ЦОС_lek_5
.pdf
1
Лекция 5. Линейные дискретные системы: описание в частотной области
1.Частотная характеристика.
2.АЧХ и ФЧХ.
3.Свойства АЧХ и ФЧХ.
4.Расчет АЧХ и ФЧХ.
5.Экспресс-анализ АЧХ.
5.1. Частотная характеристика
Основной характеристикой ЛДС в частотной области является __________________
_________________
|
∞ |
|
|
H (e jω ) = |
∑ h(n) e− jωn , |
(5.1) |
|
n = 0
которое называют частотной характеристикой (ЧХ). Это математическое определение ЧХ.
Связь между Фурье-преобразованием (5.1) и Z-преобразованием (4.1) вытекает из связи между преобразованиями Фурье и Лапласа аналоговых сигналов:
|
|
H а ( jω) = H а ( p) |
|
p = jω |
. |
(5.2) |
|||
|
|
|
|||||||
и связи комплексных переменных z и p (3.2): |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = e pT = e jωT = e jω |
. |
|
|
|||||
откуда получаем связь ЧХ (5.1) с передаточной функцией (4.1): |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
H (e jω ) = H ( z) |
z =e jω |
, |
(5.3) |
||||
означающую, что данные преобразования совпадают на_____________________
Получим определение ПФ, подобное тому, которое было введено в теории линейных
аналоговых цепей.
Реакция линейной аналоговой системы на гармонический сигнал представляет собой
_____________________________, у которого может измениться _______________
Определим реакцию ЛДС на дискретный гармонический сигнал (1.7):
|
|
|
|
|
|
x(n) = Cx e |
jωn |
= Cx e |
jϕx (ω) |
, |
(5.4) |
|
|
где Cx и ϕx (ω) = ωn —__________________________________________________
Определим реакцию по формуле _______________:
∞
y(n) = ∑ h(m) x(n − m) .
m =0
Подставив воздействие (5.4):
∞
y(n) = ∑ m = 0
получим:
y(n) = |
(5.5) |
Откуда имеем определение частотной характеристики:
H (e jω ) = y(n) x(n)
Частотной характеристикой ЛДС H (e jω )
. |
(5.6) |
x ( n )=Cx e jωn
называется
2
_________________________________________________________________________
Отношение функций времени дает функцию _______________ !!!
Это справедливо только для _____________________________
Установившемуся режиму предшествует______________________ процесс, в котором реакция не является _________________________ сигналом.
5.2. АЧХ и ФЧХ
Представим комплексную ЧХ в показательной форме:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
j arg{H (e jω )} |
|
|
|
|||||
H (e jω ) = |
|
H (e jω ) |
|
|
= A(ω)e |
jϕ(ω) .
Подставив данную ЧХ и воздействие (5.4) в (5.5), определим реакцию:
|
|
|
|
|
y(n) = Cx e |
jϕx (ω) |
|
jϕ(ω) |
= |
|
A(ω)e |
|
Реакция представляет собой _________________________________________
с частотно-зависимой амплитудой:
Cy (ω) =
и фазой:
ϕ y (ω) =
Подстановка в ЧХ (5.6) воздействия (5.4) и реакции (5.7):
|
|
|
C |
|
€ |
|
€ |
€ |
|
|
|
|
jω€ |
|
y |
(ω) |
|
||||||
H (e |
) = |
|
|
e |
j ϕ y (ω)−ϕx (ω) |
= |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Cx
позволяет определить АЧХ и ФЧХ ЛДС, подобно одноименным характеристикам линейных аналоговых систем.
Амплитудно-частотной характеристикой ЛДС A(ω) называется
_________________________________________________________________________
Фазочастотной характеристикой ЛДС ϕ(ω) называется
_________________________________________________________________________
Соотношения вход/выход в частотной области записываются автоматически при подстановке в (4.2) и (4.4) z = _________ (записать самостоятельно):
5.3.Свойства АЧХ и ФЧХ
1.АЧХ и ФЧХ дискретного сигнала — непрерывные функция частоты.
2. АЧХ и ФЧХ |
дискретного |
сигнала — периодические функции частоты с |
||||
|
|
|
|
2π |
, т. к. это функции периодического аргумента |
|
|
периодом в шкале ω равным |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e jω : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e j(ω±2πk ) = |
||
|
В шкале частот |
f период равен _____________. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
В шкале частот ω период равен _____________.
