Билеты к экзамену матанализ 2023

5.Неопределенный интеграл от суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) неопределенных интегралов от этих функций.

6.Инвариантность формы неопределенного интеграла (переменной интегрирования может быть не только независимая переменная, но и функция).

Билет №19 1)Дифференциал функции,геометрический смысл

2)Интегрирование иррациональной функции

1)Если ф-ия у= f(x) дифференцируема в (.) х, то главная часть приращения ф-ии в этой точке линейна относительно приращения аргумента, называется дифференциалом ф-ии в этой точке и обозначается символом dy или df(x).

Дифференциал ф-ии в (.) х равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику ф-ии в (.) М(х.у), тогда аргумент получает приращение ∆x.

2) 1. Интегралы вида SR[x, (ax+b)в ст. m1/n1, (ax+b)в ст.m2/n2]dx, R- рациональная ф-ия, m1, n1, m2, n2целые числа. Находятся с помощью подстановки ax+b=t в ст. k, k- НОК чисел n1, n2 …

2.Интегралы вида SF[x, (ax+b/a1x+b1 в ст. m1/n1), (ax+b/a1x+b1) в ст. m2/n2,…]dx, R-

рациональная ф-ия, m1, n1, m2, n2- R. Находятся с помощью подстановки

(ax+b/a1x+b1)=t в ст.k, k- НОК чисел n1, n2 …

3.Интегралы вида S dx/(ax (в ст 2) +bx+c)^1/2. Находятся путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена ax в ст2 +bx +c

4.Интегралы вида S dx/(x- α) (ax (в ст2) +bx+c)^1/2 приводятся к интегралам вида

Sdx/(a(в ст2)x +bx+c)^1/2 с помощью подстановки x- α=1/t

Билет №20	4, 04
1)Применение дифференциала для приближ вычислений. Вычислите
2)Основные свойства интеграла

2

3)Решите интеграл ∫ 2+1

−4

1)Если приращение аргумента ∆x мало по абсолютной величине, то в этом случае приращение ф-ии приближенно равно её дифференциалу, т.е. ∆у≈dy или f(x+∆x)-f(x)≈f’(x)dx отсюда, учитывая, что dx=∆x окончательно получаем: f(x+∆x)=f(x)+ f’(x)dx(формула для приближенных вычислений).

2)

●Sf(x) dx=0

●Scf(x) dx=c Sf(x) dx, c-const

●S[f1(x)±f2(x)] dx= Sf1(x) dx± Sf2(x) dx

●Sf(x) dx=- Sf(x) dx

●Sf(x) dx= Sf(x) dx+ Sf(x) dx равенство справедлива при любом расположении точек a,b,c.

●Если ф-ия f(x) и φ(x) интегрируемы на отрезке [a,b], где a<=b и f(x)<= φ(x) ұ x ε [a,b], то Sf(x) dx<= S φ (x) dx

●Если ф-ия f(x) четная Sf(x) dx =2 Sf(x) dx, f(x)- неч Sf(x) dx=0

Билет №21 1)Производная и дифференциал

2)Первообра, неопр интеграл,т. о сущ первообразн

3)Найти область определения y=√(-x) + arcsin(x-1)

1)Производная f’(x) наз-ся производной первого порядка. Производная от производной f’(x) наз-ся производной второго порядка или второй производной от ф-ии у= f(x) и

обозначается одним из символов y’’, d² /dx², d² f(x)/dx², y’’=(y’)’ или d² /dx²=d /dx (dy/dx).

Дифференциал dy наз-ся дифференциалом первого порядка или первым дифференциалом. Дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом ф-ии y= f(x) наз-ся дифференциал от её первого дифференциала d² =d(dy).

Дифференциал n-го порядка равен произведению производной n-го порядка на n-ую степень дифференциала независимой переменной dny =fn(x)dnx.

