Дуплякин В.М. Теория игр

Т Е О Р И Я И Г Р

В.М.Дуплякин

Если разобраться подробнее с рассматриваемым развитием событий, то оно представляет не самый худший вариант для F2, поскольку здесь второй игрок проигрывает только лишь 1 усл.ед. от своего пессимистического прогноза, а при неблагоприятном для F2 решении он может потерять ещё 1 усл.ед.

Весьма специфической является траектория, соответствующая верхней

ветви графа

f2 (1;1) = (A2 ;B 2 ) = (−3;6).

Очевидно, что второй ход игрока F2 – сохранение объёма выпускаемой продукции, после выхода на рынок нового игрока, снижает его возможный выигрыш до 6 усл.ед., но при этом противник получит ощутимые убытки вместо прибыли. Этот агрессивный ход игрока F2 нацелен на вытеснение

конкурента с рынка и подразумевает желание сохранить монопольное положение. Однако надеждам руководства фирмы F2 вряд ли удастся реализоваться, т.е. убрать с рынка конкурента, который уже построил завод и, возможно, предвидя агрессивные действия монополиста, приготовился к длительной "войне".

Обычно фирмы, осваивающие новый для них рынок, предвидят жёсткое

противодействие конкурентов и планируют малоприбыльный или убыточный начальный период освоения рынка. Основными факторами, определяющими такое поведение новых игроков, является наличие у них более совершенной технологии, обеспечивающей как снижение издержек, так и повышенное качество выпускаемой продукции, что в конечном итоге позволит потеснить игроков, вышедших ранее на рынок, даже при активном их противодействии.

Что же должен делать игрок F1: выходить в рынок или отказаться от этой

идеи?

1.Если есть уверенность, что монополист F2 будет вести себя "разумно", то следует выходить на рынок, тем более что монополист в какой-то мере и сам без нажима конкурента планирует сокращение объёма производства, как бы освобождая, занимаемую им нишу, для соперника.

2.Если уверенности в "разумном" поведении монополиста F2 нет, то не выходить на рынок, т.к. это приведёт к убыткам.

120

Т Е О Р И Я И Г Р

В.М.Дуплякин

Мы рассмотрели только два хода игры, но можно рассмотреть и последующее развитие игры на несколько ходов вперёд, предусмотрев, различные варианты изменения спроса, потребительских предпочтений,

проанализировав изменение технического состояния производственной базы монополиста и планируя более поздний выход новой фирмы на монопольный рынок. Методически, с точки зрения техники построения графа и анализа получаемых результатов, здесь всё понятно, но чем больше шагов игры вводится в рассмотрение, тем менее достоверными оказываются численные

расчётные характеристики результативности принимаемых решений на более поздних ходах и тем более на последних ходах.

12.2.Последовательная двухходовая игра "Конкуренция торговых фирм"

Постановка задачи. Рассматривается конкуренция двух торговых фирм SM1 (игрок Р1) и SM2 (игрок Р2). Фирма SM1 в реализации своей стратегии опережает фирму SM2 ровно на один ход. В экономическом смысле эта ситуация встречается довольно часто, когда часть игроков синхронно, с

отставанием на один шаг воспроизводит ценовую политику лидера локального рынка.

Стратегии фирм SM1 и SM2 (игроки Р1, Р2)

№	Обозначение	Содержание
1-я стратегия	В	Назначение высокой цены
2-я стратегия	Н	Назначение низкой цены

121

Т Е О Р И Я И Г Р

В.М.Дуплякин

В ( 3; 2 )

2

В

Н ( 3; -1 )

1

В ( 2; 0 )

Н

2

Н ( 4; 1 )

1-й ход: SM1		2-й ход:

Рис. 12.2 – Граф игры "Конкуренция торговых фирм"

Так же как и в предыдущем примере, узлы имеют идентификацию, которая фиксирует номер игрока принимающего решение, как это обозначается на рис. 12.2.

Дуги – отражают само решение, т.е. выбор игроком конкретных чистых стратегий из числа его возможных стратегий.

Примечание. Последние дуги не заканчиваются узлами, что означает возможность продолжения игры с дальнейшим разветвлением графа.

Представим результат первых двух ходов данной игры в виде векторной функции

f2 (ψ1;ψ2 ) = (A2 ;B2 ) ,

где ψ −функция выбора стратегий, A2 − выигрыш игрока Р1 (SM1), B2 − выигрыш игрока Р2 (SM2).