3
Вывод: при переходе t → nT АЧХ и ФЧХ ЛДС становятся
________________________
3.АЧХ — четная, а ФЧХ — нечетная функция частоты.
Доказательство.
Используем формулу Эйлера:
|
∞ |
|
|||
H (e jω ) = |
∑ h(n) e− jωn = |
||||
|
n = 0 |
|
|||
|
|
|
|
||
H (e− jω ) = |
|
|
|
||
A(ω) = |
|
|
= |
|
|
H (e jω ) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
{H (e jω )} = |
|||||
ϕ(ω) = arg |
|||||
ϕ(−ω) = arg{H (e− jω )} =
4.АЧХ и ФЧХ рассчитываются в основной полосе частот (см. разд. 1.5):
вшкале частот ω —;
вшкале частот f — __________
вшкале частот ω — ___________
5.4. Расчет АЧХ и ФЧХ
Расчет АЧХ и ФЧХ производится по передаточной функции.
Покажем на примере звена 2-го порядка:
H ( z) =
Частотная характеристика получается автоматически при_____________________
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b + b e− jω + b e− j 2ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
H (e jω ) = |
0 1 |
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 + a e− jω |
+ a |
e− j 2ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для определения АЧХ и ФЧХ используем разложение Эйлера: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
[b |
+ b cos(ω) + b cos(2ω)] − j[b |
sin(ω) + b |
sin(2ω)] |
|
Re |
|
+ j Im |
|
|
|||||||||
H (e jω ) = |
|
ч |
ч |
|
|||||||||||||||
0 |
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
= |
|
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
[1 + a1 cos(ω) + a2 cos(2ω)] − j[a1 sin(ω) + a2 sin(2ω)] |
|
Reз + j Imз |
||||||||||||||||
откуда имеем АЧХ (модуль) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
A(ω€) = |
H (e jω€ ) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.8) |
||||
и ФЧХ (аргумент) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ(ω€) = arg{H (e jωT )} = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.9) |
|||||||
5.5. Экспресс-анализ АЧХ
Экспресс-анализом АЧХ называют анализ АЧХ по карте нулей и полюсов в основной полосе частот [0; π] .
Методами мат. анализа можно показать, что:
0 частота комплексно сопряженного полюса соответствует максимуму АЧХ (приблизительно);
0 частота комплексно сопряженного нуля соответствует минимуму (приблизительно) или нуля АЧХ, а именно:
•если нуль расположен на единичной окружности, то он соответствует нулю АЧХ;
В точке нуля АЧХ наблюдается скачок ФЧХ на π .
4
•в противном случае нуль соответствует минимуму АЧХ;
0 вещественным нулям соответствует нуль или экстремум АЧХ на границе
основной полосы частот 0 и/или π .
Рассмотрим на примере рекурсивного звена 2-го порядка с двумя комплексно сопряженными полюсами и двумя комплексно сопряженными или вещественными нулями.
Внутри основной полосы частот [0; π] АЧХ может иметь:
0один максимум на частоте комплексно сопряженного полюса ϕ :
z 1,2 = r e± jϕ ;
0 один минимум или нуль на частоте комплексно сопряженного нуля ϕ :
z 1,2 = r e± jϕ .
АЧХ имеет нуль, если r ≠ 1 .
В точке нуля АЧХ наблюдается скачок ФЧХ на π .
Нуль АЧХ не является ее минимумом.
На границах основной полосы частот [0; π] АЧХ может иметь экстремум или нуль.
Значения АЧХ на границах основной полосы [0; π] легко определить по передаточной функции:
|
b + b z −1 + b z −2 |
|||
H ( z) = |
0 |
1 |
2 |
|
1 + a z |
−1 + a z −2 |
|||
|
||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
при подстановке z = e jω = e j 0 = 1 и z = e jω = e jπ = −1 :
A(0) = H (1) =
A(π) = H (−1) =
Пример 5.1
Задана передаточная функция рекурсивного звена 2-го порядка:
1 + z −1 + z −2
H ( z) = 1 + 0.8z −1 + 0.64 z −2 .
Требуется:
1.Записать РУ.
2.Вычислить три отсчета ИХ по РУ.
3.Вычислить три отсчета ИХ по аналитической формуле с учетом ННУ.
4.Изобразить карту нулей и полюсов.
5.Выполнить экспресс-анализ АЧХ (изобразить качественно график АЧХ).
6.Изобразить прямую и прямую каноническую структуры ЛДС (см. Лекцию 6).