2)Функция F(x) наз-ся первообразной для функции f(x) на данном промежутке, если на этом промежутке F’(x)=f(x).

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке для нее существует первообразная, а значит и неопределенный интеграл

Билет №22 1)Теорема Ролля, теорема Лагранжа

2)замены перемен и интегр почастям в неопр интеграл

1)Теорема Ролля. Пусть ф-ия f(x) удов условиям: 1. Непрерывна на [a,b]. 2. Дифференцируема в интервале (a,b). 3. На концах отрезка принимает равные значения. f(a)=f(b) Тогда сущ с (а,в) : f’(c)=0.

Теорема Лагранжа. Пусть ф-ия f(x) удов условиям: 1. Непрерывна на [a,b]. 2. Дифференцируема в интервале (a,b). Тогда сущ с (а, в) : справедл ф-ла f(b)-f(a)/b-a=f’(c) формула конечных приращений. (формула Лагранжа).

2)Пусть u=u(x) и v=v(x) непрерывно дифференцируемые ф-ии, тогда справедлива формула

Sudv=uv-Svdu

Пусть: 1.x=φ(t) – монотонная непрерывно дифференцируемая функция от аргумента t 2.y=f(x) непрерывная функция от аргумента x, тогда справедлива формула: Sf(x) dx=Sf (φ(t)) φ’(t)dt. Формула замены переменной в неопределенном интеграле.

Билет №23 1)Теорема Лагранжа,Теорема Коши

2)Формула замен перемен в опр интегр и иетнгр по част

1) Теорема Лагранжа. Пусть ф-ия f(x) удов условиям: 1. Непрерывна на [a,b]. 2. Дифференцируема в интервале (a,b). Тогда сущ с (а, в) : справедл ф-ла f(b)-f(a)/b-a=f’(c) формула конечных приращений. (формула Лагранжа).

Теорема Коши. Пусть ф-ия f(x) удовл условиям: 1. Непрерывна на [a,b]. 2. Дифференцируема в интервале (a,b). 3. φ’(x)≠0 ұ x (a,b) : справед ф-ла f(в)-f(а)/φ(в)-φ(а)=f’(c)/φ’(c). (формула Коши)

2) Пусть: 1. ф-ия f(x) непрерывна на [a,b]. 2. ф-ия x=φ(t) непрерывно-диффер на [α,β]. 3. φ(α)=a, φ(β)=b. Тогда справедлива формула Sf(x)dx= Sf[φ(t)]φ’(t)dt

Пусть u=u(x) и v=v(x) непрерывно диффер ф-ии на отр [a,b], тогда справедлива формула

Sudv=uv| -Svdu.

Билет №24 1)Правило Лопитал

2)Рац др,теорема о разлож рац др на прост, виды прост дробей

1

3) Найти область определения = + ( − 1)

1)Предел отношения двух БМ или ББ ф-ий равен пределу отношения их производных,

если последний сущ-т, т.е. если limf(x),x-a = limφ(x),x-a =0 (либо ∞), то limf(x)/φ(x)= limf’(x)/φ’(x) если предел справа сущ-т, при этом а может быть как числом, так и ∞.

Замечание!!! Правило Лопиталя применяется только для раскрытия неопределенностей вида 0/0(∞/∞), а неопр вида ∞0;∞-∞;0;∞;1 сначала с помощью тождественных преобразований сводятся к основным видам неопределенностей 0/0(∞/∞), а уже затем раскрываются с помощью правила Лопиталя.

2)Рациональной ф-ей или рац. дробью наз-ся отношение двух многочленов.

Всякую неправильную рациональную дробь P(x)/Q(x) можно представить в виде суммы многочлена и правильной рац. дроби(путем деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов).

Простейшими дробями наз-ся прав. дроби следующего вида: I. A/x-a II.A/(x-a)ⁿ, n-целое число >=2, III. Bx+C/x²+px+q где знаменатель не имеет действительных корней. IV.