Проанализируем возможные сценарии рассматриваемой игры.

1. Допустим, что игрок Р1 выбрал стратегию "В" – высокая цена. Очевидно, что при таком развитии событий для Р2 выгодна такая же стратегия "В". В

результате такого сценария имеем

f2 (1;1)) = (3;2) .

122

Т Е О Р И Я И Г Р	В.М.Дуплякин
Решение игрока Р2 в виде	f2 (1;2) = (3;−1) представляется полностью
лишённым смысла.

2. Допустим, что игрок Р1, делая первый ход, выбрал стратегию "Н" – низкая цена, что вполне оправдано надеждой на максимальный выигрыш A2 = 4 усл.ед., поскольку именно такой исход имеет место при "разумном" поведении игрока Р2

f2 (2;2) = (4;1) .

Посмотрим, в чём "разумность" игрока Р2 в этой ситуации. Очевидно, что, если игрок Р1 выбрал стратегию "Н", то из двух решений Р2, отмеченное решение более выгодное, чем

f2 (2;1) = (2;0).

3. Игровая ситуация f2 (2;1) = (2;0) может рассматриваться не как "неразумность" игрока Р2, но совсем иначе, а именно как спланированная агрессивность. Ведь выбор стратегии "В", игроком Р2, после того как Р1 выбрал "Н", приводит соперника к наименьшему из его возможных результатов, чего он вряд ли ожидал, предвкушая получить максимальный результат B2 max = 4 .

Поэтому выполненный ход игрока Р2, если он сделан сознательно, следует классифицировать как агрессивный и достаточно удачный, ведь сам "агрессор" , т.е. Р2 получил не самый худший результат. Худшим результатом для Р2 является проигрыш 1 усл.ед.

Общие выводы по игре " Конкуренция торговых фирм"

1. Если оба игрока "разумны", то наилучшее решение f2 (2;2) = (4;1) .

2.Если Р1 осведомлен о возможной агрессивности Р2, то более надёжным

является решение

f2 (1;1) = (3;2) .

3.Для наиболее эффективного поведения игрока Р1 ему нужно быть информированным о "характере" противника, т.е. игрока Р2.

Очевидно, что возможно рассмотрение последующего повторения данной игры с накоплением результатов.

123

Т Е О Р И Я И Г Р

В.М.Дуплякин

12.3. Последовательная четырёхходовая игра

Рассмотрим пример четырёхходовой последовательной игры, граф которой приведен на рис. 12.3.

Найдём наилучшие и наихудшие сценарии с точки зрения каждого из игроков.

Наиболее благоприятный сценарий для Р1 представлен на рис. 12. Формально получение наилучшего для Р1 результата записывается следующим

образом

f4 (ψ1;ψ2 ;ψ3;ψ4 ) = f4 (1;1;1;1) = (139;50) .

В конечном итоге, т.е. на 4-м ходу игры, игрок Р1 имеет максимально

возможный результат

A4,max =139.

Наихудший сценарий для Р1, показанный на рис. 12.3, приводит к

следующему результату
f4 (1;2;2;1) = (17;120),	A4,min =17.
Следует отметить неявную, но важную особенность реализации
наихудшего для Р1 сценария. Конечный	результат A4,min =17 меньше чем

предшествующий результат этого игрока A2,min = 22, т.е. последний ход игрока Р1 при данном сценарии принёс ему убытки в размере 5 усл.ед.

В соответствии с логикой последовательной четырёхходовой игры, игрок Р1 получает окончательный результат уже на 3-м ходу игры, но на графе конечный результат этого игрока проставлен после 4-го хода, что,

возможно, имеет некоторый смысл, поэтому конечный результат для Р1 обозначен как A4 .

