Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Матанализ-Заочники-1

.pdf
Скачиваний:
22
Добавлен:
16.03.2015
Размер:
401.61 Кб
Скачать

Методические указания по математическому анализу для заочников, часть 1

ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ И ЗАЧЕТА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ.

1. В процессе изучения высшей математики студент первого курса должен выполнить две контрольные работы, задачи первой из которых содержатся в данном сборнике.

2.Контрольные работы должны быть оформлены в соответствии с настоящими правилами.

Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не засчитываются и возвращаются студенту для переработки.

3.Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради, чернилами любого

цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента.

4.На обложке тетради должны быть разборчиво написаны фамилия, имя, и отчество студента, факультет, номер группы, название дисциплины (высшая математика), номер контрольной работы, номер варианта, номер зачетной книжки и домашний адрес студента. В конце работы следует поставить дату ее выполнения и расписаться.

5.Номер варианта контрольной работы, которую выполняет студент, должен совпадать с последней цифрой номера его зачетной книжки.

6.Решения задач надо располагать в порядке возрастания номеров. Условия задач следует переписать в тетрадь.

7.При решении задач нужно обосновать каждый этап решения исходя из теоретических положений курса.

Решение задач и примеров следует излагать подробно, объясняя все выполненные действия и используемые формулы. Решение каждой задачи должно доводиться до окончательного ответа, которого требует условие. В промежуточные вычисления не следует вводить приближенные

значения корней, числа π, e и т. д.

8.Срок проверки контрольных работ – 10 рабочих дней. Студенты обязаны сдавать

письменные контрольные работы не позднее, чем за 10 дней до начала экзаменационной сессии.

Впротивном случае они не будут допущены к зачетам и экзаменам.

9.После получения прорецензированной работы студент должен исправить все отмеченные

рецензентом ошибки и недочеты, внести в решения задач рекомендуемые рецензентом изменения или дополнения и прислать работу для повторной проверки. В связи с этим рекомендуем при выполнении контрольной работы оставить в конце тетради несколько чистых листов для внесения исправлений и дополнений впоследствии.

В случае незачета работы и отсутствия прямого указания рецензента на то, что студент может ограничиться представлением исправленных решений отдельных задач, вся работа должна быть выполнена заново.

При представленных на повторную проверку исправлениях обязательно должны находиться прорецензированная работа и рецензия на нее. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.

10. Прорецензированные контрольные работы вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, следует сохранять.

На экзамен студент должен явиться с рецензией на выполненную контрольную работу. Без

предъявления преподавателю прорецензированных контрольных работ студент к экзамену не допускается.

Примечание: cot x = ctg x, tan x = tg x.

в котором числа расположены в

1,2,3, … , , … , , … ,

 

(1)

 

Предел последовательности

 

 

 

 

 

 

Определение. Пусть дан натуральный ряд:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

порядке возрастания, так что большее число следует за

меньшим числом

 

 

 

 

 

 

 

каждое натуральное

 

. Если теперь заменить в ряде (1), по какому-нибудь закону,

число

 

 

 

 

 

, … , (2)

 

 

 

 

 

1, 2, 3, … , , … ,

 

 

некоторым действительным числом , то получится числовая последовательность:

1

члены (элементы) которой

 

 

 

 

занумерованы всеми натуральными числами в порядке возрастания

 

 

номеров.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(арифметическая прогрессия) или вида, + , + 2 , … , + ( 1) , …

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В школьном курсе уже

встречались примеры числовых последовательностей. Так, всем знакома

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

последовательность вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(геометрическая прогрессия).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

). Так, в

 

 

 

 

Часто последовательность задается

тем, что указывается выражение для члена (для

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, ,

 

 

, … ,

 

 

 

, …

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1)

или

 

=

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

случае арифметической или геометрической прогрессии имеем, соответственно:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вообще, последовательность (2) считается заданной, если есть правило, по

 

 

 

 

= +

 

 

 

 

 

 

= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,1,1, …

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

которому может быть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+(−1)

 

 

вычислен любой ее член при условии, что известен его номер. Заметим, что члены

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

последовательности не обязаны быть различными. Например, если задать общий член по формуле