Bx+C/(x²+px+q) ⁿ, m-целое число >=2, знаменатель не имеет действительных корней. Перечисленные дроби будем называть простейшими дробями I,II,III,IV типов.

Билет №25 1)макс или мин, определение экстремума

2)необход усл сущ экстремума

3)lim

→ 0

1.Говорят, что ф-ия f(x) имеет в (.) а максимум(минимум), если в некот окрестности (.) а выполняется неравенство f(а)≥ f(в) (f(а)≤ f(в)). При этом (.) а называется (.)

мах(мин) ф-ии f(x) .

Мах или мин ф-ии наз-ся экстремум функции.

Точка (x0,y0) называется точкой max(min) функции z=f(x,y) если сущ. Окрестность точки (x0,y0), такая что для всех точек из данной окрестности выполняется неравенство f(x0,y0)>=f(x,y) или f(x0,y0)<=f(x,y).

Min(max) функции z=f(x,y) наз-ся её экстремумом, а точки в этой функции, имеющие экстремум, наз-ся точками экстремума.

2.Необходимое условие существование экстремума. Пусть точка с координатами (x0,y0) – точка экстремума диф-ой функции z = f(x,y), тогда её частная производная I порядка в данной точке = 0

Билет №26 1)Первое достат усло экстремума

2)Интегрирование рациональных дробей

3)∫lnxdx

1)I достаточное условие экстремума. Если через (.) х0 производная дифференцируемой ф-ии меняет знак 1. с +нато х0-(.) мах, 2. с – на +, то х0-(.) мин.

II достаточное условие экстремума. Пусть f(x) дважды дифф в (.) х0, причем f’(x0)=0,

если при этом 1. f’’(x0)<0, то х0-(.) мах, 2. f’’(x0)>0, то х0-(.) мin. (билет 3)

2)Порядок интегрирования рац. дробей.

1.Если дробь непр, то её представляют в виде суммы многочлена и пр рац дроби.

2.Разлагают знаменатель пр рац дроби на множитель вида (x-a)…..

3.Пр рац дробь разлагают на сумму простейших, применяя метод неопр коэф

4.Интегрируют полученное разложение исходной дробью.

Билет №27 1)график выпукл(вогнут), т.дост усл выпукл(вогнут)

2)Опред.интегр и геометр смысл

3)	lim
		( )
	→ 0

1)Опред. График дифференцируемой ф-ии у= f(x) наз-ся выпуклым(вогнутым) в [a,b], если он расположен ниже(выше) касательной, проведенной к графику ф-ии в л. (.) этого интервала.

Теор. (достаточное условие выпуклости(вогнутости) графика ф-ии) Пусть ф-ия f(x) дважды дифференцируема в интервале (a,b), тогда в этом интервале график ф-ии является 1.выпуклым,

если f’’(x0)<0 в (a,b) 2. вогнутым, если f’’(x0)>0в (a,b).

2)Определенным интегралом от ф-ии f(x) [a,b] наз-ся её предел интегральной суммы при условии, что наибольший из её частичных отрезков стремится к 0, а сам lim не зависит не от способа разбиения отрезка [a,b] на частичные отрезки, ни от способа выбора точек τк в каждом из них. При этом пишут: Sf(x) dx=lim Σ ƒ(τк)∆xk

Геометрический смысл определенного интеграла.

Если ф-ия y=f(x) непрерывна и не отрицательна на [a,b], то опр интеграл Sf(x) dx геометрически представляет собой S криволинейной трапециифигуры, ограниченной линиями y=f(x), x=a, x=b, y=0.

Билет №28 1)(.) перегиба, крит (.) 2рода, необход и достат усл сущ (.) перегиба

2)Интегралы с переменным верхним пределом

3)

1)Точкой перегиба графика дифференцируемой ф-ии у=f(x) наз-ся любая его точка, при переходе через которую выпуклость меняется на вогнутость и наоборот.

