= |
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k |
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5 , DX |
25 . |
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, k |
= |
0, 1, 2, . . .; EX |
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k |
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9.19. а) P (X = k) = C4 |
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· |
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, k = 0, 1, 2, 3, 4. |
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6 |
6 |
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xi |
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3 |
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; |
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EX = |
2 |
, DX = |
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P (X = xi) |
625/64 |
500/64 |
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150/64 |
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20/64 |
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3 |
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5 |
. |
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б) |
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xi |
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−3 |
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−1 |
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0 |
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; |
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P (X = xi) |
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1/64 |
16/64 |
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продолжение: |
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xi |
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P (X = xi) |
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100/64 |
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1/64 |
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EX = 0, DX |
= |
4 |
. |
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9.20. P (X = k) = |
k − 1 |
, k = 2, 3, . . .; |
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2k |
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, 2 < x 6 3; |
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0, |
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x |
6 |
2; |
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, 3 < x 6 4; |
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3 |
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F (x) |
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+ 2 |
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22 + 23 + 24 + . . . + 2k , k < x k + 1; |
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1 |
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3 |
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k − 1 |
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9.22. |
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xi |
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3 |
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6 |
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P (X = xi) |
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0, 8 |
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0, 2 |
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9.23.EY = −2, 8; если X и Y независимы, то DY = 47, 46.
9.24.EY1 = −0, 49, DY2 = 23, 29.
9.25. a) Y = 2X + 5; |
xi |
3 |
5 |
7 |
; |
P (Y = xi) |
1/3 |
1/3 |
1/3 |
104
б) Y = X2 + 1; |
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xi |
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1 |
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2 |
|
; |
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|||||||||||||
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P (Y |
= |
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xi) |
1/3 |
2/3 |
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в) Y = |X|; |
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xi |
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0 |
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1 |
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; |
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P (Y |
= |
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xi) |
1/3 |
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2/3 |
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г) Y = 2X; |
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xi |
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1/2 |
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1 |
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|
2 |
|
|
; |
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P (Y |
= |
xi) |
1/3 |
|
1/3 |
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1/3 |
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|||||||
д) Y min (X, 1); |
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xi |
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−1 |
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0 |
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1 |
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; |
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= |
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|
= |
|
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P (Y |
|
xi) |
1/3 |
1/3 |
|
1/3 |
|
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|
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е) Y = 1/ (3 − X); |
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xi |
|
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1/4 |
|
1 / 3 |
1/2 |
. |
||||||||||||||||||||||||||
P (Y |
= |
xi) |
1/3 |
1/3 |
|
1/3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
||||||||||
9.26. 1) |
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−13 |
|
|
17 |
|
|
|
27 |
|
|
32 |
|
; |
|
|
||||||||||||||||||
P (Y1 = xi) |
|
|
|
|
|
0, 6 |
|
|
0, 1 |
|
0, 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0, 1 |
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||
|
xi |
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−69 |
|
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−47 |
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−15 |
|
|
; |
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P (Y2 = xi) |
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|||||||||||||||||||||||
|
0, 2 |
|
|
|
|
0, 1 |
|
|
|
0, 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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FY2 (x) |
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0, x 6 −69; |
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− |
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|
− |
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|||||||||||||
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|
69 < x 6 |
|
47; |
|||||||||
|
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|
0, 2, |
|
− |
− |
||||||||||||||||
|
|
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|
47 |
< x |
|
|
15; |
|||||||||
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= 0, 3, |
|
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|
6 |
|
||||||||||||||||||
|
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1, x > −15. |
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|||||||||||||||
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||
|
xi |
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5 |
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11 |
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14 |
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|||||||||||||||
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; |
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|
|
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|||||||||||||||||||||
P (Y3 = xi) |
0, 7 |
0, 1 |
0, 2 |
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||
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|
0, 7, 5 < x 6 11; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
FY3 (x) |
|
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0, |
x 6 5; |
|
|
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||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
= 0, 8, 11 < x 6 14; |
||||||||||||||||||||
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
23 |
|
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|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, x > 14. |
|
|
|
|
|||||||||||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
− |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
27 |
|
; |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
P (Y1 = xi) |
|
|
0, 1 |
|
|
|
0, 3 |
|
|
|
0, 4 |
|
|
|
0, 2 |
|
|
|
|
|
|
|
105
xi |
−95 |
−47 |
−15 |
; |
|
P (Y2 = xi) |
|||||
0, 1 |
0, 5 |
0, 4 |
|
0, x 6 −95;
0, 1, −95 < x 6 −47;
FY2 (x) =
0, 6, −47 < x 6 −15;
1, x > −15.
|
xi |
|
5 |
11 |
|
17 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
P (Y3 = xi) |
0, 4 |
0, 5 |
0, 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 4, 5 < x 6 11; |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
FY3 (x) |
|
|
|
0, x |
6 5; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0, 9, 11 < x 6 17; |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
1 |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, x > 17. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9.27. 1) |
|
P (Z |
= xi) |
|
− |
|
− |
|
|
− |
|
|
0, 38 |
|
0, 02 |
|
0, 08 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
0, 05 |
|
0, 36 |
|
0, 11 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
2) |
|
xi |
|
|
−4 |
|
−3 |
|
|
−2 |
|
|
−1 |
|
0 |
|
1 |
|
3 |
|
|||||||
|
P (Z = xi) |
|
0, 08 |
|
0, 24 |
|
0, 16 |
|
0, 16 |
|
0, 2 |
|
0, 08 |
|
0, 08 |
|
;
.
9.28. 1) |
|
xi |
|
−4 |
|
−2 |
|
−1 |
0 |
|
1 |
2 |
; |
|||||
|
P (Z = xi) |
|
0, 7 |
|
0, 06 |
0, 03 |
||||||||||||
|
|
|
|
0, 03 |
0, 1 |
0, 08 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) |
|
xi |
|
−4 |
|
−2 |
|
0 |
|
2 |
|
4 |
. |
|
|
|||
P |
(Z = xi) |
|
|
0, 8 |
|
0, 03 |
|
0, 06 |
|
|
|
|||||||
|
0, 02 |
|
0, 09 |
|
|
|
|
|
|
|
§ 10. Случайные величины с абсолютно непрерывным распределением. Числовые характеристики случайных величин с абсолютно непрерывным
распределением.
10.5. P (0 < X < 1) = 14 . 10.6. P (X > T) = 1e . 10.7. C34p3 (1 − p) = 14 , где p =
P (0, 25 < X < 0, 75) = 12 .
10.8.
(
2 cos 2x, x (0, π/4) ;
f (x) =
0, x / (0, π/4) .
106
10.9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
eα − 1 |
. 10.10. |
2 |
2 |
(1 − p) |
= 3 |
π + 2 |
|
2 |
|
3π − 2 |
|
, где |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
· |
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||
|
π |
+ |
2 P (1 |
< X < 2) |
|
e2α |
|
|
|
|
|
|
C3p |
|
4π |
|
|
4π |
|
p |
||||||||||||||||||||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10.11. |
|
|
|
|
|
|
F (x) |
|
|
1 |
xcos x, 0 < x 6 π/2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
6 |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
C = 2 |
|
|
C = 1 |
|
|
|
1, x > π/2. |
C = 4 |
|
EX = 16 |
|
|
|
EX = |
|
α |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EX = 3 |
|
|
, |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
. 10.14. |
|
|
|
|
4 . |
|
3 |
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
1 . |
|||||||||
10.12. |
|
|
|
10.13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.16. |
|
|
|
|
|
|||||||
10.17. E X |
2 |
= |
|
π2 − 8 |
. 10.18. E X |
3 |
= |
13 |
. 10.19. EX = 3, |
DX = |
1 |
. 10.20 DX = 4, 5; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
40 |
5 |
P (−3 < X < 1) = 12 + π1 arcsin 13 > P (1 < X < 3) = 12 − π1 arcsin 13 . 10.21. EX =
|
π |
π2 − 8 |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
, DX = |
4 |
|
. 10.22. EX |
= |
|
3 |
, DX |
= |
18 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
10.23. |
|
|
A = 1; F (x) = (1 |
|
|
xe−x2 /2, x > 0; |
|
P (X > 1) = e−1/2. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
6 |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
10.24. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, x 6 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = 4; F (x) = sin 4x, 0 < x 6 π/8; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, x > |
π |
/8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10.25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x2, x (0, 2) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
A |
|
; f (x) |
|
|
8 |
P (0 < X < 1) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= 8 |
= |
|
= |
8 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0, x / (0, 2) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
||
10.26 а) Да, C = 3; б) нет; в) да, C = |
24 |
|
; г) нет. 10.27. C = − |
, P (X > −2) = |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
81 |
81 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 − √ |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|||||
EX = − |
12 |
, DX = |
6 |
. 10.28. C = 4, P |
|
π |
< X < |
|
π |
2 |
, EX = |
5π |
− |
3 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||
5 |
25 |
8 |
4 |
12 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10.29. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, x 6 0;
F (x) = x5 , 0 < x 6 5; P (−3 < X < 8) = 1; EX = 52 ; DX = 2512 .
1, x > 5;
10.30.
|
|
|
1 |
, x (−1, 2) ; |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
3 |
. |
||
F (x) |
= |
|
3 |
P (1 < X < 5) |
= |
; EX |
= |
; DX |
= |
|||||||
|
3 |
2 |
4 |
|||||||||||||
|
(0, x / ( |
− |
1, 2) ; |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
107
10.31. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
(t + |
13) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
FY (x) = |
|
Φ |
x + 13 |
= |
1 |
|
|
|
Z |
|
|
|
− |
|
|
|
dt; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ e |
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
5√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
P (−17 < Y < −12) = Φ (1/5) − Φ (−4/5) ≈ 0, 3674. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10.32. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − 9)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
fY (x) |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
; P (4 < Y < 7) |
= |
|
|
− |
1) |
− |
Φ ( |
− |
5/2) |
≈ |
0, 1525. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= 2 |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Φ ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
||||||||||||||
10.33. EX = 2, 5, DX = |
|
|
|
. 10.34 EX = |
10, DX = |
|
|
|
|
|
|
. 10.35. EX = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 |
|
|
|
3 |
|
ln 10 |
− |
ln 6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
97, 88, DX = |
|
|
|
|
2500 |
|
|
|
|
|
|
|
≈ 9580, 64. 10.36. DX ≈ 35, 43. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(ln 10 |
− |
ln 6)2 |
|
|
|
|
4√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
10.37. 1) E sin X |
|
|
|
3 |
2 − |
|
, D (sin X) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3√3 |
|
|
9 |
7 − |
|
; 2) E sin X |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
− |
|
4π |
|
|
|
− |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3√ |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
, D (sin X) |
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
= |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2π |
2 |
|
8π |
|
4π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
10.38. 1) E cos X = |
|
|
|
, |
|
D (cos X) = |
|
+ |
|
− |
|
|
; 2) |
E cos X = |
|
, D (cos X) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
π |
|
2 |
π |
|
π2 |
π |
12 − π42 .
10.39. а) EX = 23 , DX = 181 ; б) E |X − 12 | = 14 , D |X − 12 | = 481 ; в) E X2 =
|
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10.40. |
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; е) D (X |
− |
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1 |
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, e |
8 < y 6 1; |
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− |
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4) |
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1, y > 1; |
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e− |
y |
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, y > − ln 12; |
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fY |
(y) |
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12 |
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4 |
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= (0, y 6 |
− |
ln 12. |
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10.48. 1) |
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e2−y, y > 2; |
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fY1 (y) = (0, y 6 2. |
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2) |
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5y2 |
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e− |
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FY2 (y) |
= |
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4 |
, y 6 0; |
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1, y > 0; |
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