 

 

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1, 1,1, 1, …

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

; если по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

, то мы получим последовательность

 

 

2

, 0,

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1, то будет

 

 

Определение. Постоянное число a

 

 

 

 

 

 

0,1,0,

, …

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

последовательность

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

; наконец если для общего члена взять формулу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{ }

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

последовательность будет иметь вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 : > |

 

|

 

<

 

 

 

 

 

 

называется пределом последовательности

 

 

 

 

 

, если

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначение:

 

 

 

 

 

 

 

=

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{ }

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Если две

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, если ее значения отличаются

Иными словами,

число a

является пределом последовательности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

от a сколь угодно мало, начиная с некоторого места.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теоремы о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пределах, облегчающие нахождение пределов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеет конечный предел:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{ },

 

 

 

{ }

 

 

 

 

=

, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

=

и

 

lim

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

, причем каждая из них

 

 

 

 

 

 

 

последовательности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при всех n равны:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

=

 

 

lim

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Если для двух

последовательностей

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

всегда выполняется неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, то

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

предел:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

причем каждая из них имеет конечный{ }

 

 

 

{ }

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

причем последовательности

{

 

 

}

{и }

 

{

}, { }

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{

 

 

}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

3. Если для последовательностей

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

всегда выполняется неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{

 

}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеют равный конечный предел:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, то существует

конечный предел последовательности

 

 

 

 

, равный a:

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

}

 

 

 

 

 

 

}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{

 

 

 

 

 

 

{

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

Арифметические операции над пределами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim(

±

 

 

 

 

 

 

±

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Если последовательности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) =

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеют конечный предел:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{

 

 

}

 

 

 

 

{

 

}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

их сумма (разность) также имеет

 

конечный предел:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) =

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, то

 

2. Если последовательности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

имеют конечный

предел:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{

 

 

}

 

 

 

 

{

 

}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

=

 

lim

 

=

 

 

 

 

их произведение также имеет

конечный предел:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

причем

0

, то их частное

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Если последовательности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

имеют

конечный предел:

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Особые случаи

 

 

 

 

 

 

lim

 

также имеет конечный предел:

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если последовательность

{ }

имеет конечный предел (или не имеет предела, но является при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

этом ограниченной), а

 

, то

 

 

=

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

= 0

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Если последовательность

 

 

 

 

 

 

 

 

имеет конечный предел (или не имеет предела, но является при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

этом ограниченной), а

 

{ }

 

 

 

 

, то

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{

 

 

}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

= ,

 

lim

 

 

 

=

, то

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

стремится к бесконечному пределу, то есть

 

 

 

 

 

 

 

 

∞ а

3. Если последовательность

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{

 

 

}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim(

 

 

) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеет конечный предел не равный нулю, а

 

 

 

 

 

 

, то

 

 

 

 

 

 

последовательность

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

=

 

 

 

 

 

 

lim(

± ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Если

последовательность

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеет конечный предел (или не имеет предела, но является при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

этом ограниченной), а

 

 

 

 

 

 

{ }

 

,

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

.

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) lim

 

 

2

− +2

 

 

 

 

= lim

 

 

 

3+ −

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1−1+ 22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 2

+2 −4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2 42

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) lim

 

( + 1)

1

1

=

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

1 +

1

 

 

 

1 < lim

 

 

1 +

1

1 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/2

 

 

 

 

 

 

 

 

1/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

1

 

 

 

 

lim ( + 1)

 

 

 

 

 

 

1/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи для самостоятельного решения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Показать, используя определение

 

 

 

 

1.

