MMPISiS

Лекция 1

Кафедра СК и РН, аудитория 514 www.sut.skri.ru

Литература:

1.Соколов Н.А. «Задачи планирования сетей электросвязи» http://nicksokolov.narod.ru

2.Вилли Иверсент «Разработка телетрафика запланированных сетей»

3.Мамонтова Н.П. «Теория телетрафика» 2003г.

4.Соколов А.Н., Соколов Н.А. «Однолинейные системы массового обслуживания»

5.Липшиц , Пшеничников, Харкевич «Учебник для ВУЗов связи теории телетрафика»

Введение

В данном курсе будут рассмотрены методы, предназначенные для планирования перспективных сетей и систем связи, методы прогнозирования, выбора структуры сетей и систем, а так же методы оценки качества обслуживания.

Структура курса:

1.Математические модели, используемые для изучения процессов в системах массового обслуживания.

2.Математические модели для изучения структуры сетей и систем (графовые модели).

3.Имитационные модели.

4.Методы для определения качества обслуживания.

Основные понятия теории телетрафика (ТТТ)

ТЕЛЕ ТРАФИК

далеко передать

Всякая система или сеть связи выполняет задачи передачи и обработки информации (декодирование, запоминание, хранение, тиражирование). Для выбора оптимальных вариантов реализации этих процессов, часто используют методы теории передачи информации (ТПИ), теории обработки информации (ТОИ) и теории распределения информации (ТРИ).

ТТТ является составляющей части ТРИ.

ТРИ разрабатывает методы построение, расчета и функционирования сетей связи (ТРИ распределяет ресурсы между пользователями).

В качестве ресурсов рассмотрим элементы коммутации, средства управления, каналы связи.

ТРИ имеет три основных раздела:

1.Теория структур.

2.Теория управления.

3.Теория телетрафика.

Теория структур занимается конструированием систем распределения информации (одно из важнейших направлений связано с теорией графов, алгеброй и математическими методами, например, математическая кибернетика).

Теория управления обеспечивает управление сетями и управление распределением информационных потоков (методы, связанные с решением вариационных задач).

ТТТзанимается исследованием вероятностных процессов, функционирования систем сетей связи (теория вероятности).

ТТТрешает четыре группы задач:

1.Изучение потоков информации в инфо коммуникационных сетях и системах. Информационное сообщение передается или в случайные или в детерминированные моменты времени. Если рассматривать системы поступления сообщений, то можно говорить о потоках вызовов (ПВ) т.е. требований, заявок, которые могут иметь различную структуру и интенсивность. Большинство ПВ подвержены колебаниям сложного характера.

2.Изучение нагрузки, создаваемой ПВ.

Доставка информации влечет за собой выполнение определенной работы. Независимо от исхода, каждая попытка обработки информации сообщения приводит к занятию определенных ресурсов, как именных, так и материальных, при этом создается нагрузка, которая характеризует интенсивность обмена информацией. Нагрузка характеризуется интенсивностью поступления вызовов и длительностью занятия (продолжительностью вызовов) систем сетей.

3.Расчет необходимого объема ресурсов сетей и систем по поступающей с учетом требуемого качества обслуживания.

4.Установление закономерности между ПВ, нагрузкой и объемом необходимого оборудования с целью обеспечения удовлетворительного качества обслуживания при наименьших затратах.

ТТТ имеет международный статус. Она тесно связана с теорией массового обслуживания, теорией вероятностей, математической статикой, теорией случайных процессов, комбинаторикой и др.

Основной результат ТТТ был получен в конце XIX - начале XX века. Большой вклад внесли русские ученые, такие как Хинчин, Колмагоров, Харкевич, Лившец, а так же и зарубежные – Эрланг, Кроммелинн, Энгсет и др.

Лекция 2

Модель обслуживания общего вида

Система распределения информации может быть представлена следующим образом:

N – источник запросов

S – количество мест в очереди

V – число обслуженных вызовов

K – емкость накопителя системы

A – поступление вызовов

В – обслуживание вызовов

Удобно описывать характеристики любой системы в краткой форме в соответствии с пяти символьной классификацией Кендалла следующим образом:

A/B/V/K/N

A(x)- характеризует закон поступления вызовов в систему, записывается в виде функции распределения промежутков между вызовами, где х – длина промежутка

В(х)- характеризует процесс обслуживания вызовов, описывается через функцию распределения промежутков

V- количество обслуживающих приборов

K=S+V – емкость накопителя, которая характеризует количество требований системы (максимальное число вызовов в системе)

N – число источников вызовов

Некоторые позиции в классификации могут отсутствовать или принимать значение ∞.

