Федеральное агентство связи

Ордена Трудового Красного Знамени

Федеральное государственное образовательное бюджетное

Учреждение высшего профессионального образования

Московский технический университет связи и информатики (МТУСИ)

Кафедра Информатики

Курсовая работа по дисциплине

«Вычислительные модели»

Вариант №13

Москва 999

Оглавление

1. Индивидуальное задание…………………………………………………......3

2. Постановка задачи……………………………………………………………..4

3. Выбор и обоснование используемых методов………………………………6

4. Решение задачи………………………………………………………………...7

5. Решение задачи с помощью математического пакета Scilab…….............10

6. Основные результаты и выводы по работе…………………………………13

Список использованной литературы………………………………………..15

Приложение А. Краткое описание используемых методов…………………..16

A.1. Метод Эйлера…………………………………………………………….........................16

A.2. Интерполяционная формула Лагранжа второго порядка в явном виде……………...16

A.3. Метод Трапеций………………………………………………………….........................18

Приложение B. Тестирование функций, реализующих выбранные численные методы……………………………………………………………………………20

B.1. Метод Эйлера с автоматическим выбором шага………………………………………20

B.2. Интерполяционная формула Лагранжа второго порядка в явном виде …………......28

B.3. Метод Трапеций с использование двойного просчета ……………..............................33

Приложение С. Детализированная схема алгоритма решение задачи…….....38

Приложение D. Код проекта………………………………………………….....45

1. Индивидуальное задание

Вариант 13

Решить дифференциальное уравнение

с начальными условиями:

Таблицу значений решения уравнения получить с шагом h.

Решение дифференциального уравнения интерполировать многочленом

,

Вычислить

- интеграл от таблично заданной функции.

a = 0; b = 1; h = 0.1,

Заданные методы: методом Эйлера, метод Трапеций

2. Постановка задачи

Для решения задачи в начале, требуется найти решение дифференциального уравнения:

Решение дифференциального уравнения является таблица значений, которая используется для нахождения интеграла I.

– определенный интеграл от таблично заданной функции, являющейся решение дифференциального уравнения с начальным условиями с шагом h=0.1 на отрезке

определенный интеграл от интерполяционного многочлена Лагранжа второй степени, интерполирующего функцию, являющуюся решением того же дифференциального уравнения. Выбор узлов интерполяции: = a, = b, = (a+b)/2.

Для вычисления второго интеграла от интерполяционного полинома, полученного в явном виде применяем метод Трапеций.

В курсовой работе требуется найти погрешность .В результате путем вычисления разности интегралов находится погрешность.

Рисунок 1 – Укрупненная схема алгоритма решения задачи

3. Выбор и обоснование используемых методов Метод Эйлера

Для решения дифференциального уравнения задан метод Эйлера. Метод Эйлера является сравнительно грубым и применяется на практике в основном для проведения ориентировочных расчетов. Для повышения точности используем метод автоматического выбора шага.

Интерполяционная формула Лагранжа второго порядка в явном виде

Для нахождения определенного интеграла нужна интерполяция таблично-заданных функций. Для интерполяции мы используем формулу Лагранжа. Формула Лагранжа может применяться и для не равноотстоящих узлов интерполяции. Для полинома второй степени нужно иметь (n+1) узлов, отсюда следует, что мы выбираем 3 узла интерполяции: = a, = (a+b)/2. = b

Метод Трапеций

Для вычисления определенного интеграла задан метод Трапеций. Он предназначен для вычисления интеграла для линейных подынтегральных функций. Повышенная точность достигается за счет использования интерполирующего полинома второй степени для вычисления элементарного интеграла. Для повышения точности используем метод двойного просчета.

4. Решение задачи

Форма с исходными данными и заданием

Рисунок 2 – Форма с исходными данными и заданием

Форма с основными результатами

Рисунок 3 – Форма с основными результатами

Форма с промежуточными результатами решение ОДУ

Рисунок 4 – Форма с промежуточными результатами решения ОДУ

Форма с промежуточными результатами интегрирования

Рисунок 5 – Форма с промежуточными результатами интегрирования

4. Решение задачи с помощью математического пакета Scilab

Решение дифференциального уравнения

--> //Вычисление решения ОДУ на отрезке [0;1]с шагом 0.1

--> deff('yd=f(y,x)','yd=sqrt(x)+sqrt(y)')

--> //Задание начальных условий

--> y0=0;x0=0;x=0:0.1:1;

--> //Описание функции f(x)

--> y=ode(y0,x0,x,f);

--> yr=[x;y];//Создание и вывод матрицы решений

--> yr'

ans =

0. 0.

0.1 0.0308971

0.2 0.0936731

0.3 0.1801871

0.4 0.287371

0.5 0.4134034

0.6 0.5570311

0.7 0.7173192

0.8 0.8935338

0.9 1.0850777

1. 1.2914518