Теория вероятности Вариант 45
.docxГрафики построены с использованием сайта math.semestr.ru.
1. Электрическая цепь состоит из пяти элементов, выход из строя которых в заданный промежуток времени – независимые события, имеющие вероятности каждый. Найти вероятность отказа цепи за данный промежуток времени.
Решение:
По условию вероятности выхода из строя пяти элементов.
Найдем вероятность работы всей цепи при
При последовательном соединении:
Та же самая вероятность отказа будет на участке 4-5:
При параллельном соединении:
Окончательно при последовательном соединении:
Тогда вероятность отказа всей цепи:
2. Дискретная случайная величина задана законом распределения . Найти величину , построить график функции распределения данной случайной величины. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины.
|
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
|
|
0,2 |
0,4 |
0,2 |
0,1 |
Решение:
Величину a находим из условия:
|
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
|
0,1 |
0,2 |
0,4 |
0,2 |
0,1 |
Построим график распределения случайной величины.
При х 0,
При 0 < х 2,
При 2 < х 4,
При 4 < х 6,
При 6 < х 8,
При х >8,
Вычислим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины.
|
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
|
0,1 |
0,2 |
0,4 |
0,2 |
0,1 |
Математическое ожидание:
Дисперсия:
Среднее квадратическое отклонение:
3. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины задана выражением:
Найти величину коэффициента , написать аналитическое выражение и простроить график функции распределения, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины. Найти вероятности попадания данной случайной величины в интервалы и .
Решение:
Величину коэффициента a находим по свойству функции распределения:
Тогда
Найдем функцию распределения:
Тогда
График функции распределения вероятности:
Найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины.
Математическое ожидание:
Дисперсия:
Среднее квадратическое отклонение:
Найдем вероятности попадания данной случайной величины в интервалы и .
4. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины с математическим ожиданием в интервал (4; 6) равна 0,8. Найти дисперсию данной случайной величины.
Решение:
Для нормально распределенной случайно величины выполняется следующее:
Дисперсия:
5. Дискретная случайная величина задана выборкой:
1, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 3, 1
Построить полигон частот и эмпирическую функцию распределения. Найти выборочное среднее и выборочную дисперсию.
Решение:
Построим вариационный ряд: отсортируем выборку в порядке возрастания.
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3
Построим статистический ряд распределения:
|
1 |
2 |
3 |
|
12 |
3 |
10 |
n = 25 – объем выборки.
Построим полигон частот:
Найдем эмпирическую функцию распределения:
При х 1,
При 1 < х 2,
При 2 < х 3,
При х > 3,
Найдем выборочное среднее и выборочную дисперсию.
Выборочная средняя:
Выборочная дисперсия: