Lek_2

1

Лекция 2. Линейные дискретные системы: описание во временной области

1.Определение и свойства ЛДС.

2.Математическое описание ЛДС.

3.Нулевые начальные условия.

4.Физическая реализуемость.

5.Импульсная характеристика.

6.Соотношение вход/выход: формула свертки.

7.Соотношение вход/выход: разностное уравнение.

8.Рекурсивная и нерекурсивная ЛДС.

9.КИХ и БИХ ЛДС.

10.Устойчивость ЛДС. Второй критерий устойчивости.

2.1. Определение и свойства ЛДС

Системой называют_______________________

Всоответствии с определением, системой можно назвать и физическое устройство,

и математическое преобразование.

ВЦОС система представляет собой математическое преобразование.

Систему называют линейной, если она обладает свойствами:

1)_________________________

2)_________________________

Систему называют дискретной, если воздействие и реакция (рис. 2.1) —

________________

Рис. 2.1. К описанию линейной дискретной системы (ЛДС)

Систему называют стационарной, если она обладает свойством __________________

Параметры стационарной системы ____________________________

2.2. Математическое описание ЛДС

Подобно линейной аналоговой системе, ЛДС описывается в трех областях:

•временной;

•области комплексной переменной (см. Лекцию 3);

•частотной.

В каждой из этих областей математическое описание ЛДС включает в себя:

•в статическом режиме — ____________________________________

•в динамическом режиме — ___________________________________

2

2.3. Нулевые начальные условия

Нулевые начальные условия (ННУ) означают, что до начала воздействия ( n = 0 )

______________________________________________________________________

где i и k — ______________________________________

Признаком ННУ является то, что в отрицательной области времени все значения воздействия и реакции равны ______________

2.4. Физическая реализуемость

ЛДС называется физически реализуемой, если для нее выполняются условия физической реализуемости:

1)при ННУ реакция ___________________

2)при ННУ реакция в любой момент времени зависит от __________________

2.5. Импульсная характеристика

Во временной области основной характеристикой ЛДС является импульсная характеристика (ИХ).

Импульсной характеристикой h(n) называется _______________________

1) согласно определению:

u0 (n) →

2) согласно свойству инвариантности во времени:

u0 (n − m) →

3) согласно свойству однородности:

x(m)u0 (n − m) →

4) согласно свойству аддитивности при ННУ ( m ≥ 0 ):

∞

∑ x(m)u0 (n − m) →

m=0

3

5)согласно фильтрующему свойству цифрового единичного импульса, слева —

__________________, а справа — реакцию y(n) :

Полученное соотношение вход/выход называют формулой свертки, которая имеет две тождественные записи:

Пример 2.1

Вычислить реакцию по формуле свертки (2.2):

y(0) = y(1) = y(2) =

…

Сравним с вычислением реакции линейной аналоговой системы по формуле свертки

∞

y(t) = ∫ x(τ) h(t − τ)d τ .

0

1.Для вычисления интеграла необходимо выбрать численный метод — алгоритм.

2.Любой из них будет неточным (содержать методическую погрешность).

Для ЛДС вычисление реакции по формуле свертки выполняется _____________

______________________________

Следовательно, при переходе t → nT получена формула, непосредственно описывающая __________________ вычисления реакции. Методическая погрешность в вычислениях ________________.

Пример 2.2

Определить, является ли ЛДС, соотношение вход/выход которой описывается формулой свертки, физически реализуемой при ННУ. Рассмотрим (2.2):

1) реакция не может возникнуть раньше воздействия:

y(−1) =

2) согласно примеру 2.1, реакция зависит от _________________________________

4

L =

2.7. Соотношение вход/выход: разностное уравнение

Для линейной аналоговой системы с одним входом и одним выходом соотношения вход/выход имеет вид линейного дифференциального уравнения, коэффициенты которого зависят от R, L, C, а порядок равен количеству реактивностей:

В области дискретного нормированного времени РУ имеет вид:

где i и k — ______________________________;

Коэффициенты РУ bi и ak называют _____________________

Пример 2.4

Вычислить реакцию по РУ (2.4):

y(0) =

y(1) =

y(2) =

…

Сравним с решением линейного дифференциального уравнения:

1.Необходимо выбрать численный метод решения — алгоритм.

2.Любой из них будет неточным (содержать методическую погрешность).

Для ЛДС вычисление реакции по РУ выполняется ________________________. Следовательно, при переходе t → nT получено уравнение, непосредственно описывающее ____________ вычисления реакции. Методическая погрешность в вычислениях _______________

Пример 2.5

Определить, является ли ЛДС, соотношение вход/выход которой описывается РУ (2.4), физически реализуемой при ННУ:

1) реакция не может возникнуть раньше воздействия:

y(−1) =

2) согласно примеру 2.4, реакция зависит от _________________________________

2.8. Рекурсивная и нерекурсивная ЛДС

ЛДС называется рекурсивной, если __________________________________________

На практике выполняется условие

( N − 1) ≤ (M − 1) .

Порядок рекурсивной ЛДС равен максимальной задержке реакции (M − 1) .

ЛДС называется нерекурсивной, если _______________________________________

6

Второй критерий устойчивости ЛДС: для того чтобы ЛДС была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие абсолютной сходимости ряда:

Необходимость: если реакция ограничена:

max y(n) < Ry ,

n

необходимо, чтобы ______________________

Достаточность: для того чтобы реакция была ограниченной, достаточно, чтобы

_____________________________________

Выводы:

1.КИХ ЛДС ________________________________

N−1

∑h(n)

n = 0

2.Для БИХ ЛДС ____________________________