Точки, в кот вторая производная ф-ии у=f(x) равна 0 либо ∞ либо вовсе не сущ-т, наз-ся критическими (.) второго рода.

Необходимое условие сущ (.) перегиба. Абсциссы точек перегиба графика ф-ии явл-ся критическими точками второго рода.

Достаточное условие сущ-ия точки перегиба. Если для дважды дифференцируемой ф-ии f(x)

(.) х0 является критической (.) второго рода и при переходе через эту (.) вторая производная f’’(x) меняет знак, то точка М0 (х0, f(x0)) является точкой перегиба.

2)Пусть ф-ия у=f(x) интегрируема на [a,b], тогда ф-ия Φ(x)= Sf(t) dt где x ε [a,b], наз-ся интегралом с переменным верхним пределом.

Т. Если ф-ия f(x) непрерывна на [a,b], то интеграл с переменным верхним пределом Ф(x) будет дифференцируемой ф-ей на [a,b] причем Ф’(x)=( Sf(t) dt=f(x)) ұ x ε [a,b]

Следствие: интеграл с переменным верхним пределом Ф(х)= Sf(t) dt является первообразной ф-ей для ф-ии f(x) на [a,b].

Билет №29 1)Асимптота и классификация

2)Н.Лейбница, замены переменной в опр интеграле 3)

1)Прямая L наз-ся асимптотой кривой у= f(x) если расстояние δ от переменной точки М на кривой до этой прямой стремится к 0 при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат (т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к

∞).

1.Прямая х=а явл-ся вертикальной ас. кривой у= f(x) если lim f(x)=∞ или lim f(x)=∞ или lim f(x)=∞. (x→a)

2.Прямая у=в явл горизонтальной асимптотой кривой у= f(x), если сущ конечный предел lim f(x)=в или lim f(x)=в.(x→±∞)

3.Прямая у=kx+b яв-ся наклонной ас кривой у=f(x), если сущ два конечных предела lim f(x)/х=k lim [f(x)-kx]=в .(x→±∞)

2)Формула Ньютона-Лейбница. Если ф-ия f(x) непрерывна на [a,b], а ф-ия F(x) есть любая первообразная для ф-ии f(x) на этом отрезке, то справедлива формула

Sf(x)dx=F(b)-F(a).

Пусть: 1. ф-ия f(x) непрерывна на [a,b]. 2. ф-ия x=φ(t) непрерывно-диффер на [α,β]. 3. φ(α)=a, φ(β)=b. Тогда справедлива формула Sf(x)dx= Sf[φ(t)]φ’(t)dt

Билет №30

1)Определение функции, область определения, область значения функции, график функции

2)Метод Симпсона

3)Исследовать функцию на непрерывность

Билет №31 1)Способы задания функции

2)Нахождение S плоских фигур

1

3) Решите предел lim ( )

→ 0

1)1. аналитический способ состоит в том, что ф-ия задается формудой вида y=f(x). Этот способ чаще всего встречается на практике.

2.Табличный способ. Состоит в том, что ф-ия задается таблицей, содержащей значение аргумента и соответствующее значение ф-ии.

3.Графический способ состоит в том, что соответствие между аргументом и ф-ией устанавливается с помощью графика.

2)1. S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком ф-ии y=f(x) слева и справа прямыми x=a, x=b, снизу осью Ох.

2.S криволинейной трапеции, ограниченной справа графиком ф-ии х=φ(x) снизу и сверху прямыми у=a, у=d, слева осью Оу. S=Sφ(y)dy.

3.S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком ф-ии y =f (x) и снизу графиком ф-ии у=f (x), слева и справа прямыми x=a, x=b. S=S[f2 (x )-f 1(x )]dx

4.S криволинейной трапеции, ограниченной справа графиком ф-ии х =φ (x), слева гр ф-ии x =φ (y), снизу и сверху прямыми у=a, у=d. S=S[φ2 (y)- φ1 (y)]dy.

