ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

Московский технический университет связи и информатики

Т.И.Семенова, О.М.Кравченко, В.Н.Шакин

Вычислительные модели и алгоритмы решения задач численными методами

Учебное пособие

для направления

11.03.02 – Инфокоммуникационные технологии и системы связи

Москва 2017

УДК32.973.26018.2

Семенова Т.И., Кравченко О.М., Шакин В.Н. Вычислительные модели и алгоритмы решения задач численными методами. Учебное пособие/ МТУСИ. – М., 2017. – 85с.

Учебное пособие содержит краткое теоретическое описание наиболее часто используемых в инженерной практике и в современных математических пакетах прикладных программ численных методов и методов оптимизации.

Ил. 29, табл. 18, список лит . 9 назв.

Издание утверждено советом факультета .

Протокол № от

Рецензенты:

© Московский технический университет

связи и информатики, 2017

Оглавление

Введение 5

Тема 1. Элементы теории погрешностей 5

1.1. Точные и приближенные числа 5

1.2. Абсолютная и относительная погрешность 6

Тема 2. Методы решения нелинейных уравнений 8

2.1. Постановка задачи 8

2.2. Отделение корней 9

2.2.1. Графическое отделение корней 10

2.2.2. Аналитическое отделение корней 11

2.3. Уточнение корней 12

2.3.1. Метод половинного деления 12

2.3.2. Метод итерации 14

2.3.3. Метод Ньютона (метод касательных) 17

2.3.4. Метод хорд 20

Тема 3. Интерполяция функций 23

3.1. Постановка задачи 23

3.2. Интерполяционная формула Лагранжа 25

3.3. Интерполяционные формулы Ньютона 28

3.3.1. Конечные разности 28

3.3.2. Первая интерполяционная формула Ньютона 29

3.3.3. Вторая интерполяционная формула Ньютона 31

₃₄

3.4. Сплайн – интерполяция 34

Тема 4. Аппроксимация функций 35

4.1. Постановка задачи аппроксимации 35

4.2. Метод наименьших квадратов 36

Тема 5. Численное интегрирование 41

5.1. Постановка задачи 41

5.2. Методы прямоугольников 43

5.3. Формула трапеций 43

5.4. Формула Симпсона 44

5.5. Оценка погрешности численного интегрирования 46

Тема 6. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений 48

6.1. Постановка задачи 48

6.2. Метод Эйлера 51

6.3. Методы Рунге-Кутты 52

6.4. Решение ОДУ n-го порядка 56

Тема 7. Одномерная оптимизация 59

7.1. Постановка задачи 59

7.2. Метод прямого перебора с переменным шагом 61

7.3. Метод дихотомии 62

7.4. Метод золотого сечения 64

7.5. Метод средней точки 66

Тема 8. Многомерная оптимизация 68

8.1. Постановка задачи и основные определения 68

8.2. Методы спуска 73

8.3. Метод градиентного спуска с дроблением шага 74

8.4. Метод наискорейшего спуска 76

8.5. Метод покоординатного спуска 78

Тема 9. Методы решения систем линейных уравнений 81

9.1. Постановка задачи 81

9.2.Метод Гаусса 82

84

9.3. Метод итераций 84

Список литературы 87

Введение

Широкое распространение персональных компьютеров и программных средств, в частности математических пакетов, позволяют решать многие трудоемкие и сложные задачи. Наличие готовых программных средств не только не снимает проблему обучения специалистов методам решения задач и обработки данных, а делает подготовку в этом направлении еще более актуальной. Это объясняется тем, что использование готовых программных средств, требует от специалиста грамотной математической постановки задачи, выбора эффективного метода решения и умения оценить погрешность результата. При решении реальных инженерных задач, когда мы имеем дело не только с приближенными результатами, но и с приближенными исходными данными, на первый план выступают не точные, а приближенные (численные) методы, которые зачастую позволяют получить решения даже в тех случаях, когда другие методы оказываются бессильны.

Тема 1. Элементы теории погрешностей

1.1. Точные и приближенные числа

Точность числа, как правило, не вызывает сомнений, когда речь идет о целых значениях данных(2 карандаша, 100 деревьев). Однако, в большинстве случаев, когда точное значение числа указать невозможно (например, при измерении предмета линейкой, снятии результатов с прибора и т.п.), мы имеем дело с приближенными данными.

Приближенным значением называется число, незначительно отличающееся от точного значения и заменяющее его в вычислениях. Степень отличия приближенного значения числа от его точного значения характеризуется погрешностью.

Различают следующие основные источники погрешностей:

1. Погрешности постановки задачи, возникающие в результате приближенного описания реального явления в терминах математики.

2. Погрешности метода, связанные с трудностью или невозможностью решения поставленной задачи и заменой ее подобной, такой, чтобы можно было применить известный и доступный метод решения и получить результат, близкий к искомому.

3. Неустранимые погрешности, связанные с приближенными значениями исходных данных и обусловленные выполнением вычислений над приближенными числами.

4. Погрешности округления, связанные с округлением значений исходных данных, промежуточных и конечных результатов, получаемых с применением вычислительных средств.