Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

PDE

.pdf
Скачиваний:
8
Добавлен:
16.03.2015
Размер:
494.76 Кб
Скачать

Самарский Государственный Аэрокосмический Университет

Уравнения математической физики

Лектор: Алименков Иван Васильевич Верстка: Козлов Дмитрий Андреевич

Самара, 2013 год

Уравнения математической физики

Содержание

1 Основные уравнения математической физики.

2

1.1Уравнение Гамильтона-Якоби. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2Уравнение колебаний струны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3Уравнение Шредингера и спектральная задача. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4Уравнение теплопроводности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5Уравнения гидродинамики и их линеаризация. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6Уравнения Максвелла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Пространства функций. Теория операторов.

10

2.1Элементы теории обобщенных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2Гильбертовы пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3Линейные операторы. Обозначения Дирака. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4Спектральная задача для оператора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5Унитарные операторы и преобразования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.6Коммутирующие операторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Методы решения уравнений в частных производных.

20

3.1Линейные однородные уравнения первого порядка. . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2Полный интеграл уравнения первого порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3Классификация линейных уравнений второго порядка. . . . . . . . . . . . . . 24

3.4Метод разделения переменных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.5Метод Вентцеля Крамерса Бриллюэна. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.6Решение уравнений параболического типа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.7Вариационный метод. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1

Уравнения математической физики

Введение

В данном курсе лекций будут рассматриваться уравнения математической физики. Все уравнения математической физики относятся к классу дифференциальных уравнений в частных производных. В общем виде дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка можно представить следующим образом

!

F u; x1; : : : ; xn;

@u

; : : : ;

@u

= 0

 

 

@x1

@xn

Если в уравнение неизвестная функция u и её производные входят линейно, то уравнение называется линейным. Для линейных уравнений в частных производных также справедливы все теоремы о линейных уравнениях1.

Основное отличие класса уравнений в частных производных от класса обыкновенных дифференциальных уравнений состоит в том, что при решении вместо произвольных констант возникают произвольные функции (что было показано в курсе дифференциальных уравнений для уравнений в полных дифференциалах). Число возникающих произвольных функций равно числу частных производных.

К сожалению, получение общего решения уравнения в частных производных довольно сложная и часто невыполнимая задача. Поэтому часто целью решения уравнения является не получение общего вида неизвестной функции, а получение некоторого частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.

§1 Основные уравнения математической физики.

1.1Уравнение Гамильтона-Якоби.

Как было доказано в курсе теоретической механики, уравнения Гамильтона для механических систем

@H

@H

(1.1)

p =

 

;

q =

 

@q

@p

можно вывести из вариационного принципа: действительному движению точки в фазовом пространстве соответствует минимум функционала действия

 

t2

 

 

 

 

 

S = tZ1

(pq H)dt = 0

(1.2)

Что легко доказать, так как

 

 

 

 

 

t2

pq + p q @p p

@q

q!dt

S = tZ1

 

 

 

@H

@H

Второе слагаемое под интегралом можно взять по частям, занулив первое слагаемое, так как вариации координат и импульсов в граничных точках должны быть равны нулю

t2

p qdt = p q t2 t2

p qdt

Z

t1

Z

 

t1

 

t1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1Так как для множества функций Rn ! R выполняются все аксиомы линейного пространства.

2

Уравнения математической физики

t2

pq p q @p p

@q q!dt

S = tZ1

 

 

@H

@H

Если принять во внимание независимость и произвольность вариаций, то очевидно, что интеграл может зануляться, только когда подинтегральное выражение равно нулю, которое в свою очередь разбивается по вариациям на два уравнения (1.1).

Как несложно заметить, функция гамильтона определена до некоторой полной производной по времени

t2

Z

S0 =

t1

(pq H

( dt

 

 

t2

 

 

 

t2

(1.3)

!dt = S Z

dF (p; q; t) = S F (p; q; t) t1

 

dF p; q; t)

 

 

t1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@F

 

@F

 

(1.4)

 

F (p; q; t) =

 

p +

 

q

 

 

@p

@q

 

Из равенства на границах нулю вариаций по импульсам и координатам следует равенство нулю на границах вариации произвольной функции (1.4), а следовательно, зануляется второе слагаемое в (1.3).

 

 

 

d(pq)

 

 

Таким образом, добавка к функции Гамильтона

 

не должна изменить вид уравнений

dt

движения

 

 

 

 

 

 

t2

t2

 

 

t2

 

 

tZ1

(pq H0) dt = tZ1

(pq H pq pq) dt = tZ1

( H pq) dt

(1.5)

Получившееся выражение является лишь альтернативной формой вариационного принципа (1.2). Представляет интерес, каким свойством должно обладать преобразование координат и импульсов, чтобы оно сохраняло вид уравнений (1.1). Пусть fq; p; tg набор исходных координат, а fQ; P; tg координаты в новой системе. Преобразование должно быть обратимым. Пусть K гамильтониан в новой системе, тогда для K и Q; P должны выполняться (1.1), а следовательно, и вариационный принцип. Для старых координат можно воспользоваться выражением (1.2) вариационного принципа, а для новых координат выражением (1.5). Подинтегральные выражения должны отличаться только на полную производную некоторой функции S, которая называется производящей функцией

преобразования координат.

pq H = QP_ K + S_

Функция S должна зависеть от пяти переменных, но так как преобразование обратимо, достаточно зависимости от трех переменных остальные две будут выражаться через преобразования координат и импульсов. Удобно выбрать в качестве импульсов и координат перменные q и P, тогда предыдущее уравнение преобразуется в

@S @S @S pq H = QP_ K + @q q + @P P_ + @t

При объединении слагаемых при одинаковых производных получается система уравнений, неявно задающая преобразование координат и импульсов

(p = @q ;

Q = @P ;

K = H + @t )

(1.6)

 

@S

 

@S

 

@S

 

3

Уравнения математической физики

Если выбрать преобразование так, чтобы K 0, то координаты и импульсы в новой системе координат будут константами. Из полученной системы следует, что производящая функция такого преобразования должна удовлетворять уравнению

H q; @q; t!

+

@t = 0

 

@S

 

@S

Это уравнение называется уравнением Гамильтона-Якоби и является очень важным, так как оно уходит далеко за рамки классической механики. Легко видеть, что выражение для S является полным интегралом, так как содержит n неизвестных функций qk и n констант Pk.

Для одномерного движения частицы в поле гамильтониан имеет вид

H = p2 + U(q; t) 2m

Уравнение Гамильтона-Якоби можно получить, подставив в гамильтониан частные производные производящей функции по координатам вместо импульса

@t +

2m @q !

2

+ U(q; t) = 0

@S

 

1

 

@S

 

 

Если потенциальная энергия системы не зависит от времени, то такое уравнение решается разделением переменных с помощью подстановки S = G(q; P ) P t

P + 2m @q !

2

+ U(q) = 0

 

1

 

@G

 

 

Так как импульс в новых координатах является константой, то G определяется интегрированием и общее решение имеет вид

Z

p

S(q; P; t) = 2m[P U(q)]dq P t + (P )

Откуда

 

@S

 

Z

 

mdq

@

Q =

 

=

 

 

 

 

t +

 

@P

p

2m[P

 

U(q)]

@P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из уравнений следует, что P имеет размерность энергии, а Q времени, следовательно найденное преобразование является преобразованием от пары fq; pg к паре fE; t0g.

1.2Уравнение колебаний струны.

Далее будет рассматриваться задача малых колебаний закрепленной с двух сторон гибкой упругой струны. Каждую точку струны можно характеризовать положением её по оси абсцисс x и некоторым вектором отклонения её от начального положения u(x). Если считать, что колебания проходят только в одной плоскости и вектор отклонения всегда перпендикулярен оси абсцисс, то можно ограничиться только одной компонентой вектора u, которая будет обозначена за u. При малых колебаниях можно считать достаточно малыми квадраты первой и второй производной u по координате.

4

Уравнения математической физики

Гибкость струны означает, что струна не сопротивляется изгибу, то есть сила натяжения всегда направлена по касательной ко мгновенному профилю струны. Это также значит, что проекция вектора натяжения на направление отклонения струны может быть определена домножением модуля на синус угла касательной к профилю. С учетом равенства синуса и тангенса своему аргументу при малых углах, сила, действующая вдоль направления отклонения, равна

@u f = T @x

Если за обозначить линейную плотность струны, то зависимость импульса от координа-

ты можно представить следующим образом

 

 

 

@p

@u

 

 

=

 

 

@x

@t

В то же время уравнение движения имеет вид

 

 

@p

@u

@t = T @x

Если функция импульса имеет непрерывные смешанные производные, то по лемме Швар-

ца они должны быть равны

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@ @p

=

@ @p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@x

@t

@t

@x

 

Что приводит к выражению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@2u

@2u

(1.7)

 

 

 

 

 

 

= 0

 

@x2

T

@t2

Полученное уравнение называется уравнением колебаний струны. Это волновое уравнение (уравнение со второй производной по времени), решением которого являются гармонические функции.