 

 

Дана последовательность с общим членом вида

 

 

 

 

 

 

 

предела, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

Дана

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

предела, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Показать, используя определение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

последовательность с общим членом вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

2 −2

 

 

 

2)

 

lim

 

2+1

 

 

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

3 2+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

Вычислить предел последовательности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 +7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3+ +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

1

 

 

+ 10

 

 

 

 

 

 

lim

1− 2+

 

 

 

 

lim

 

 

53−

 

 

 

 

 

 

lim

9√ −5 √

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 − 2

+1

 

 

 

 

 

 

 

+1+

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предел функции

 

 

 

 

 

 

> 0 > 0:

| ( ) |

<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| | <

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение. Будем говорить, что функция

 

 

 

 

 

 

 

имеет пределом число А при стремлении к а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

= .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

как только

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

(или в точке а), если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Основные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

> ( < )

 

 

достаточно близких к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

теоремы о пределах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( ) >

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеет конечный предел

 

 

и

 

 

 

 

 

, то для

 

 

Если при стремлении

 

 

 

 

 

 

функция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( ( )

 

< )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

значений

 

 

 

 

и сама функция удовлетворяет неравенству

 

 

 

 

 

 

 

 

сама

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функция

 

( )

 

имеет конечный положительный (отрицательный) предел, то и

2. Если при

 

( )

 

значений

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, достаточно близких к .

4.

 

 

 

 

 

 

функция положительна

 

отрицательна), хотя бы для значений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

то, по крайней мере, для

 

3. Если при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеет предел, отличный от нуля,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

достаточно близких к

 

 

 

, и сама функция

 

 

 

 

 

 

 

 

будет отлична от нуля.

 

 

 

 

 

 

 

Функция

 

 

 

 

 

 

 

не может одновременно стремится к двум различным пределам.

 

 

 

 

 

 

6. Пусть заданы две функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

, причем

 

 

 

 

| ( )|

 

< ,

| |,

<

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

стремлении

 

 

 

к

 

 

 

 

функция

 

 

 

 

 

имеет конечный предел

 

 

, то для значений

 

 

 

5. Если при ( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim ( ) = ( ≠ ∞)

lim ( ) =

 

достаточно близких к

 

 

 

, функция

будет ограниченной:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Тогда и функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

также имеют

 

 

 

 

 

 

( ≠ ∞)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( ) ± ( ), ( ) ( ),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

± , ,

 

 

конечные пределы (в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

случае частного в предположении, что

 

 

 

 

 

 

 

), а именно:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Далее мы разберем некоторые простейшие случаи вычисления пределов на практике.

3

Пример:

 

lim

 

 

2−1

 

 

=

 

 

 

02−1

 

 

= 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

Непосредственное вычисление предела

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→0

2 2− −1

 

 

 

 

 

 

2∙02−0−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

lim

(2 + 4)

 

 

2

 

2)

lim

 

 

 

3

 

 

 

3)

lim

1−sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1−cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи для самостоятельного решения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

→2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

→1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

→0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim(cos + 3

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

lim(1 2 ln )

 

 

 

 

 

 

 

 

lim(

 

 

 

 

+ 5 8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6)

→0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример:

 

lim

 

2−5 +6

 

 

= lim

( −2)( −3)

= lim

 

( −2)

=

 

3−2

= .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисление предела с помощью разложения на множители

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→3

2−8 +15

 

 

 

 

 

 

→3

( −5)( −3)

 

 

 

 

→3

( −5)

 

 

 

3−5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

lim 3−27

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

lim

 

2+3 −28

3)

 

lim

 

2−5 +6

 

 

4)

lim

3−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2−4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи для самостоятельного решения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2−9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

 

 

 

→2

−2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6)

 

 

→1

 

2−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

lim

 

 

 

 

−9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

−64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→3

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→4

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( ) =

(( ))

 

 

 

( )

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисление предела при

→ ∞

 

 

 

в случае

 

 

 

 

и

- многочлены

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

= lim

 

1− − = lim

 

1−

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1−

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→∞

2

−1

 

 

 

 

 

 

→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

→∞ 1− −

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim 5

 

 

Задачи для

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

+1

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

lim

 

5 +4

 

 

 

 

 

 

 

2)

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

2 2+1

2 +1

lim

 

 

5 −7

 

 

 

5)

 

7

 

 

 

 

 

 

2+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1− +2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

самостоятельного решения

 

 

 

 

 

 

 

2 +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25 +100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6)

 

 

 

 

 

 

1−2

 

 

 

 

 

 

 

(9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→∞

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim 1 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

10 +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+3 −1

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→∞

→ ∞

 

 

 

→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

( )

 

 

 

Пример:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в случае

( ) = ( ) ( )

, где

и

-

 

 

 

 

 

Вычисление предела при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

многочлены

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→∞ 2 + 2 −√22 + 22+ 2 + 2 +

 

 

 

→∞

 

 

 

+ 2

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 2 +

+

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 2

 

+ 2 )

( 2 + )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

lim

 

 

 

 

+ 2 +

 

 

+

 

= lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

2

= 2

Задачи для

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→∞

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

x +13 2

 

 

x +1

 

 

→∞

 

+ 1 +

 

→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

самостоятельного решения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

lim(

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

2)

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + a

 

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim(

 

 

 

 

x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

lim

 

 

1+ 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x + a)(x +b)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Первый замечательный предел

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim sin x

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Вычисление предела с использованием первого замечательного предела

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim sin mx

= lim sin mx nx

m

 

=

 

m lim sin mx lim sin nx

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

sin nx

 

 

 

 

x

0

mx sin nx

 

 

 

n

 

 

 

 

 

n

x0

 

mx

 

 

 

x0

 

 

 

nx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

y = mx,

 

 

 

 

y 0

 

 

= m lim sin y lim sin t = m

 

1 1 = m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t = nx, t 0

 

 

 

 

 

 

n

 

y0

 

 

y

 

 

 

 

t0

 

 

 

 

t

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи для самостоятельного решения

4

1) lim sin bx

2) lim

tan nx

3) lim x cot 5x

 

 

4) lim

1cos x

tan mx

 

 

2x2

x0

x

x0

x0

 

 

 

 

x0

Второй замечательный предел

 

 

+

1

x

 

 

 

lim 1

x

 

= e

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

6.Вычисление предела с использованием второго замечательного предела

 

 

 

 

x x

 

x +

6 6 x

Пример: lim

 

 

 

= lim

 

 

 

 

 

 

 

x

+ 6

 

 

x→∞ x

+ 6

 

x→∞

 

=

 

x +6

= t,

t → ∞

 

 

+

1 6t6

 

 

 

 

 

6

 

 

 

= lim 1

 

 

 

 

x = −6t 6

 

 

 

x→∞

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

x

= lim 1

+

 

 

 

 

x

+ 6

x→∞

 

 

 

 

 

 

+

1

t 6

= lim

1

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

= lim 1

+

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

x + 6

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

6

 

 

6

1

= e

6

lim 1 +

t

 

= e

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи для самостоятельного решения

 

x

2 2x

 

4x + 7 13x

 

 

 

 

x a x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

lim

 

 

 

 

2) lim

 

 

3)

lim

 

 

 

, a R, a 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞ x +

 

x→∞ 4x 2

 

 

 

x→∞ x + a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

ax

+b dx+e

 

 

 

a 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

, a,b,c, d,e R,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞ ax

+ c

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

промежутка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производная функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть функция

 

определена в промежутке

 

 

. Пусть точка

 

 

 

 

 

 

лежит внутри этого

 

 

 

+

 

 

 

Придадим независимой переменной

приращение

 

 

 

 

 

= ( 0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, так чтобы новое значение

+

 

 

 

 

+.

= ( 0

+ )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функции

 

 

= ( 0)

 

( 0

 

 

 

не выходило за пределы промежутка. Тогда значение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

значением

 

 

 

 

 

 

 

 

, то есть функция получит приращение:

 

 

 

 

 

=

 

 

 

независимой переменной

, при стремлении

∆ → 0

, т.е.

lim

 

 

 

 

( 0+∆)( 0)

, то он

Определение.

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

= lim

 

=

 

 

 

 

 

)

( 0) Если существует предел отношения приращения функции

 

 

к приращению

 

 

 

называется

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆ →0

 

 

 

∆ →0

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

производной функции

 

 

по независимой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица производных элементарных функций

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

 

 

5

(cos )2

(sin )2

1 2

1 2

1 + 2

1 + 2

Для дифференцируемых функций справедливы следующие правила нахождения производных:

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(f (x) ± g(x))

=

 

 

 

(x)

± g (x);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= k f

 

 

 

 

 

 

k R;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(k f (x))

 

(x),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(f (x) g(x))

 

(x) g(x)

+ g (x) f (x);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

 

f (x)

 

 

 

 

=

 

(x) g(x) g (x) f (x)

, g(x) 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

2

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

(f (g(x)))=

 

f gg(x)

(производная сложной функции).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Вычислить производную функции (пользуясь таблицей и правилами 1,2)

 

Пример:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cot x +1)= 2(x3 )+3,5(7

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y′ = (2x3 +3,5 7

 

 

 

 

 

 

 

 

(cot x)+(1)=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2 3 x

31

+3,5

 

 

2

x

2 / 71

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

+ 0 =

 

 

6x

2

+

 

1

 

 

+

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

sin2 x

 

 

 

 

 

 

 

sin2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

x5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи для самостоятельного решения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

y = 3x2 ;

 

 

 

 

 

 

 

2) y =

x7

 

;

 

 

 

3)

 

 

y =

 

2

 

; 4) y =

25x3

27x2 + 29x 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

y = 3

 

 

 

 

;

 

6)

 

 

y =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7)

 

 

y = 3

 

x5 ;

8)

 

 

y = 5sin x 3cos x;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

27x;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9)

y = ln x tan x + cot x ;

 

 

10)

 

 

y = x + 2

 

 

 

+ 3

 

 

;

 

 

11)

y = 2

1

 

+

1

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

4 x

 

 

 

 

 

12)

 

y = −

 

x3

 

+

3x

2

+ 4;

 

13)

 

y = x tan x +1; 14)

 

y = 2x +sin x в точке x

=

π

;

 

 

 

3

 

 

2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

+ (

 

)x ; 16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15)

 

y = x

 

 

 

 

 

 

 

 

y = ex

+ 25

 

 

 

 

7

 

 

 

 

в точке x = 4;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

x

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x3 2x2 + x +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

2x +10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 4x + 4 3x

 

 

 

 

 

 

 

 

17)

 

y =

;

 

18)

 

y =

 

x

; 19)

 

 

y =

 

 

,

x = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Вычислить производную функции (пользуясь таблицей и правилами 1-4)

 

 

 

Пример:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1) y′ =

(e

 

 

x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (e

 

 

x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ (e

 

x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

sin x + cos x

 

 

 

sin x +cos x

 

 

 

+cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

= (ex 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

+ (ex x)

(1)(sin x + cos x)(sin x + cos x)1

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x + cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(sin x + cos x)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

=

 

 

ex 1

 

 

 

+ (ex

x)

sin x cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x + cos x

(sin x + cos x)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

= (2

 

5 + 1)

.

+

(2 2 .

5 + 1) ( )

 

 

= (4

5) +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Имеем:

= (2

2 5 +

1)

 

 

 

 

 

 

 

4)

 

 

2

5 + 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

− −

4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2

 

=

(2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin +cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( sin +cos )

( cos −sin )( cos −sin ) ( sin +cos )

 

 

 

 

 

= cos −sin

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

( cos. −sin )2

 

 

 

 

 

 

 

=

cos ∙( cos −sin )( sin +cos )(− sin )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( cos −sin )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ( cos −sin )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи для самостоятельного решения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) y = (x2 +5x +1) (x2 3x +5); 2) y = (

 

+

 

 

 

) (7x + 72 ); 3) y =

 

 

7x

 

;

 

 

 

 

 

 

x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

 

y = 2cos x sin x ;

5)

y = sin x x cos x

;

 

6) y = ex

10sin x 3cos x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x + x sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7)

 

y = −

x

cos x +

 

x

sin x;

8)

y = ex sin

x

cos

x

;

 

 

9)

y =

 

x2

+1

arctan x;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10)

 

y = x lg x +10x в точке

x =1;

11)

 

 

 

y = ln x cos x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Вычислить производную сложной функции (правило 5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) Для решения задачи следует определить, какая функция является главной. В данном случае:

 

 

f (x) cos x=,

g(x) = 5x. Поэтому f

= −sin x,

g

 

= 5.Следовательно,

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= f (g) g (x) = −sin 5x 5

cos 5

 

 

 

 

 

=ln ,1

 

 

=

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Имеем:

 

 

 

 

. Таким образом, по формуле для производной

 

 

сложной функции получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

.

 

 

 

= ln sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, по формуле для производной

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

= , = (sin.

) = cos

 

= sin cos = cot

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сложной функции получаем:

 

 

 

, 1=

+ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи для

самостоятельного решения

 

 

 

= 2

 

= 2√ 2+1

(2 ) = 2+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

2

, 2

 

 

 

 

 

1)

 

y = sin2 x ;

2)

 

 

y = cos x2 ; 3)

 

y =

 

1 ln

 

x

1

;4)

 

y = tan

x

 

cot

x

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = ln(ln(ln x)) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

 

6)

 

y = tan3 x2 ;7)

y = (2x 11)11;

 

 

8)

y = (25 35x)125 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9)

 

y =

7x2 +1; 10)

y =

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

11)

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctan x

 

 

 

 

 

 

 

 

1.5 +lg11 ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

12)

 

 

 

 

 

 

 

 

13)

 

y = arctan(4(x

2

x +1)); 14)

 

 

y = lg

 

 

 

x

 

;

15)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = sin

+

 

.

 

 

 

 

1+ cos x

 

 

 

 

 

 

10x

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

4. Вычислить производные высших порядков

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если функция

 

y = f (x)

имеет конечную производную y'= f '(x)

в некотором промежутке Χ, так

что эта последняя сама представляет новую функцию от x , то может случится так, что эта функция в некоторой точке x0 из Χ, в свою очередь, имеет производную. Ее называют производной второго

порядка или второй производной функции y = f (x) в точке x0 и обозначают y'' или f ''(x0 ) . Аналогично, если функция y = f (x) имеет конечную вторую производную в целом промежутке Χ, то ее производная в какой-либо точке x0 из Χ называется производной третьего порядка или третьей производной функции y = f (x) и обозначается так: y''' или f '''(x0 ) . Подобным же

образом от третьей производной переходим к четвертой и т.д.

Пример:

7

 

 

 

 

 

 

 

x

 

1) y′′ = (x tan x)

=

(x tan x)

 

= tan x +

 

 

 

cos2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2) Пусть

y =

1 x4

1 x3

+ 2x2 +

4 x

1 . Тогда

 

 

 

 

2

 

6

 

 

 

3

2

 

 

 

y'= 2x3

1 x2

+ 4x +

4

,

y''= 6x2 x + 4,

y'''=12x

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

Все последующие производные будут равны нулю.

Задачи для самостоятельного решения

=

1

+

cos x + 2x sin x

=

2(cos x + x sin x)

 

cos2 x

 

cos3 x

 

cos3 x

1, y(4) =12.

А)

y = x

 

1+ x2

Найти y′′

 

Б)

y = ex2

Найти y′′

В) y = x ln x

Найти y′′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

′′

 

 

arcsin x

 

′′

 

 

5

 

 

′′′

Г)

y =

 

 

 

 

и

 

y =

 

 

 

и

Е)

y = x3

Найти

 

1x2

Найти y (0)

y (0) Д)

 

1x2

Найти y (0)

y (0)

y

 

Ж)

y = x2 sin 2x Найти y′′′

 

З)

y = ex cos x

Найти y(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

Исследование функции

1. Найти область допустимых значений (ОДЗ) функции Пример: y = 1x + x + 2

Первое слагаемое функции есть дробь, значит, для ее существования знаменатель не должен обращаться в ноль. Таким образом, получаем первое ограничение x 0 . Второе слагаемое представляет собой квадратный корень, который определен в случае, когда подкоренное выражение неотрицательно. Отсюда получаем второе ограничение: x + 2 0 x ≥ −2. Учитывая

оба эти ограничения окончательно получаем ОДЗ: x [-2;0) (0;)

Задачи для самостоятельного решения

А) y = 3x x3

 

Б) y =

2 x2

 

 

 

 

1+ x4

y =1x +

x

 

Ж) y =

sin x

1+ x

 

3 + cos x

 

 

 

В) y =

 

x2

1

 

 

Г) y

 

 

x2

1

 

 

 

 

 

 

=

Д)

y = (x + 7) x Е)

x2

5x + 6

 

x

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З) y =

 

 

 

 

 

И)

y = 4 5 5x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Найти точки экстремума функции

Определение. Точка x0 называется точкой максимума (минимума) функции y=f(x), если для всех x x0 из некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство f (x) < f (x0 )(f (x) > f (x0 )).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Определение. Точка x0 называется стационарной точкой функции f (x) , если f '(x0 ) = 0 .

Для нахождения точек экстремума следует:

1)найти производную и стационарные точки функции;

2)исследовать знак производной в некоторой окрестности каждой стационарной точки. Если

производная меняет знак при переходе через x0 ( x0 - стационарная точка), то x0 - точка экстремума функции. При этом , если знак меняется с плюса на минус, то x0 - точка максимума, а если с минуса на плюс – точка минимума.

Пример: 1) y = 4x3 9x2 + 6x

Сначала найдем производную: y′ =12x2 18x + 6 . Теперь ее критические точки из уравнения y′ = 0 .

Имеем 12x2 18x + 6 = 0 , откуда находим, что x

= 1 , x

2

=1. Расставим знаки производной:

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом получаем, что в точке x

 

= 1 -- локальный максимум, а

 

 

 

1

2

в точке x2 =1 -- локальный минимум.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Найти экстремумы функции f (x) = (x + 2)2 (x 1)3 . Производная

f '(x) = (x + 2)(x 1)2 (5x + 4) .

Стационарные точки: 2, 1, 4 / 5 .

 

 

 

 

 

8

Задачи для самостоятельного решения

 

 

 

 

 

1)

y = 2 + x x2 ; 2) y = (x 1)2 ; 3) y = (x 1)3 ; 4) y = (x +1)2 ex ; 5) y = (x 1)3 ex ;

 

y =

 

x

 

 

x 1

 

1 ; 9)

 

 

 

 

 

6)

 

 

; 7) y =

; 8) y = x +

y = x2 1; 10) y = 1x2 ; 11) y = ex cos x, x [0.π].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x +1

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Найти точки перегиба функции

 

 

 

 

 

 

Определение. Точка x0 называется точкой перегиба графика функции, если при переходе через нее

кривая меняет направление выпуклости.

Для нахождения точек перегиба графика следует:

1)найти все точки из области определения функции, в которых вторая производная обращается в нуль или не существует;

2)исследовать знак второй производной в некоторой окрестности каждой из этих точек. Если вторая производная меняет знак при переходе через такую точку, то это – точка перегиба.

Пример: y = x3 10x +1

Сначала следует найти вторую производную функции. Имеем: y′ = 3x2 10, y′′ = 6x. Для нахождения точки перегиба необходимо расставить знаки второй производной. Получаем:

Таким образом, данная функция имеет перегиб в точке x = 0.

Задачи для самостоятельного решения

1)

y = x3 6x2 +9x 4; 2) y = 2x2 x4 ; 3) y = x3 10x +1;

4)

y = 2x3 6x2 38x + 29; 5) y = (x 1)(x 2)(x 3); 6) y = 2x +36x2 2x3 x4 ;

7)

y = x

 

;

8) y = e2x 4ex 2; 9) y = ln x + 1 .

x

 

 

 

 

x

4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

Определение.

Значение функции y=f(x) в некоторой точке x0 отрезка [a;b] называется набольшим

(наименьшим) значением функции на этом отрезке, если для каждого x [a;b] выполняется

неравенство

f (x) f (x0 ) (f (x) f (x0 )).

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции, нужно вычислить значения

функции в критических точках, принадлежащих отрезку [a;b],

и на концах отрезка. Затем среди

полученных чисел выбирается максимум и минимум.

 

 

 

 

 

 

Пример:

 

 

 

[1;1]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 3x3 4x +8,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сначала найдем критические точки функции, принадлежащие данному отрезку. Имеем:

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

= 9x

 

4. Откуда 9x

 

4 = 0 x = ± 3 . Теперь считаем значения:

 

 

 

y(1) = 3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

= 3

 

2

3

4

 

2

 

7

;

(1) 4 (1)+8

= 9; y

3

 

 

 

+8 = 9

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

 

2

 

3

 

2

3

 

2

 

8

=

6

2

; y(1)

= 3

3

4 (1)+8 = 7.

