Матанализ-Заочники-1
.pdf
|
|
|
|
|
2x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||
13) |
|
∫ |
|
−1 |
dx 14) |
∫5sin x dx |
15) |
|
∫2cos x dx |
16) |
∫ |
|
dx 17) ∫cos 2 |
|
dx |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
cos2 x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
18) |
|
∫(2ex +e−x )dx |
19) |
∫ |
1+ e2x |
dx 20) |
∫2x dx 21) |
∫23x+1 dx |
22) |
∫15−x dx |
23) |
∫ |
11 |
dx |
|||||||||||||||||||
|
e |
x |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
24) |
|
∫5 +7x2 dx |
25) |
∫ |
x3 + x2 + x +1 |
dx 26) |
∫(x3 |
+ x2 −5x +11)dx |
7) |
∫(1− 2x)2 |
dx |
28) |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
∫(sin x + cos x)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∫ |
|
|
|
− |
x |
+11 dx |
|
29) |
30) |
∫sin x + |
4 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Вычислить неопределенный интеграл (интегрирование методом разложения – более сложные |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
задачи) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задачи для самостоятельного решения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
А) |
∫ |
|
2x + |
|
|
|
|
+ |
|
dx |
|
− |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
dx |
В) |
∫(1 |
− |
x)(1 |
+ |
x) dx |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
Б) ∫ |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
7x |
|
|
5x |
|
|
|
|
x |
2 |
+ x − |
3 |
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Г) |
∫ |
3 |
|
x |
2 |
|
− 4 |
|
x |
+ |
|
5x |
dx |
Д) |
∫ |
|
|
3x |
|
|
|
|
|
dx |
Е) |
∫sin x |
|
|
−cot x + |
10 dx |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|||||||||||
Ж) |
∫ex (1− 2x e−x )dx |
З) |
∫(1+sin x + cos x)dx |
И) |
∫(2x +3x )2 dx К) |
∫(ex + e−x )2 dx |
3. C помощью замены переменной вычислить неопределенный интеграл
Пусть x =ϕ(t) - монотонная функция, дифференцируемая в промежутке (α, β) и отображающая этот промежуток на интервал (a,b) на котором рассматривается функция f (x) . Пусть ϕ'(t) ≠ 0 , а t =ϕ−1 (x) - обратная функция.
Теорема. |
Если Φ(t) есть первообразная относительно функции |
f (ϕ(t))ϕ'(t) , то функция |
||||||||||||||||||||||||||||
F(x) = Φ(ϕ−1 (x)) есть первообразная относительно |
f (x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Отсюда имеет место правило замены переменной под знаком интеграла: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (ϕ(t))ϕ'(t)dt = ∫ f (x)dx. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) ∫e |
x2 |
|
|
|
|
|
t = x2 |
|
|
|
|
= ∫e |
t |
|
1 |
1 |
t |
|
|
1 |
t |
|
1 |
x2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
xdx = |
|
|
|
dt = 2xdx xdx |
1 |
|
|
|
2 dt |
= 2 ∫e |
|
dt = |
2 e |
|
+C = |
2 e |
|
+C |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
t = x2 |
|
|
|
|
1 |
|
dt |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2) ∫ |
|
dx = |
|
|
1 dt |
= |
2 ∫ |
|
|
= 2 arctan x |
|
|
+C |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1+ x4 |
dt = 2xdx xdx = |
1+t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) ∫ln x dx = |
|
t = ln x |
|
= ∫tdt = t 2 |
+C = ln2 x |
+C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
dt = |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задачи для самостоятельного решения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11
|
|
|
π |
|
|
|
|
||
1) ∫cos 25x dx |
3x + |
3) ∫ 1− x dx 4) ∫tan(x +1) dx |
5) ∫cot(x −1) dx |
||||||
2) ∫sin |
6 |
dx |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
|
∫ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dx |
|
|
7) |
|
∫(25x −125)25 |
dx |
|
|
8) ∫cos3 x sin x dx 9) |
|
|
∫sin x sin 3x dx |
|
|
10) ∫x6 ex7 dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫arctan2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
||||||||||||||||
11) |
∫ |
|
ex |
|
|
|
|
dx |
|
12) |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13) |
|
dx |
|
|
|
14) |
∫ |
|
|
|
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 + e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin x |
|
1 |
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
4. Используя метод интегрирования по частям, вычислить неопределенный интеграл |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть u = f (x) |
|
|
и |
|
v = g(x) |
- функции, имеющие непрерывные производные u'= f '(x) и |
v'= g'(x) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда, по правилу дифференцирования произведения, d (uv) = du dv + v du или |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u dv = d(uv) −v du . Для выражения |
d(uv) первообразной будет, очевидно, uv . Поэтому имеет |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
место формула интегрирования по частям: ∫udv = uv − ∫vdu . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1) ∫x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = ln x, |
|
dv = x3dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
− ∫ |
x4 |
1 |
|
|
|
|
x4 |
|
∫ |
x3 |
|
x4 |
|
|
x4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ln xdx = |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
= ln x |
|
|
|
|
x dx = ln x |
|
|
|
|
− |
|
dx = ln x |
|
|
|
|
− |
|
+C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
4 |
|
4 |
4 |
|
16 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du = x |
, |
|
|
v = |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) ∫ln xdx = |
|
u = ln x, |
|
|
dv = dx |
|
= x ln x − ∫x 1x dx = x ln x − ∫dx = x ln x − x +C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
du = |
1 , |
|
|
|
v = x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
∫x2 sin xdx = |
|
u = x2 , |
|
dv = sin x |
|
|
= −cos x x2 + ∫2x cos xdx = |
|
u = 2x, |
dv = cos x |
|
= −cos x x2 + |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du = 2x, |
|
|
v = −cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du = 2, |
v = sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2x sin x − ∫2cos xdx = −cos x x2 |
+ 2x sin x + 2sin x +C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) ∫e |
ax |
sin bx dx = e |
ax |
|
|
|
− |
cosbx |
|
a |
∫e |
ax |
cosbx dx |
= e |
ax |
|
cosbx |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
+ |
b |
|
|
|
− |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
+ |
a |
|
|
|
ax |
|
sin bx |
|
− |
a |
∫e |
ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
e |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
b |
|
|
sin bx dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eax cosbx |
|
a eax sin bx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Значит |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
sin bx dx = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1+ |
b |
|
|
∫e |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Откуда ∫e |
ax |
|
sin bx dx |
= − |
b eax cosbx |
|
+ |
|
a eax sin bx |
+C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1+ a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задачи для самостоятельного решения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
А) ∫x e2x dx |
|
|
Б) |
∫x cos2 x dx |
В) |
|
∫x2 sin(−x) dx |
Г) |
∫x ln x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варианты контрольных работ Примечание: cot x = ctg x, tan x = tg x.
Напоминаем, что номер варианта определяется последней цифрой зачетной книжки. Пример: зачетная книжка студента эф-561-2007. Вариант студента – номер 1.
Вариант 0
1. Вычислите предел функции: 1) lim(2x3 − x +10)
x→1
lim( |
|
|
|
) 5) lim |
sin 3x |
|
x2 + x +11 − |
x2 − x +11 |
|||||
tan 21x |
||||||
x→∞ |
|
|
|
x→0 |
2. Вычислите производную функции:
2) |
lim |
2x2 −8 |
|
x2 +8x − 20 |
|||
|
x→2 |
6) lim x + 7 x+14 x→∞ x −7
3) lim |
2x4 −3x +11 |
4) |
|||
x3 |
− x4 |
|
|||
x→∞ |
|
12
1) y = 3sin x + x3 − 2x 2) y = |
|
x |
+1 |
3) y = 3tan x (2x −ln x) 4) y = arcsin(2x +10) |
|
|
|
|
|||
x −3 |
|||||
|
|
|
3. Исследование функции. Дана функция: y = x + 1x . Найти ее ОДЗ, локальные экстремумы, точки
перегиба и наибольшее и наименьшее значение на отрезке [0,5; 2,5]. 4. Вычислить интеграл
10 |
|
2) ∫cos x (tan x +1)dx 3) |
∫(1 + x)25 dx 4) ∫x ln x dx |
|
1) ∫ |
x |
+ x + 2sin x dx |
||
|
|
|
|
Вариант 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
Вычислите предел функции: 1) |
lim(x4 |
−12x +8) |
2) |
lim |
3x2 |
− 48 |
|
3) |
lim |
x5 +5x4 − x + 2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
x→4 |
x2 −8x +16 |
|
x→∞ 7x3 + 4x5 + 4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tan 7x |
|
|
|
x −11 |
2x |
|
|
|
|
|
||||||
4) |
lim( 4x |
2 |
+ 2x − |
4x |
2 |
−2x ) |
5) |
lim |
6) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
tan11x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
x→∞ x +11 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. |
Вычислите производную функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
y = arcsin x + 4x3 − 2x |
|
y = ln x + 2 |
|
|
(arccos x −1) 4) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1) |
2) |
3) y = 2 |
|
y = |
1− x2 |
|||||||||||||||||||||||
x |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Исследование функции. Дана функция: y = 1x + x12 . Найти ее ОДЗ, локальные экстремумы, точки
перегиба и наибольшее и наименьшее значение на отрезке [−3; −1]. 4. Вычислить интеграл
|
−2 |
|
|
4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
∫ |
2x e |
x2 |
dx |
|
∫ |
|
||||||||||
1) |
|
|
|
|
+5x |
|
+ |
|
|
|
|
dx 2) |
∫ |
x |
|
|
+7 |
dx |
3) |
|
|
4) |
x sin x dx |
||||||||||||
|
|
|
1+ x2 |
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Вариант 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
Вычислите предел функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1) |
lim(x3 |
−9x +18) 2) |
lim |
2x2 − 2 |
|
|
3) |
lim 7x3 + 25x2 |
+ x −8 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x2 +10x −11 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
x→∞ |
7x3 − 25x2 |
|
|
|
2x−10 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 5x |
|
|
|
2x −5 |
|
|
||||||||
4) |
lim( x |
2 |
+ 2x −1 − x |
2 |
− |
2x −1) |
|
5) |
|
lim |
|
6) |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
tan11x |
|
2x +5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
||||||||||
2. |
Вычислите производную функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1) |
y =17 ln x + x6 |
− tan x |
|
2) y = |
x2 |
+ 2 |
|
|
3) |
|
y = 3 |
|
|
(2sin x − 4x ) 4) |
y = arctan(x −11) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
+5x +1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Исследование функции. Дана функция: y = ln x − 2x2 . Найти ее ОДЗ, локальные экстремумы, точки перегиба и наибольшее и наименьшее значение на отрезке [1/ e; 1].
4.Вычислить интеграл
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
1) |
∫ |
|
|
|
− |
3x +2cos x |
dx |
2) ∫sin x (cot x −1)dx |
3) |
|
|
|
|
dx |
4) |
∫x ex dx |
|||||||||||
|
2 |
|
x ln x |
||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вариант 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
Вычислите предел функции: 1) |
lim(x2 |
−2x +8) |
2) |
lim |
|
x2 −49 |
3) lim |
12x4 + 25x3 +8x |
||||||||||||||||||
|
2x2 −12x −14 |
6x3 −25x2 + x4 −1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→4 |
|
|
|
|
x→7 |
|
x→∞ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tan17x |
|
|
|
3x + 4 |
3x |
|
|
|
|||||
4) |
lim( |
|
9x |
2 |
+3x − |
9x |
2 |
−3x )5) lim |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
sin11x |
6) lim |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
x→∞ 3x +5 |
|
|
|
|
|||||||||
2. |
Вычислите производную функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1) |
y = 8x +5x −arctan x 2) |
y = |
x +sin x |
3) |
y = (12x +1) arcsin x |
4) y = ln(cos x) |
|||||||||||||||||||||
x −cos x |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Исследование функции. Дана функция: y = x − 2arctan x . Найти ее ОДЗ, локальные экстремумы, точки перегиба и наибольшее и наименьшее значение на отрезке [− 3; 0].
13
4. Вычислить интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
||||||||
|
|
3 |
|
5 |
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|||
1) |
|
|
|
−6x |
|
+9 |
dx |
2) |
|
sin x |
|
+8 |
dx |
3) |
|
|
|
4) |
|
x cos x dx |
|
∫ |
|
|
∫ |
|
∫x2 |
+7 |
∫ |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x4 |
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
Вариант 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
Вычислите предел функции: |
1) |
|
lim(2x2 |
−3x −10) |
2) |
lim |
x2 |
−36 |
|
|
3) |
lim |
10x6 −11x3 +13 |
||||||||||||||||||||
|
x2 + x −42 |
6x3 − 2x2 + x6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→5 |
|
|
|
|
|
|
x→6 |
|
x→∞ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tan 7x |
|
|
|
|
x − 4 2x+4 |
|
|
|
|
||||||
4) |
lim( |
x |
2 |
+ x −1 − |
x |
2 |
− x +1) |
5) |
|
lim |
|
|
6) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
sin x cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
x→∞ x + 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2. |
Вычислите производную функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1) |
y = |
|
x +3x −arccos x 2) y = |
|
3) |
y = 3sin x arcsin x |
4) |
y = 3 |
ln x +1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
x −1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Исследование функции. Дана функция: y = x2 x+ 4 . Найти ее ОДЗ, локальные экстремумы, точки
перегиба и наибольшее и наименьшее значение на отрезке [1; 3]. 4. Вычислить интеграл
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
x |
|
2) ∫2x (2−x |
+ 4x )dx 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ x +1dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1) ∫ |
|
|
|
|
|
|
+4x |
|
+e |
|
dx |
4) ∫ln x dx |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вариант 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
Вычислите предел функции: 1) lim(x4 −3x3 −4) |
2) |
|
lim |
|
3x2 |
−3 |
|
3) lim |
x5 −12x2 +1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6x3 + x2 + x5 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−1 |
|
x |
|
|
|
|
x→−1 x2 +3x + 2 |
x→∞ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
2x +1 |
|
3x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4) |
lim( |
16x |
2 |
+ 2x − |
16x |
2 |
−2x ) 5) lim |
2 |
|
|
6) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
x cos x |
2x − 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|||||||||
2. |
Вычислите производную функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x +1 |
|
|
|
1 |
|
|
1) |
y = |
3 |
x |
2 |
+ ln x −5sin x |
2) y = |
3) y |
= tan x |
4) |
||||
|
|
2x −1 |
|
+ cos x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
3. |
Исследование функции. Дана функция: |
y = |
|
1 |
. Найти ее ОДЗ, |
||||||||
x2 |
− x +1 |
точки перегиба и наибольшее и наименьшее значение на отрезке [−1; 1]. 4. Вычислить интеграл
y = 2sin x
локальные экстремумы,
|
∫( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
∫2 |
|
|
3 |
|
dx |
|
∫ |
2x cos(x2 +1)dx |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1) |
2sin x +5x4 −3 |
x2 |
|
dx |
2) |
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
3) |
|
|
4) |
|
|
arcsin x dx |
|
|||||||||||||||||||||
Вариант 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
Вычислите предел функции: 1) |
lim |
(x3 |
− x2 +3x |
+1) 2) |
lim |
3x2 |
−12 |
|
|
3) |
lim |
x3 − 2x5 |
+14 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
−9x +14 |
|
|
|
|
− x5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x→2 |
|
x→∞ |
100 + x2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tan |
|
|
|
|
|
|
|
7x +3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
lim( 36x |
2 |
+12x − |
|
36x |
2 |
− |
12x ) |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4) |
|
|
|
5) |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
6) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 x |
|
|
|
x→∞ |
7x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2. |
Вычислите производную функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
+3x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
y = |
|
3) |
y |
|
cos x + |
sin x |
|
|
4) |
y = |
|
x |
|
|
||||||||||||||||
y = 4 4 x + cot x −arctan x |
|
|
= − |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3x |
−3x |
4 |
4 |
|
|
|
x +1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Исследование функции. Дана функция: y = x2 1− x . Найти ее ОДЗ, локальные экстремумы, точки
перегиба и наибольшее и наименьшее значение на отрезке [1/ 3; 2 / 3]. 4. Вычислить интеграл
14
|
|
x2 |
|
4x |
|
|
x3 −8 |
|
3) ∫e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
x |
|
||||||
1) ∫ |
3sin x + |
|
− |
|
dx |
2) ∫ |
|
dx |
|
|
e |
|
+1dx |
4) ∫x 2 |
|
ln 2 dx |
||
|
|
2 |
|
ln 4 |
|
|
x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
Вычислите предел функции: 1) |
lim(x3 |
−3x2 |
−3x +3) |
2) lim |
|
|
x2 |
−9 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
3x2 −21x +36 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→3 |
|
|
|
3x |
|||||||||
|
|
2x5 |
−12x6 +8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
9x |
|
|
||||||
3) |
lim |
4) |
lim( |
|
x |
2 |
+ 2x |
− x |
2 |
− x ) |
5) |
lim |
|
|
|
|
6) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||
|
x→∞ x3 − x2 +6x6 −1 |
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
sin |
|
|
|
|
x→∞ 9x − |
|
||||||||||||
2. |
Вычислите производную функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
y = ( |
|
|
|
|
|
|
) ex 4) y = tan |
|
|
||||||||||||||||||||
1) |
y = 5 5 |
|
+ arctan x − 2x |
2) |
y = ln x +sin x |
3) |
|
+ |
|
|
x + 2 |
|||||||||||||||||||||||
x |
x |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
3.Исследование функции. Дана функция: y = x(ln x −1). Найти ее ОДЗ, локальные экстремумы, точки перегиба и наибольшее и наименьшее значение на отрезке [1/ e; e].
4.Вычислить интеграл
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 − |
2 |
|
|
|
sin |
2 |
x +cos |
2 |
x dx |
|
|
|
∫ |
tan x dx |
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||
1) |
25cos x −9x |
|
|
|
dx 2) |
|
|
|
|
|
|
3) |
|
4) |
|
|
|
|
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x3 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫cos2 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Вариант 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
Вычислите предел функции: 1) |
|
lim(x2 |
−3x + 4) |
|
2) |
lim |
|
|
|
x2 −16 |
3) |
lim |
x3 +7x4 +6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→4 |
2x2 −12x +16 |
|
|
|
|
x→∞ |
|
1− x2 − x4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x +1 x−7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4) |
lim( |
|
x |
2 |
|
+ 2x −1 |
− x |
2 |
|
+ x + 2) |
5) |
lim |
|
|
|
|
|
|
6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→0 |
tan |
|
|
|
|
x→∞ |
6x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2. |
Вычислите производную функции |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x +1 |
|
|
|
|
|
y = (e |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||
1) |
y = |
3 |
|
x |
2 |
|
+ ln x −5sin x |
2) y = |
|
3) |
|
x |
|
2 |
|
|
|
4) y |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ e |
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2x − |
|
|
|
|
|
|
|
= ln |
|
|
|
−1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Исследование функции
Дана функция: y = x2 − 2 x +1. Найти ее ОДЗ, локальные экстремумы, точки перегиба и наибольшее и наименьшее значение на отрезке [0; 4].
4. Вычислить интеграл
|
∫ |
|
3 |
|
|
1 |
|
|
sin x |
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
∫ |
cos2x dx |
|
∫ |
|
|
1) |
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
dx |
2) |
∫ |
x |
|
+ |
|
dx |
3) |
4) |
x cos3x dx |
||||
2x |
2 |
cos2 |
x |
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
Вариант 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
Вычислите предел функции: |
1) |
lim |
(x2 |
−5x −5) |
|
|
2) |
lim |
|
|
x2 − 25 |
|
|
|
3) |
lim |
|
x2 − x7 + 4 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x2 − 2x −15 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−5 |
|
|
|
|
|
x→5 |
|
|
|
x→∞ x3 +7x2 + x7 −10 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
5x |
+5 x+5 |
|
|
|
|
|
|
|||
4) |
lim( x |
2 |
+3x − |
x |
2 |
−2x −1) |
5) |
lim |
|
|
|
|
|
6) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
sin |
2 |
2x cos x |
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x→∞ 5x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. |
Вычислите производную функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
tan x + cot x |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
2 |
3 / 2 |
||||||||||
1) |
y = log2 x −7sin x |
+ |
|
|
|
|
|
2) |
y |
= |
tan x −cot x |
3) |
y |
= |
|
|
|
+ ln x |
|
|
+ x 4) |
y = (x |
|
+ x +1) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
3.Исследование функции. Дана функция: y = x2 ln x . Найти ее ОДЗ, локальные экстремумы, точки перегиба и наибольшее и наименьшее значение на отрезке [1/ 3; 1].
4.Вычислить интеграл
|
∫ |
|
|
2 |
|
2 |
|
x |
|
|
x5 |
+ x3 + x +1 |
|
∫ |
cot x dx |
|
|
x |
|
|
|
1) |
|
3x |
|
− |
|
+e |
dx |
2) |
|
|
|
|
dx 3) |
4) |
|
|
|
dx |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
∫ |
|
x |
|
|
|
∫sin2 |
x |
|
15