Linal_Semestr_III
.pdfЛинейная алгебра
3 семестр
30.12.2009
1
Содержание
1 |
Сопряженный оператор. Определение, свойства. Инвариантность ортогонального дополнения |
|
|
относительно сопряженного оператора. |
4 |
2 |
Связь матрицы линейного оператора и сопряженного к нему в вещественном(комплексном) |
|
|
евклидовом пространстве. Теорема о существовании единственного сопряженного оператора |
|
|
для любого линейного оператора, действуещего в евклидовом пространстве. |
4 |
3 |
Собственные значения и собственные вектора сопряженного оператора. |
5 |
4 |
Определение нормального оператора. Теоремы о собственных векторах нормального опера- |
|
|
òîðà. |
5 |
5 |
Определение ортогонального (унитарного) оператора. Примеры. Свойства собственных зна- |
|
|
чений и собственных векторов. |
5 |
6 |
Необходимые и достаточные условия ортогональности линейного оператора. |
6 |
7 |
Самосопряженный оператор. Определение. Необходимое и достаточное условие самосопря- |
|
|
женности линейного оператора. |
6 |
8 |
Теорема о корнях характеристического оператора самосопряженного оператора. |
7 |
9Теорема о собственных векторах самосопряженного оператора, отличающихся различными собственными значениями. Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональ-
|
íîìó âèäó. |
7 |
10 |
Сингулярные числа. Сингулярные базисы. |
7 |
11 |
Сингулярное разложение. Схема построения сингулярного разложения. |
8 |
12 |
Билинейные формы (БФ). Определения, примеры. Теорема об однозначном представлении |
|
|
БФ в общем виде. |
9 |
13 |
Теорема о необходимом и достаточном условии симметрии БФ. Теорема о связи БФ в раз- |
|
|
личных базисах. Ранг БФ. |
9 |
14 |
Квадратичные формы (КФ). Определение, примеры. Теорема об однозначном представлении |
|
|
КФ в общем виде. |
10 |
15 |
Виды КФ. Теорема о связи БФ, полярной к КФ, и скалярного произведения. |
10 |
16 |
Приведение КФ к каноническому виду методом Лагранжа. |
11 |
17 |
Приведение КФ к каноническому виду методом Якоби |
11 |
18 |
Закон инерции КФ. |
12 |
19 |
Необходимые и достаточные условия знакоопределенности, знакопеременности и полуопре- |
|
|
деленности КФ. |
13 |
20 |
Критерий Сильвестра. |
13 |
21 |
БФ и КФ в комплексном пространстве. |
14 |
22 |
БФ и КФ в вещественном евклидовом пространстве. Теорема о представимости БФ в евкли- |
|
|
довом пространстве. |
15 |
23 |
Теорема о связи матриц БФ и линейного оператора в ортонормированном базисе. Теорема о |
|
|
необходимом и достаточном условии симметричности БФ в евклидовом пространстве. |
15 |
24 |
Приведение КФ к сумме квадратов в ортонормированном базисе. |
15 |
25 |
Теорема об одновременном приведении двух КФ к каноническому виду. |
16 |
2
26 |
Гиперповерхности второго порядка в евклидовом пространстве. Инварианты гиперповерхно- |
|
|
ñòè. |
16 |
27 |
Схема исследование ГП второго порядка. |
17 |
28 |
Классификация ГП второго порядка. |
18 |
29 |
Сопряженное пространство. Базис в сопряженном пространстве. |
19 |
30 |
Ковариантные и контравариантные векторы. Теорема о связи двух различных базисов в со- |
|
|
пряженном пространстве. |
19 |
31 |
Полилинейные формы (ПФ). Примеры. Теорема о множестве ПФ. |
20 |
32 |
Координаты ПФ. Правило суммирования по умолчанию. Теорема о связи координат ПФ в |
|
|
различных базисах. |
20 |
33 |
Тензор. Типы тензоров. Примеры. Пространственные матрицы. |
21 |
34 |
Линейные операции с тензорами. Теорема о множестве тензоров. |
21 |
35 |
Произведение тензоров. Теорема о линейной комбинации или произведений. |
22 |
36 |
Свертывание. Примеры. |
22 |
37 |
Транспонирование |
22 |
38 |
Симметрирование и альтернирование. |
23 |
3
1Сопряженный оператор. Определение, свойства. Инвариантность ортогонального дополнения относительно сопряженного оператора.