5.S фигуры, ограниченной сверху кривой, заданной параметрически

x=φ(t),

y=ψ(t), t 0<=t<=t 1

S=Sψ(t)φ’(t)dt.

Билет №32 1)Классификация функции

2)Несобственный интеграл 1 типа

3)∫ 22 +1

+4

1)Ф-ия y=f(x) наз-ся явной, если она задана формулой, в которой правая часть не содержит зависимой переменной.

Ф-ия у от аргумента х наз-ся неявной, если она задана ур-ем F(x,y)=0 не разрешенным относительно зависимой переменной.

Ф-ия у от аргумента х, заданная посредством цепи из двух ф-ий y=f(u), u=φ(x) наз-ся ф-ей от ф-ии или сложной ф-ей и записывается сл образом y=f[φ(x)]. Переменная u при этом наз-ся промежуточной переменной.

2)Несобственным интегралом от ф-ии f(x) на [a,+∞] наз-ся limSf(x)dx,( b→∞). При этом пишут Sf(x)dx=lim Sf(x)dx. ,( b→∞). Если указанный предел сущ-т и конечен, то несобств интеграл наз-ся сходящимся.

Билет №33 1)предел функции в точке, геометрический смысл

2)Несобственный интеграл 2 типа

3)lim(x→∞) ( 2 + 1 − )

1)Число А наз-ся пределом ф-ии f(x) при x→a или в (.) а , если для любого числа ε>0 сущ число δ>0 : для всех х удовл усл 0<|x-a|<δ (1) выполняется нер-во |f(x)-A|<ε (2). При этом пишут: limf(x)=A или f(x)→A при x→a.

Неравенство (1) означает, что (.) х≠а и х (а-δ,а+δ), т.е.δ окрестности (.) а на оси Ох. Неравенство (2) означает, что соответствующие значения ф-ии f(x) (A-ε,A+ε), т.е. ε-окрестности точки А на оси Оу. Следовательно, точка Р графика ф-ии у=f(x) лежат в полосе шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А-ε и у=А+ε для люб х (а-δ,а+δ), х≠а.

2)Пусть ф-ия f(x) непрерывна на полуинтервале [a,b) и в (.) b имеет бесконечный разрыв, т.е. limf(x)=∞, (x→b)тогда несобственный интеграл от ф-ии f(x) на [a,b] наз-ся limSf(x)dx,(ε→0) ε>0. При этом пишут: Sf(x)dx= limSf(x)dx (ε→0) ε>0 . Если указанный предел сущ и конечен, то несобственный интеграл наз-ся сходящимся, в противном случае расходящимся

Билет №34

1)Понятие бесконечно малой и бесконечно большой функции (при x -> a и при x -> бесконечности)

2)Абсолютная сходимость несобственных интегралов (определения и теоремы)

3)	∫	+1
		+1+1

1) Ф-ия α(x) наз-ся БМ при х→а(или х→∞) если limα(x)=0 (limα(x)=0).

Ф-ия у=f(x) наз-ся ББ при х→а, если для любого числа ε>0 сущ. ч δ>0 :ұx 0<|x-a|<δ | выполн нер-во f(x)|>ε. При этом пишут limf(x)=∞, х→∞

Графиком ф-и z=f(x,y) наз-ся множество G(z)={(x,y,z)εR³|z=f(x,y),(x,y)εD(z)}. Графиком ф-ии z=f(x,y) представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве.

2)Пусть имеется n переменных величин и каждому набору их значений (х1,х2,…,хn) из некоторого мн-ва Х соответствует одно вполне опр значение переменной вел-ны z. Тогда говорят, что задана ф-ия нескольких переменных z=f(x1,x2,…,xn).

При этом переменные x1,x2,…,xn наз-ся независимыми переменными или аргументами, z-зависимой переменной, f – закон соответствия, Х- областью опр ф-ии и

обозн D(z).

