DSP_2

1

Лекция 2. Линейные дискретные системы: описание во временной области

1.Определение и свойства ЛДС.

2.Математическое описание ЛДС.

3.Нулевые начальные условия ЛДС.

4.Физическая реализуемость ЛДС.

5.Импульсная характеристика ЛДС.

6.Формула свертки.

7.Разностное уравнение.

8.КИХ и БИХ ЛДС.

9.Устойчивость ЛДС. Первый критерий устойчивости.

2.1. Определение и свойства ЛДС

Системой называют объект, выполняющий требуемое преобразование входного сигнала (воздействия) в выходной сигнал (реакцию).

Всоответствии с определением, системой можно назвать и физическое устройство,

и математическое преобразование.

ВЦОС система представляет собой математическое преобразование.

Систему называют линейной, если она обладает свойствами:

1)аддитивности: если воздействие равно сумме воздействий, то реакция равна сумме реакций на данные воздействия (принцип суперпозиции);

2)однородности: если воздействие умножено на константу, реакция будем умножена на ту же константу.

Систему называют дискретной, если воздействие и реакция — дискретные сигналы

(рис. 2.1).

Рис. 2.1. К описанию линейной дискретной системы (ЛДС)

Систему называют стационарной, если она обладает свойством инвариантности во времени: задержка воздействия на приводит к задержке реакции на то же время.

Параметры стационарной системы неизменны во времени.

2.2. Математическое описание ЛДС

Подобно линейной аналоговой системе, ЛДС описывается в трех областях:

временной;

области комплексной переменной (см. Лекции 3);

частотной.

В каждой их этих областей математическое описание ЛДС включает в себя:

в статическом режиме — основную характеристику;

в динамическом режиме — соотношение вход/выход.

Соотношение вход/выход ЛДС называют ее математической моделью.

2.3. Нулевые начальные условия ЛДС

ЛДС может работать с нулевыми или ненулевыми начальными условиями.

Нулевые начальные условия (ННУ) ЛДС означают, что до начала воздействия (n 0) все значения воздействия и реакции, которые может помнить система, равны нулю:

2

где i и k — задержки воздействия и реакции.

Признаком ННУ является то, что в отрицательной области времени все значения воздействия и реакции равны нулю.

2.4. Физическая реализуемость ЛДС

ЛДС называется физически реализуемой, если для нее выполняются условия физической реализуемости:

1)при ННУ реакция не может возникнуть раньше воздействия (причинноследственная связь);

2)при ННУ реакция в любой момент времени n зависит от отсчетов воздействия в данный и предшествующие моменты времени и не зависит от ее будущих отсчетов.

2.5. Импульсная характеристика ЛДС

Основной характеристикой ЛДС во временной области является импульсная характеристика (ИХ).

Импульсной характеристикой ЛДС h(n) называется реакция ЛДС на цифровой

единичный импульс u0(n) при ННУ (рис. 2.2).

По определению в отрицательной области времени ИХ h(n) равна нулю.

Рис. 2.2. К определению ИХ

ИХ h(n) называют основной характеристикой ЛДС, т. к. зная ее, можно определить реакцию на произвольное воздействие.

2.6. Формула свертки

Определим реакцию на произвольное воздействие x(n) при известной ИХ h(n).

Воздействие реакция:

1) согласно определению:

u0(n) h(n);

2) согласно свойству инвариантности во времени:

u0(n m) h(n m);

3) согласно свойству однородности:

x(m)u0(n m) x(m)h(n m);

4) согласно свойству аддитивности при ННУ (m 0):

x(m)u0(n m) x(m)h(n m) ;

m 0 m 0

5) согласно фильтрующему свойству цифрового единичного импульса, слева имеем

воздействие x(n), а справа — реакцию y(n) в виде свертки воздействия и ИХ:

Данное соотношение вход/выход называют формулой свертки, которая имеет две тождественные записи:

4

Второй вариант соотношения вход/выход используется при известных параметрах ЛДС.

Для линейной аналоговой системы с одним входом и одним выходом соотношения вход/выход имеет вид линейного дифференциального уравнения, порядок которого равен количеству реактивностей, а коэффициенты зависят от R, L, C:

При переходе t nT линейное дифференциальное уравнение преобразуется в линейное разностное уравнение (РУ), т. к. в области дискретного времени производным соответствуют разделенные разности:

N 1 M 1

y(nT) bix (n i)T ak y (n k)T .

i 0 k 1

В области дискретного нормированного времени РУ имеет вид:

где i и k — задержки воздействия и реакции;

Параметрами ЛДС называют коэффициенты РУ bi и ak .