De nition. c' 2 L (Ln; Lm) : ' : Lm ! Lnназывается сопряженным оператором к оператору ', åñëè 8x 2
Ln; 8y 2 Lm ('x; y) = (x; ' y).
Свойства:
1. (' ) = '
2. (' + ) = ' +
3. (' ) = '
4.( ') = ' , 2 R ( ') = ' , 2 C
5.(' ) 1 = (' 1)
Theorem. im ' = ker?'
Доказательство. 8x 2 ker '; 8y 2 im ' (x; ' y) = ('x; y) = ( ; y) = 0 ) x ? ' y
De nition. H инвариантно1 относительно '; åñëè 8x 2 H 'x 2 H.
Theorem. Åñëè H инвариантно относительно ', òî H? инвариантно относительно ' .
Доказательство. cx 2 H;y 2 H?:'x 2 H:
('x; y) = 0 = (x; ' y) ) x ? ' y ) ' y 2 H?
2Связь матрицы линейного оператора и сопряженного к нему в вещественном(комплексном) евклидовом пространстве. Теорема о существовании единственного сопряженного оператора для любого линейного оператора, действуещего в евклидовом пространстве.
Theorem. c [']e = A; [' ]e = A
Для вещественного евклидова пространства A = Ãe 1AT Ãe
Доказательство. ('x; y) = (x; ' y) , [x]Te AT Ãe [y]e = [x]Òe ÃeA [y]e , A = Ãe 1AT Ãe
Для комплексного евклидова пространства A = Ãe 1AT Ãe
Доказательство. ('x; y) = (x; ' y) = [x]Te AT Ãe[y]e = [x]Te ÃeA [y]e , A = Ãe 1AT Ãå
Theorem. Для каждого оператора существует сопряженный оператор и причем только один.
Доказательство. |
|
|
|
|
c' : "n ! "m |
|
T |
|
|
Существование: ce - ортонормированный базис и [ ]e = [']e |
|
|
||
('x; y) = [x]eT [']eT e [y]e = [x]eT [ ]e [y]e |
) |
('x; y) = (x; y) |
) |
= ' |
{(x; y) = [x]eT e [ ]e [y]e = [x]eT [ ]e [y]e |
|
|
Единственность: c! è ' - сопряженные операторы к '
('x; y) = (x; !y) = (x; ' y) ) [(x; y) (x; z) , y = z] ) !y = ' y ) ! = '
1Напомним, что для инвариантного подпространства H 8x 2 H 'x 2 H
4
3Собственные значения и собственные вектора сопряженного оператора.
' : "n ! "n; ' : "n ! "n: |
|
|
пространстве |
собственные значения операторов ' è ' совпадают. |
||||||||||||||||||
Claim.j |
В вещественном евклидовом |
|||||||||||||||||||||
A |
|
E |
j |
= |
|
AT |
|
E |
|
= |
|
1AT |
e |
|
E |
|
= A |
|
E |
j |
- характеристические многочлены совпадают. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
j |
|
|
Theorem. Если - собственное значение оператора ' : Un ! Un, то - собственное значение оператора ' .
Доказательство. 'x = x. cy - собственный вектор ' ; ' y = y
('x; y) = (x; ' y) ) ( x; y) = (x; y) ) (x; y) = (x; y) ) =
Theorem. Каждый собственный вектор оператора ' ортогонален собственным векторам оператора ' , îòâå- чающим другим собственным значениям.
Доказательство. 'x = x; ' y = y ( =6 )
('x; y) = (x; ' y) ) ( x; y) = (x; y) ) ( ) (x; y) = 0 ) x ? y
4Определение нормального оператора. Теоремы о собственных векторах нормального оператора.
De nition. ' : "n ! "n (Un ! Un) называется нормальным, если '' = ' '
Матрица A называется нормальной, если |
|||
AA = A A, A = |
{AT |
для комплексного евклидовогого пространства |
|
|
|
AT |
для вещественного евклидового пространства |
Theorem. Оператор ' является нормальным , в любом ортонормированном базисе его матрица является нормальной.
Доказательство. [' ]e = [']Te - в ортонормированном базисе для комплексного евклидового пространства.