A/B/V/∞/N – система с бесконечной очередью

A/B/V/∞/∞ ↔ A/B/V – система с бесконечным числом источников и бесконечной очередью

A/B/V/K – система с бесконечным числом источников

Если процессы А и В относятся к классу случайных Марковских процессов, то в классификации это отражается буквой M (M/M/V/K/N).

Марковский процесс обладает таким свойством, что его будущее не зависит от прошлого и определяется только настоящим.

Если функция распределения обладает свойством марковости, то она имеет вид показательного распределения. Такие функции распределения удобны для расчета.

Другими вариантами распределения функций А и В – это определенное распределение, жесткоопределенный закон.

D/D/V

Детерминированное распределение менее удобно для расчетов, поэтому такие модели чаще всего рассчитывают с помощью численных методов (таблицы).

Если характер закона определить трудно, то он считается общий и определен:

G/G/V/K/N – наихудший способ расчета.

Дисциплины обслуживания в инфокоммуникационных сетях

Рассмотрим три дисциплины обслуживания:

1. Дисциплина обслуживания с отказами и по форме вызовов

ПНВ

Система РИ

ППВ

Система распределения информации представляет вызовам ресурсы из ПВ. И обслуживание считается успешным, если оно заканчивается ПОВ (потоком обслуживающих вызовов).

Неуспешный вызов образуют ППВ (потоки потерянных вызовов) и поток вызовов покидает систему, однако часть вызовов не получившая успешного обслуживания может послать повторный вызов, который учитывается как ПНВ.

Обычно абонент проявляет настойчивость и предпринимает серию вызовов. Модель хорошо описывает реальные процессы, но на практике используют редко из-за сложности математического аппарата.

2. Обслуживание с потерей.

Система РИ

ППВ

Данная модель характеризуется тем, что вызов, поступивший во время занятости ресурсов, получает отказ. В такой системе каждый вызов, включая повторный, распределяется как новый вызов.

Такая модель удобна для расчета оборудования для систем с ограниченными ресурсами.

Многие реальные модели вполне соответствуют данной модели, а математический аппарат значительно проще.

3. Дисциплина обслуживания с ожиданием.

ПНВ

В данной модели нет явных потерь вызовов, т.к. любой вызов будет ожидать обслуживания. Процесс обработки информации начинается с того, что вызов становится в очередь. По мере освобождения ресурсов вызов получит обслуживание, а в случае неуспешного обслуживания возвращается на вход в систему, т.е. в очередь.

γ - время ожидания

t - время обслуживания

Такая модель характеризует соответствующие процессы, связь с управляющим устройством, систем сетей связи и процессы происходящие при коммутации пакетов.

Потоки вызовов

Поток вызовов – это последовательность вызовов, поступающих в случайные моменты времени при непрерывном течении времени.

Существует три способа задания ПВ:

1. Очевидный, при помощи поступления вызовов ti

t

t0, t1, t2, t3…

2. Промежутки между вызовами

z1, z2, z3… zi = ti-ti-1

3.При помощи последовательности чисел ki, характеризующих количество вызовов, которые поступили на отрезках времени

k1, k2, k3…

[0;t1) [0;t2) [0;t3)

Реальные ПВ обладают свойствами, которые позволяют упростить описание этих потоков. К их числу относятся: стационарность, ординарность, наличие/отсутствие последствия.

Стационарный ПВ – это такой поток, в котором характер поступления вызовов на некотором промежутке времени зависит только от длины этого промежутка и не зависит от того, где на оси времени этот промежуток расположен.

t

∆t1=∆t2

Пример: ПВ поступает на телефонную станцию во время суток. Поток нестационарный.

ЧНН 24ч

t

Лекция 3

Характеристики ПВ

ПВ характеризуются тремя характеристиками:

1.Ω(t) -ведущая функция потока

2.µ(t)-интенсивность потока

3.λ(t)- параметр потока

Ω(t) характеризуется как математическое ожидание числа вызовов от 0 до t. Она неубывающая, неотрицательная и имеет конечное значение.