 

 

 

y

=

 

 

4

+

9

(1)

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом:

ymin

 

2

 

= 6

2

,

ymax

 

 

2

= 9

7

.

 

 

 

 

= y

3

 

9

= y

3

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи для самостоятельного решения

9

А)

y = x2

4x + 6

на отрезке [3;10];

Б)

y = 3x x3

на отрезке

[2;1]

 

 

 

 

 

 

 

 

В)

y = 2

x

 

 

на отрезке [1;5];

Г)

 

y = x

+

1

на отрезке

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

;100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Неопределенный интеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение.

Функция F(x) , производная которой равна

f (x) , называется первообразной по

отношению f (x) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что если известна функция F(x) , первообразная относительно функции

f (x) , в некотором

промежутке, то формула F(x) +С , где С - произвольное действительное число, изображает

множество всех функций, первообразных по отношению к

f (x) в данном промежутке.

 

 

Определение.

Неопределенным интегралом функции f (x) , рассматриваемой в промежутке,

называется множество всех первообразных функций относительно

f (x) ( f (x)dx ).

 

 

Утверждение. Всякая непрерывная функция

f (x) имеет в промежутке первообразную.

Интегрирование методом разложения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема. Если функции

f1 (x) ,

f2 (x) , …,

 

fn (x) рассматриваемые совместно в одном и том же

промежутке, имеют (каждая) первообразную в этом промежутке, то

 

 

 

 

 

 

 

 

(k1 f1 (x) + k2 f2 (x) +... + kn fn (x))dx = k1 f1 (x)dx + k2

f2 (x)dx +... + kn fn (x)dx , где k1 , k2 ,...., kn -

некоторые действительные числа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица неопределенных интегралов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

xn+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

a x

 

 

 

 

x

 

 

x

 

 

 

 

1.x

 

 

dx =

 

 

 

 

 

+C, n ≠ −1 2.x

 

= ln |

x | +C

3.a

 

dx =

 

 

 

+C

4.e

 

dx = e

 

+C

 

 

 

 

n +1

 

 

ln | a |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

= tan x +C

8.

dx

 

 

 

 

 

5.sin xdx = −cos x +C

6.cos xdx = sin x +C

 

7.

 

 

 

 

= −cot x +C

 

cos2 x

sin 2 x

9.

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

10.

 

 

dx

 

 

 

 

1

 

 

 

x

 

 

 

 

11.

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

= arcsin

 

+C

 

 

 

 

= a arctan

 

 

+C

 

 

 

 

 

= ln | x +

x

 

± a

 

| +C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

x2

 

+ a2

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 ± a2

 

 

12.

 

 

dx

 

 

 

 

 

=

 

 

1

ln

 

x a

 

+C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 a2

 

 

2a

 

x + a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Вычислить неопределенный интеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример:1)

 

 

 

 

5cos x 3x

 

+

x

 

= 5

 

 

 

 

 

 

 

 

+

x

dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

cos x dx 3 x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2+1

=5sin x 3 2 +1 + ln | x | +C = 5sin x x3 + ln | x | +C

2)

 

 

 

 

dx

 

 

 

=

sin2

x + cos2 x

dx

=

 

dx

 

+

 

dx

 

 

= tan x cot x +C

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

2

 

x cos

2

x

sin

2

x cos

2

x

cos

2

x

 

sin

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

x2

 

 

dx =

 

x2

+11

dx = dx

 

 

 

dx

 

 

= x arctan x +C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ x

2

 

x

2

+1

 

 

1

+ x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи для самостоятельного решения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

1 dx 2) x dx

 

 

3) 7x dx

 

 

 

4)

x

 

dx

5) (3x

 

5x

 

+ x 3)dx

6)

 

3

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7)

 

 

 

 

dx

 

8)

 

4

 

dx

9)

 

x dx

 

10)

 

3

x7

dx 11)

 

 

 

dx 12)

x

6

dx

 

x2

 

 

 

 

x5

 

 

 

 

2

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

10