'' = ' ' , [']e [' ]e = [' ]e [']e , [']e
Theorem. Собственные вектора, соответстующие собственному значению нормального оператора ', являются собственными векторами оператора ' , соответствующими собственному значению .
Доказательство. c' - нормальный оператор и 'x = x. Тогда (' E) - тоже нормальный оператор.
(' E) x = ) ((' E) x; (' E) x) = 0 ) (x; (' E) (' E) x) = (x; (' E) (' E) x) =
((' E) x; (' E) x) = 0 ) (' E) x ) (' E) x = - x является собственным вектором оператора ' , соответствующим
Theorem. Собственные векторы нормального оператора, отличающиеся различными собственными значениями, ортогональны.
Доказательство. c' - нормальный оператор. 'x = x; 'y = y ( =6 ).
('x; y) = (x; ' y) ) ( x; y) = (x; y) ) ( ) (x; y) = 0 ) x ? y
5Определение ортогонального (унитарного) оператора. Примеры. Свойства собственных значений и собственных векторов.
De nition. ' : "n ! "n (Un ! Un) называется ортогональным (унитарным), если 8x;y 2 "n (Un) выполняется
A A = AA = E.
Theorem. ('x; 'y) = (x; y)
Доказательство. 8x; y 2 Un (Ax; Ay) = (x; A Ay) = (x; y)
Theorem. Унитарный оператор является нормальным.
Example.
1. |
Поворот вектора на определенный угол (Матрица Гивенса) - |
cos' |
sin' |
) |
|
|
( sin' |
cos' |
|
2. |
Отражение вектора относительно плоскости (Матрица Хаусхолдера) |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
Ортогональный (унитарный) оператор сохраняет длину элемента.
Theorem. Собственные значения ортогонального (унитарного) оператора по абсолютной величине равны 1.
Доказательство. 'x = x
('x; 'x) = ( x; x) = (x; x) = (x; x) ) = 1 ) j j2 = 1
6Необходимые и достаточные условия ортогональности линейного оператора.
Theorem. ' : "n ! "n (Un ! Un) является ортогональным (унитарным) |
, ' переводит любой ортонорми- |
||||||||||||||
рованный базис также в ортонормированный. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Необходимость: c' - ортонормированный (унитарный) оператор |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1; |
i = j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
('ei; 'ej) = (ei; ej) = {0; i = j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система ('e1; 'e2; : : : ; 'en) ортогональна ) линейно независима ) ортонормированный базис. |
|||||||||||||||
Достаточность: (ei; ej) = {0; |
i = j - ортонормированный базис. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1; |
i = j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1; |
i = j |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (ei; ej) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
('ei; 'ej) = {0; i = j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∑ |
6 |
|
|
∑ |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
n |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n |
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
(x; y) = (i=1xiei; j=1yjej) |
= k=1xkyk (= k=1xk |
yk |
) |
|
|
|
|
||||||||
i∑ |
n |
∑ |
n |
|
|
∑ n |
|
|
|
n |
|
|
|
||
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'x = ' =1xiei = i=1xi 'ei, 'y = j=1yj 'ej |
|
|
|
|
) |
|
|
||||||||
|
∑ |
|
∑ |
|
|
|
∑ |
( ∑ |
|
|
|||||
('x; 'y) = (i=1xi 'ei; j=1yj'ej) |
= k=1xkyk |
= k=1xk |
yk |
|
|
|
|||||||||
('x; 'y) = (x; y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Theorem. ' : "n ! "n (Un ! Un) является ортогональным (унитарным) |
|
, его матрица в любом ортонорми- |
|||||||||||||
рованном базисе является ортогональной (унитарной). |
|
|
|
||||||||||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( e = E) |
||
Необходимость: |
- ортогональный и |
|
ортонормированный базис |
||||||||||||
|
T |
c'T |
|
|
T |
|
e - |
T |
[']e = E. |
|
|||||
('x; 'y) = [x]e [']e [']e |
[y]e = [x]e |
[y]e ) [']e |
|
|
|
Достаточность: в обратную сторону.
7Самосопряженный оператор. Определение. Необходимое и достаточное условие самосопряженности линейного оператора.