124

Т Е О Р И Я И Г Р

В.М.Дуплякин

"1"

1

"2"

1-й ход

"1"

(52; 50) 1

"1" "2"

2

"2" "1" (22; 68) 1

"2"

"1"

(58; 21) 1

"1" "2"

2

"2" "1"

(74; 55) 1

"2"

2-й ход

3-й ход

"1" (139; 50)

2

"2" (138; 43) "1" (118; 84)

2

"2" (114; 31)

"1" (33; 89)

2

"2" (39; 87) "1" (20; 138)

2

"2" (17; 120) "1" (60; 97)

2

"2" (75; 110) "1" (70; 115)

2

"2" (65; 118) "1" (87; 95)

2

"2" (86; 88) "1" (66; 129)

2

"2" (62; 76) 4-й ход

Рис. 12.3 – Граф четырёхходовой игры

Наиболее благоприятный сценарий для Р2 представлен на рис. 14. Формально получение наилучшего для Р2 результата записывается следующим

образом

f4 (1;2;2;1) = (20;138), B4,max =138.

Достаточно логичным является то, что наилучшие результаты игроков Р1 и Р2 незначительно различаются между собой.

125

Т Е О Р И Я И Г Р

В.М.Дуплякин

"1"

1

"2"

1-й ход

"1"

(52; 50) 1

"1" "2"

2

"2" "1" (22; 68) 1

"2"

"1"

(58; 21) 1

"1" "2"

2

"2" "1"

(74; 55) 1

"2"

2-й ход

3-й ход

"1" (139; 50)

2

"2" (138; 43) "1" (118; 84)

2

"2" (114; 31)

"1" (33; 89)

2

"2" (39; 87) "1" (20; 138)

2

"2" (17; 120)

"1" (60; 97)

2

"2" (75; 110)

"1" (70; 115)

2

"2" (65; 118) "1" (87; 95)

2

"2" (86; 88) "1" (66; 129)

2

"2" (62; 76)

4-й ход

Рис. 12.4 – Наиболее благоприятный сценарий для игрока Р1

126

Т Е О Р И Я И Г Р

В.М.Дуплякин

"1"

1

"2"

1-й ход

"1"

(52; 50) 1

"1" "2"

2

"2" "1" (22; 68) 1

"2"

"1"

(58; 21) 1

"1" "2"

2

"2" "1"

(74; 55) 1

"2"

2-й ход

3-й ход

"1" (139; 50)

2 (138; 43)

"2"

"1" (118; 84)

2

"2" (114; 31)

"1" (33; 89)

2

"2" (39; 87) "1" (20; 138)

2

"2" (17; 120) "1" (60; 97)

2

"2" (75; 110) "1" (70; 115)

2

"2" (65; 118) "1" (87; 95)

2

"2" (86; 88) "1" (66; 129)

2

"2" (62; 76)

4-й ход

Рис. 12.5 – Наихудший сценарий для игрока Р1

127

Т Е О Р И Я И Г Р

В.М.Дуплякин

"1"

1

"2"

1-й ход

"1"

(52; 50) 1

"1" "2"

2

"2" "1" (22; 68) 1

"2"

"1"

(58; 21) 1

"1" "2"

2

"2" "1"

(74; 55) 1

"2"

2-й ход

3-й ход

"1" (139; 50)

2

"2" (138; 43) "1" (118; 84)

2

"2" (114; 31)

"1" (33; 89)

2

"2" (39; 87) "1" (20; 138)

2

"2" (17; 120) "1" (60; 97)

2

"2" (75; 110) "1" (70; 115)

2

"2" (65; 118) "1" (87; 95)

2

"2" (86; 88) "1" (66; 129)

2

"2" (62; 76)

4-й ход

Рис. 12.6 – Наиболее благоприятный сценарий для игрока Р2

128

Т Е О Р И Я И Г Р

В.М.Дуплякин

"1"

1

"2"

1-й ход

"1"

(52; 50) 1

"1"

"2"

2

"2" "1" (22; 68) 1

"2"

"1"

(58; 21) 1

"1" "2"

2

"2" "1"

(74; 55) 1

"2"

2-й ход

3-й ход

"1" (139; 50)

2

"2" (138; 43) "1" (118; 84)

2

"2" (114; 31)

"1" (33; 89)

2

"2" (39; 87) "1" (20; 138)

2

"2" (17; 120)

"1" (60; 97)

2

"2" (75; 110)

"1" (70; 115)

2

"2" (65; 118) "1" (87; 95)

2

"2" (86; 88) "1" (66; 129)

2

"2" (62; 76)

4-й ход

Рис. 12.7 – Наихудший сценарий для игрока Р2

Наихудший сценарий для Р2 (рис. 12.7) формируется следующим образом

f4 (1;1;2;2) = (114;31) , B4,min = 31.

129