1.3Уравнение Шредингера и спектральная задача.

Уравнение Шредингера в стационарном случае можно получить формально из интеграла движения для системы с гамильтонианом H заменой импульсов и координат на соответствующие операторы и домножением справа на волновую функцию . Гамильтониан от

операторов импульсов и координат можно обозначить за ^ оператор Гамильтона.

H

^

(1.8)

H = E

Нестационарное уравнение формально получается, если заменить на оператор ^, а в

E E

гамильтониане допустить зависимость от времени. Далее будет рассматриваться стационарное уравнение Шредингера.

Операторами физических величин называются линейные преобразования в пространстве волновых функций, для которых собственные значения являются значениями этой физической величины. Или более формально: оператором физической величины v называется v^, если

hvi = Z3

v^ dx

(1.9)

R

 

 

5

Уравнения математической физики

Задача решения (1.8) является задачей на собственные значения и собственные функции

линейного оператора ^ (или спектральной задачей). Стационарное уравнение получается

H

из нестационарного в случае

^

@

E = i~ @t = E

Что дает при интегрировании

(x; t) = (x) Exp ~i Et

То есть в стационарном случае волновая функция гармонически зависит от времени.

Функция сама по себе не имеет физического смысла, физический смысл имеет квадрат её модуля это функция плотности вероятности обнаружения частицы. Поэтому на волновую функцию накладываются ограничения, в частности должна быть непрерывна, конечна, однозначна и быстро убывать на бесконечности, чтобы интеграл квадрата модуля сходился на бесконечности. В зависимости от начальных условий может меняться вид

множества собственных чисел E оператора ^ . Множество E может быть счетно (задача

H

с дискретным спектром), может быть некоторым интервалом из R (задача со сплошным спектром) или быть объединением некоторых интервалов и счетных множеств (задачи смешанного спектра). Спектр энергий свободной частицы, например, является непрерывным, а спектр связанной дискретным.

В дискретном случае набор решений определяется счетным множеством волновых функций вида

i n(x; t) = n(x) Exp ~Ent

Но так как оператор Гамильтона является линейным оператором, общее решение является линейной комбинацией с некоторыми коэффициентами

(x; t) =

n

Cn n(x) Exp ~i Ent

(1.10)

 

X

 

 

 

 

Как и любая система собственных векторов линейного оператора, система волновых функций решений уравнения (1.8) является ортогональной, если предположить, что вырожденных сосбтвенных значений нет. Поэтому если задано некоторое начальное условие (x)

X

(x) = (x; 0) = Cn n(x)

n

То решение задачи Коши можно найти, вычислив интегралы

Z3

(x) k (x)dx =

n

Cn Z3

n(x) k (x)dx = Ck

(1.11)

R

 

X

R

 

 

В случае непрерывного спектра следует заменить суммирование по n интегрированием по E. Условие ортогональности системы примет вид

Z3

E(x) E0 (x)dx = (E E0)

 

R

 

 

 

 

Общее решение

 

 

 

 

(x; t) = Z C(E) E(x) Exp

i

Et dE

(1.12)

~

E

6

Уравнения математической физики

Решение задачи Коши

Z3

(x) E0 (x)dx = Z C(E)dE Z3

E E0 (x)dx = Z C(E) (E E0)dE = C(E0)

R

E

R

E

Решение уравнения (1.8) в виде (1.10) называется решением в виде разложения в обобщенный ряд Фурье, а (1.12) в виде обобщенного интеграла Фурье.

1.4Уравнение теплопроводности.

Потоком тепла q называется количество энергии, переносимое в единицу времени через единичную площадку. Рассмотрим некоторое тело с теплоемкостью C, занимающее объем D. Тепловая энергия тела определяется интегралом

Q = Z

CTdx

D

 

Из закона сохранения энергии легко заключить, что

@Q

 

 

 

= I (q; ds) = Z

div q dv

@t

 

@D

D

 

По закону Фурье поток пропорционален градиенту температуры с коэффициентом пропорциональности , называемым также теплопроводностью.

 

 

 

q = rT

С учетом закона Фурье

 

 

@

Z

CTdx = Z

div( rT )dx

 

 

 

@t

 

 

D

D

 

Из равенства этих интегралов следует равенство подынтегральных выражений

@t

C @T T = 0

Если аналитически продлить уравнение на комплексную плоскость заменами

t ! ~ ;

C !

2

 

2~m ; T !

 

it

 

 

 

То получится уравнение Шредингера для свободной частицы

i~@ = ~2

@t 2m

Вернуться к исходному уравнению можно обратной заменой t ! i~t. Таким образом, все методы, применимые к уравнению Шредингера, применимы и для уравнения теплопроводности.

7

Уравнения математической физики

1.5Уравнения гидродинамики и их линеаризация.

Уравнения идеальной жидкости имеют вид

@

@t + div( u) = 0

!

@u

@t + (ur)u = rP

P = P ( ; u)

Где u(x; t) вектор-функция скорости течения жидкости, P (x; t) давление жидкости в точке, а (x; t) плотность. Первое уравнение представляет собой закон сохранения массы, третье термодинамическое уравнение состояния, определяющее зависимость давления от плотности и скорости тока жидкости. Получившиеся уравнения нелинейны, и их необходимо линеаризовать. Провести линеаризацию возможно вблизи стационарных состояний, которые являются решениями уравнений. Тривиальное решение системы соответствует состоянию жидкости, при котором скорость равна нулю, а плотность везде одинакова. Чтобы привести уравнения к линейному виду, функции следует разложить в ряд тейлора вблизи стационарного состояния. Сначала следует перейти к функциям, описывающим малые возмущения.

(x; t) = 0 + (x; t)

При предположении, что давление не зависит от направления скорости, разложение в ряд Тейлора для давления

 

@P ( 0

; 0)

 

 

@P ( 0

; 0)

 

P0 + P ( ; u2) = P0 +

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

2u2 + O2( ; u2) P0 + c2

 

 

@

 

 

 

@u

 

Тогда уравнения принимают вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ div( 0u + u) = 0

 

 

 

@t

 

 

 

@u

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

c r( )

 

 

 

 

 

+ (u

)u =

 

 

 

 

 

0 +

 

 

 

@t

 

 

 

 

 

И если пренебречь слагаемыми второго порядка малости, то можно отбросить слагаемое u под дивергенцией и (ur)u во втором уравнении.

@( )

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 0ru = 0

 

@t

 

 

@u

 

 

 

2

 

 

 

=

 

c r( )

 

 

 

 

 

@t

 

 

 

0

Систему, как несложно видеть, легко свести к одному дифференциальному уравнению

@2( )

@t2

c2 ( ) = 0

Таким образом, уравнения гидродинамики после линеаризации тоже сводятся к волновому уравнению.

8

Уравнения математической физики

1.6Уравнения Максвелла.

Еще одной важной системой уравнений в физике является система уравнений Максвелла. При отсутствии зарядов в вакууме уравнения принимают вид

1

@H

 

1

@E

rot E =

 

 

 

;

rot H =

 

 

 

c

@t

c

@t

Откуда просто получаются волновые уравнения для векторов H и E.

c12 @t2!E = 0 ;

c12 @t2!H = 0

@2

 

@2

 

Полученных волновых уравнений шесть, однако можно перейти к рассмотрению только четырех, если воспользоваться выражениями для потенциалов следующего вида

1

@A

E = r'

 

 

 

 

; H = rot A

c

@t

Тогда уравнение ротора электрического поля преобразуется в тождество, а уравнение для для ротора магнитного поля

rot rot A = c

@t " r' c

 

@t #

 

 

1

@

 

1

@A

 

 

grad(div A) A = grad

1 @'

!

1

 

@2A

 

 

 

 

 

 

 

 

c @t

c2

 

@t2

Выбор функций потенциалов является неоднозначным, A определен с точностью до градиента любой функции, зависящей только от координат. Часто, чтобы избежать неоднозначности, прибегают к дополнительным ограничениям на функции потенциалов калибровкам. В данном случае удобно наложить дополнительное условие

1 @'

c @t + div A = 0

Тогда в предыдущем уравнении можно перейти к векторному потенциалу, выразив скалярный из калибровки, тем самым избавившись от градиента дивергенции

1 @2A

A c2 @t2 = 0

Или к скалярному потенциалу, сперва разделив на скорость света и продифференцировав уравнение калибровки по времени

div c

@t !

= c2

@t2

1

@A

1

@2'

А затем выразив производную под дивергенцией из выражения для напряженности элек-

трического поля

1 @2' div ( E r') = c2 @t2

9