De nition. ' : "n ! "n (Un ! Un) называется симметричным (эрмитовым) или самосопряженным, если
8x;y 2 R(x; y 2 C) выполняется ('x; y) = (x; 'y) ; ' = '
Матрица A называется самосопряженной, если
A = A = |
{AT |
для комплексного евклидового пространства |
|
|
|
AT |
для вещественного евклидового пространства |
Theorem. ' : "n ! "n (Un ! Un) является самосопряженным , в любом ортогональном базисе его матрица самосопряженная.
Доказательство.
('x; y) = (x; 'y) ) [x]Te [']Te e [y]e = [x]Te e [']e [y]e ) [']Te = [']e - для вещественного евклидового
пространства.
('x; y) = (x; 'y) ) [x]Te [']Te e[y]e = [x]Te e[']e [y]e ) [']Te = [']e - для комплексного евклидового пространства.
Достаточность доказывается в обратном порядке. Claim. Самосопряженный оператор является нормальным.
6
8Теорема о корнях характеристического оператора самосопряженного оператора.
Theorem. Нормальный оператор является самосопряженным , корни его характеристического многочлена вещественные.
Доказательство.
Необходимость:
' : Un ! Un - нормальный и самосопряженный.
'x = x, 'x = x ) = ) 2 R ' : "n ! "n
ce - базис в "n; Un - унитарное пространство той же размерности и f - базис в нем.
Оператор : Un ! Un таков, что [']e = [ ]f
Характеристические многочлены этих матриц совпадают. По предыдущему пункту собственные значения оператора вещественные ) у оператора ' также все корни вещественные.
Достаточность:
ce = (e1; : : : ; en) - ортонормированный базис в унитарном пространстве Un, составленный из собственных векторов нормального оператора ', действующего в этом пространстве.
i∑ |
∑ |
∑ |
∑ |
n |
n |
n |
n |
' |
xiei = |
xi iei, ' xiei = |
xi iei ( - вещественное). |
=1 |
i=1 |
i=1 |
i=1 |
'x = ' x ) ' = '
9Теорема о собственных векторах самосопряженного оператора, отличающихся различными собственными значениями. Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду.
Theorem. Собственные вектора самосопряженного оператора, отличающиеся различными собственными зна- чениями, ортогональны.
Доказательство. Самосопряженный оператор - нормальный
Corollary. (Из теоремы о корнях характеристического уравнения самосопряженного оператора) Оператор является самосопряженным , его матрица в ортонормированном базисе, составленном из собственных векто-
ров, является диагональной, причем по диагонали стоят вещественные числа.
Схема приведения к диагональному виду:
1.Находятся собственные значения оператора.
2.Находятся собственные вектора
3.Нормируется система векторов
4.Записывается разложение:
= Pe!1e0 A Pe!e0 èëè A = Pe!e0 Pe!1e0
ãäå A = [']e - матрица самосопряженного оператора в искомом базисе e
= [']e0 = |
|
1 |
|
0 |
- матрица оператора в ортонормированном базисе e0 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0n
Pe!e0 - матрица, в которой записаны по столбцам пронормированные собственные вектора в том же порядке, в котором собственные значения 1; ; n записаны в .
Pe!1e0 = PeT!e0 .
10 Сингулярные числа. Сингулярные базисы.
Рассмотрим A 2 Cm n, rgA = r. Тогда A 2 Cn m; A A 2 Cn n; AA 2 Cm m; rg (A A) = rg (AA ) = r.
A A соответствует некоторому линейному оператору ' '. |
c |
2 |
|
2 |
|
: : : |
|
2 |
- собственные значения |
|||
A A. Òàê êàê rg (A A) = r, òî 2 |
= 0 i = |
|
. |
1 |
2 |
|
n |
|
||||
1; r |
|
|
|
|
|
|||||||
i |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
ce = (e1; : : : ; en) - ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов, соответствующих соб-
ственным значениям 12; : : : ; n2 |
- оператора ' '. |
|||||
|
' 'ei = i2ei |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
; |
i = j |
|||
i |
|
i = j . |
||||
|
('ei; 'ej) = (' 'ei; ej) = i |
(ei; ej) = {0; |
|
|||
|
|
|
|
|
|
6 |
'ei 6= 0 , i 6= 0 i = 1; r. |
|
j'eij = p'ei; 'ei = i |
|
Покажем, что 'ei - собственный вектор оператора '' : |
|
'' ('ei) = ' (' 'ei) = ' i2ei = i2'ei. |
|
Операторы ' ' è '' |
имеют общие собственные значения. |
( ) |
Ненулевым будет r; кратность собственного значения O для оператора ' ' будет n r, à äëÿ '' - m r. Число S = min (m; n) есть количество общих собственных значений.
De nition. Арифметические значения корней из общих собственных значений матриц A A è AA называется сингулярными числами матрицы A и обозначаются 1; 2; : : : ; s.
Рассмотрим пространство "n, в котором базис (e1; : : : ; en). Построим базис f в пространстве "m:
f1 = |
'e1 |
; f2 = |
'e2 |
; : : : ; fr = |
'er |
|
j'e1j |
j'e2j |
j'erj |
||||
|
|
|
Дополним систему до ортонормированной векторами fr+1; : : : ; fm.
'e |
|
= |
ifi; |
i r |
(1) |
|
i |
|
{0; |
i > r |
|
{( )
' fi = |
' |
'ei |
= |
1 |
' ('ei) = |
1 |
' ' (ei) = iei; i r |
|||
i |
i |
i |
||||||||
|
|
|
0; |
|
|
|
|
|
|
i > r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' f |
|
= |
iei; |
i r |
|
|
(2) |
|
|
|
|
i |
|
{0 |
|
i > r |
|
|
|
|
|
De nition. Базис e1; : : : ; en, удовлетворяющий (1) называется правым сингулярным базисом; f1; : : : ; fm, óäî- влетворяющий (2), - левым сингулярным базисом.
11 Сингулярное разложение. Схема построения сингулярного разложения.
AA A A
m A = m Q m n P
n |
m |
n |
n |
|
|
|
|
èëè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = Q P |
(1) |
|
|
A 2 Cm n; Q 2 Cm m; 2 Cm n; P 2 Cn n |
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
= |
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
.. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица |
|
состоит из собственных векторов, соответствующих собственным значениям |
|
(ортогона- |
|||||||
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
A A |
|
лизированных, нормированных и выписанных по столбцам), |
Q состоит из собственных векторов, соответ- |
||||||||||
ствующих собственным значениям матрицы AA (ортогонализированных, нормированных и выписанных по |
|||||||||||
столбцам). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) называется сингулярным разложением. |
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = Q |
|
2 ... |
|
|
P - сокращенное сингулярное разложение; Q 2 Cm r, P 2 Cr n. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r
8
Схема построения сингулярного разложения:
1.Вычисляем A A и находим ее собственные значения.
2.Строим ортонормированный базис (e1; : : : ; en), состоящий из собственных векторов, соответствующих вычисленным значениям матрицы A A, и выписывали их в P по столбцам в том порядке, в котором будут выписаны соответствующие сингулярные числа в матрице .
3.Строим ортонормированный базис f1; : : : ; fm:
f1 = |
Ae1 |
; f2 = |
Ae2 |
; ; fr = |
Aer |
и дополняет до ортонормированного базиса. |
1 |
2 |
r |
Полученные вектора выписываются в матрицу Q по столбцам.
12Билинейные формы (БФ). Определения, примеры. Теорема об однозначном представлении БФ в общем виде.
De nition. Билинейной формой (БФ) или функцией f (x; y) в вещественном линейном пространстве называется вещественно-значная функция, аргументами которой являются элементы этого пространства x; y 2 L, åñëè 8x; y; z 2 L è 8 2 R выполняется:
1.f (x + y; z) = f (x; z) + f (y; z)
2.f (x; y + z) = f (x; y) + f (x; z)
3.f ( x; y) = f (x; y)
4.f (x; y) = f (x; y).
De nition. БФ называется симметричной, если f (x; y) = f (y; x) и кососимметричной, если f (x; y) =
f (y; x).
Example. Скалярное произведение, заданное стандартным образом - симметричная БФ.