µ(t) различают для стационарных и нестационарных потоков. Для нестационарных характеризуется мгновенной интенсивностью, а для стационарных – средней интенсивностью: Ω(t) = µ(t).

λ(t) = lim π1 (t1t + ῖ)

ῖ→0 ῖ

Рассмотрим разницу µ и λ

Пусть два потока вызовов, у которых моменты вызовов совпадают, у первого поступление в момент времени не более одного вызова ( для ординарного потока), а у второго потока по два вызова (для неординарного потока).

λ1= λ2, µ1< µ2

1-й

t

2-й

t

Таким образом, λ характеризует не ПВ в целом, а моменты поступления вызовов.

Простейший ПВ

Простейший ПВ – это основная математическая модель ПВ, действующая в информационных системах. Такой поток создается большим числом источников (>100). Благодаря этому, воздействие этих источников можно считать независимым, следовательно, такой поток можно считать без последействия.

Если ограничить наблюдение за потоком интервалом, где его характеристики стационарны и считать, что один источник создает один поток вызовов в конкретный момент времени, то поток считается простейшим.

Простейший ПВ:

1 свойство (стационарность)

Если ограничено время наблюдения малы временем, например, часом наибольшей нагрузки (ЧНН), непрерывно в течение 60 минут система работает с наибольшей нагрузкой.В этом случае с приемлемой для практики точностью, поток можно считать стационарным.

2 свойство (ординарность)

Если вероятность поступления двух и более вызовов одновременно есть величина бесконечно малая, т.е. это событие практически не может произойти, то поток – ординарный.

ῖ→0

t

ῖ

πk (t,t + ῖ) – вероятность того, что на полуоткрытом промежутке (t,t + ῖ) поступит k и более вызовов

π2 (t,t + ῖ) = 0(ῖ), ῖ→0

3 свойство (наличие или отсутствие последействия)

ПВ без последействия, может быть тогда, когда характер поступления вызовов с момента начала поступления вызовов не зависит от того, что происходило до этого.

t = t0

> 100

t

1)при помощи функции распределения, где A(x) – функция распределения между вызовами

А(х): Р{z ≤ x} = π1(x) – вероятность того, что за время t=x, поступит один и более вызов

π1(x) = π0(x) – Р0(x) = 1 – е- λх

π0: 0 1 2 3 … π1: 1 2 3

Р0: 0 вызовов (π0 – π1)

А(х): Р{z ≤ x} = 1 – е- λх

А(х)

λ3

λ2 λ1< λ2< λ3 λ1

х

λi - характеризует частоту появления вызовов, следовательно интервалы вызовов будут меньше и, следовательно, вероятность того, что не превзойдет х будет мала

2)при помощи функции распределения числа событий потока, происходящего на отрезке времени t

формула Пуассона: Рk(t) = (λt)k e- λk, k = 0, 1, 2,…

k!

Pk(t) – вероятность, что к моменту времени tпоступило k-вызовов

Рассмотрим характеристики:

1.При объединении нескольких простейших ПВ получим простейший поток вызовов с параметром λобщ = λ1 + λ2 + … + λn

2.µ = λ – среднее число вызовов

3.k – среднее число вызовов

4. Dk = λ t

5.График, исследующий функцию Пуассона

Pk

1

λ3 λ2 λ1

k

1 2 3

Pk(t) является дискретным распределением и имеет смысл при целочисленных значениях k. Рассматривая огибающую вероятности Pk можно увидеть следующее: при большом значении k эти вероятности стремятся к нулю, а при малых значениях λ огибающая не симметрична. С увеличением λ максимальное значение смещено вправо: λ1< λ2< λ3, что в значительной мере соответствует нормальному распределению, которое является Законом распределения случайной величины:

Лекция 4

Потоки с простым последействием

Это ординарный поток, для которого в любой момент времени t существует конечный параметр потока в этом состоянии . t: λs(t) ≠∞

Частные случаи:

1)Симметричный ПВ

λs(t) зависит только от числа вызовов, которые обслуживаются в системе в данный момент времени

λs(t) = λi

i – число вызовов в системе

1.1) Примитивный ПВ параметр потока прямо пропорционален ПВ

λs(t) = α (N-1)

α - коэффициент пропорциональности равен параметру источников вызовов N – число источников