ЛДС называется рекурсивной, если ее реакция зависит от отсчетов воздействия, текущего и предшествующих, и предшествующих отсчетов реакции, т.е. в РУ (2.4) хотя бы один из коэффициентов ak не равен нулю.

ЛДС называется нерекурсивной, если ее реакция зависит только от отсчетов

Порядок рекурсивной ЛДС равен (M 1) при (N 1) (M 1)(по умолчанию).

Порядок нерекурсивной ЛДС равен (N 1).

Пример 2.4

Решить РУ (2.4):

y(0) b0x(0) b1x( 1) a1y( 1) b0x(0) y(1) b0x(1) b1x(0) a1y(0)

y(2) b0x(2) b1x(1) b2x(0) a1y(1) a2y(0)

…

Сравним с решением линейного дифференциального уравнения:

1.Необходимо выбрать численный метод решения — алгоритм.

2.Любой из них будет неточным (содержать методическую погрешность).

Вывод:

РУ решается методом прямой подстановки при ННУ.

Следовательно, при переходе t nT вместо дифференциального получаем разностное уравнение, которое непосредственно описывает алгоритм вычисления реакции.

При этом методическая погрешность в вычислениях отсутствует.

Пример 2.5

Определить, является ли ЛДС, соотношение вход/выход которой описывается РУ (2.4), физически реализуемой.

5

1)при ННУ реакция зависит от текущего и предшествующих отсчетов воздействия и не зависит от ее будущих отсчетов — см. пример 2.4;

2)при ННУ реакция не может возникнуть раньше воздействия — см. (2.2):

y( 1) b0x( 1) b1x( 2) ... a1y( 2) ... 0.

2.8. КИХ и БИХ ЛДС

Показано, что рекурсивные и нерекурсивные ЛДС отличаются видом РУ.

Рассмотрим качественное отличие ИХ данных ЛДС на примерах и результаты обобщим.

Пример 2.6

Определить ИХ нерекурсивной ЛДС 2-го порядка с РУ:

y(n) b0x(n) b1x(n 1) b2x(n 2).

Если в качестве воздействия выбрать цифровой единичный импульс u0(n), то,

согласно определению ИХ, реакция на него будет представлять собой ИХ h(n), и РУ примет вид:

h(n) b0u0(n) b1u0(n 1) b2u0(n 2) .

Определим ИХ:

h(0) b0u0(0) b1u0( 1) b2u0( 2) b0

h(1) b0u0(1) b1u0(0) b2u0( 1) b1

h(2) b0u0(2) b1u0(1) b2u0(0) b2

h(3) b0u0(3) b1u0(2) b2u0(1) 0

Выводы:

1.ИХ нерекурсивных ЛДС — конечная, отсюда тождественное название — КИХ ЛДС.

2.Значения (отсчеты) ИХ КИХ ЛДС равны коэффициентам РУ:

а длина ИХ равна N.

Пример 2.7

Определить ИХ рекурсивной ЛДС 1-го порядка с РУ:

y(n) b0x(n) a1y(n 1).

Для вычисления ИХ запишем РУ в виде:

h(n) b0u0(n) a1h(n 1)

и определим ИХ:

h(0) b0u0(0) a1h( 1) b0

h(1) a1h(0) a1b0

h(2) a1h(1) a12b0

h(3) a1h(2) a13b0

…

h(n) ( 1)na1nb0

Выводы:

1.ИХ рекурсивных ЛДС — бесконечная, поэтому их также называют БИХ ЛДС.

2.ИХ БИХ ЛДС в аналитическом виде может быть получена только для простейших ЛДС 1-го и 2-го порядков.

3.В общем случае ИХ БИХ ЛДС рассчитывается по РУ.

6

2.9. Устойчивость ЛДС. Первый критерий устойчивости

ЛДС называют устойчивой, если при ограниченном воздействии:

max x(n) Rx

n

и произвольных начальных условиях реакция будет ограниченной:

max y(n) Ry ,

n

где Rx и Ry — любые сколь угодно большие положительные числа.

Первый критерий устойчивости ЛДС: для того чтобы ЛДС была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие абсолютной сходимости ряда:

n 0

Доказательство:

Определим реакцию по формуле свертки (2.3):

y(n) h(m)x(n m),

m 0

ее модуль:

Необходимость: если реакция ограничена:

max y(n) Ry ,

n

необходимо выполнение условия (2.7).

Достаточность: для того чтобы реакция была ограниченной достаточно, чтобы выполнялось условие (2.7).

Выводы:

1.КИХ ЛДС устойчивы по определению:

N1

h(n) .

n 0

2.Для БИХ ЛДС требуется проверка устойчивости.