Theorem. БФ в вещественном пространстве |
Ln |
с базисом |
e1; ; en однозначно определяется формулой |
|||||
n |
|
|
|
|
|
|
||
∑ |
aijxiyj, ãäå aij = f (ei; ej) |
|
|
|
|
|||
f (x; y) = |
|
|
|
|
||||
i;j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. |
m |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = xiei; y = yjej. |
|
|
|
|
|
|||
=1 |
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
i∑ |
n |
∑ |
n |
n n |
|
|
n |
|
|
∑ |
|
∑ |
∑ ∑ |
|
|
∑ |
|
f (x; y) = f (i=1xiei; j=1yjej) |
= i=1j=1xiyjf (ei; ej) = i;j=1xiyj aij. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
10
Возьмем вместо x è y ei è ej : f (ei; ej) = f |
|
0... |
; 0... |
|
= aij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
13Теорема о необходимом и достаточном условии симметрии БФ. Теорема о связи БФ в различных базисах. Ранг БФ.
Theorem. БФ симметрична , е¼ матрица в любом базисе симметричная.
Доказательство.
Необходимость:
f (x; y) = f (y; x) : По теореме об однозначном представлении БФ в общем виде: aij = aji.
Достаточность:
A = AT - симметричная.
f (x; y) = [x]eT A [y]e = [x]eT AT [y]e = ([y]eT A [x]e) |
T |
= f (y; x) |
9
Теорема о связи матриц БФ в различных базисах.
Theorem. Пусть Ln - вещественное линейное пространство и БФ в базисе e имеет матрицу Ae, а в базисе f - Af
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
f |
= P T |
A |
P |
e!f |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e!f |
e |
|
|
|
|||
Доказательство. f (x; y) = [x]T |
A |
e |
[y] |
; [x] |
e |
= P |
e!f |
[x] |
; [y] |
|
= P |
[y] |
f . |
||||||||||||
f (x; y) = [x]T |
|
|
|
|
|
|
e |
|
e |
|
|
|
|
f |
|
e |
e!f |
|
|||||||
P T |
A |
P |
e!f |
[y] |
f |
; A |
f |
= P T |
|
A P |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
f |
|
e!f |
|
e |
|
|
|
|
|
|
e!f |
e e!f |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
| |
|
|
{zf |
|
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Corollary. rgAe = rgAf
De nition. Рангом БФ называется ранг ее матрицы в любом базисе.
БФ называется вырожденной, если ее ранг меньше размерности пространства, и невырожденной, если ранг равен размерности пространства.
14Квадратичные формы (КФ). Определение, примеры. Теорема об однозначном представлении КФ в общем виде.
De nition. ÊÔ f (x; x) в вещественном линейном пространстве называется вещественно-значная функция аргумента x этого пространства, которое получается из симметричной БФ заменой y íà x.
При этом симметричная БФ f (x; y) называется полярной квадратичной формой.
f (x; y) = 12 [f (x + y; x + y) f (x; x) f (y; y)]
.
Теорема об общем виде КФ:
∑n
Theorem. ce = (e1; : : : ; en) - базис в Ln; f (x; y) - симметричная БФ. f (x; y) = aijxiyj
i;j=1
Тогда КФ, полученная из f (x; y) будет иметь общий вид:
а матрицей∑ |
A |
|
n |
|
|
f (x; x) = aijxixj |
|
|
i;j=1 |
|
|
КФ будет |
|
- матрица БФ. |
De nition. Рангом КФ является ранг полярной к ней БФ.
()
Example. f (x; x) = x2 |
|
4x1x2 |
+ 5x2 |
. A = |
1 |
2 |
- ÊÔ. |
|
1 |
|
2 |
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15Виды КФ. Теорема о связи БФ, полярной к КФ, и скалярного произведения.
De nition. КФ называется положительно (отрицательно) определенной, если 8x =6 f (x; x) > 0 (f (x; x) < 0). КФ называется знакопеременной, если 9x;y f (x; x) > 0 è f (y; y) < 0.
КФ называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если
8x f (x; x) 0 (f (x; x) 0) è 9x0 =6 f (x0; x0) = 0
Theorem. ÁÔ f (x; y) ; полярная к положительно определенной КФ f (x; x), удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения в вещественном линейном пространстве.
Доказательство.
1.f (x; y) = f (y; x) - ò.ê. f (x; y) - полярная к КФ, т.е. симметричная
2.f (x + y; z) = f (x; z) + f (y; z) - по определению БФ
3.f ( x; y) = f (x; y) - по определению БФ
4.f (x; x) 0, f (x; x) = 0 , x = - по определению положительно определенной КФ.
10