Билет№35 1)Понятие абсолютно интегрируемой функции. Признак Дирихле

2)Основные теоремы о пределе функции

3)Найти область определения функции

Билет № 1)классификация функций

2)Теоремы о пределах, в неопре интеграле

1)Число А наз-ся пределом ф-ии z=f(x,y) при х→х0 и у→у0(или в (.) x0, у0), если для любого числа ε>0 сущ-т число δ>0 : выполн нер-во |f(x,y)-A|ε<0 при

0<((x-x0)²-(y-y0)²)^½<δ. При этом пишут: А=limf(x,y), при х→х0 и у→у0.

Ф-ия z=f(x,y) наз-ся непрерывной в (.) х0, у0, если: 1. Она определена в (.) (х0,у0). 2. Сущ конечный предел в (.) (х0,у0). 3. Этот lim = знач ф-ии в (.) (х0,у0),т.е. limf(x0,y0)=f(x0,y0). при х→х0 и у→у0

2) Т1. Ф-ия f(x) не может иметь более одного предела при х→а.

Т2. Если сущ(конечные) пределы limf(x)=A, limφ(x)=B, то 1. lim [f(x)± φ(x)]=A±B 2. lim [f(x) φ(x)]=AB 3. lim [f(x)/ φ(x)]=A/B, B≠0.

Т3. Если limf(x)=A, limφ(x)=B и f(x)≤ φ(x) в нек окрестности а, то А≤В.

Т4. Пусть в нек окрестности (.) а выполн нер-во φ(x)≤f(x)≤g(x) и при этом limg(x)= limφ(x)=A,

тогда limf(x)=A.

Т4. Ф-ия f(x) имеющая предел в (.) а явл ограниченной в нек окрест (.) а.

Билет №36 1)Непрерывность функции в точке

2)Свойства непрерыв в точке, свойства опред интеграла

1)Функция у=f(x) наз-ся непрерывной в (.) х0 если:

1.она определена в некоторой окрестности точки x0

2.сущ limf(x),x→x0.

3.limf(x)=f(x0) x→x0.

2)Св-ва непрерывности в точке:

●Если функции f(x) и φ(x) непрерывны в (.) х0, то в этой точке будут непрерывны и ф-ии f(x) ± φ(x), f(x)*φ(x), f(x)/φ(x) (φ(x)≠0).

●Если ф-ия u= φ(x) непрерывна в (.) х0, а ф-ия у=f(x) непрерывна в (.) u0= φ(x0), то сложная ф-ия у=f[φ(x)] непрерывна в (.) х0.

●Ф-ия у=f(x) наз. непрерывной на пром Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

1.От а до а ∫f(x) dx=0

2.От а до b ∫ С f(x) dx=С ∫f(x) dx, c-const

3.От а до b ∫ [f1(x)±f2(x)] dx= ∫f1(x) dx± ∫f2(x) dx

4.От а до b ∫f(x) dx= От b до a - ∫f(x) dx

5.От а до b ∫f(x) dx= От a до c ∫f(x) dx+ От c до b ∫f(x) dx - равенство справедлива при любом расположении точек a,b,c.

6.Если ф-ия f(x) и φ(x) интегрируемы на отрезке [a,b], где a≤b и f(x)≤φ(x) ұ x ε [a,b], то

∫f(x) dx≤∫φ (x) dx

7.Если ф-ия f(x) четная От а до -a ∫f(x) dx = (От а до 0) 2 ∫f(x) dx, f(x)- неч От а до -a ∫f(x) dx=0

Билет 37 1)точки разрыва

2)признаки сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций

3)∫

2+2 +3

1)Если (.) х0 явл-ся (.) разрыва ф-ии f(x) и в этой (.) сущ-т конечные односторонние пределы f(x0-0) f(х0+0), то (.) х0 наз-ся точкой разрыва первого рода.

Точки разрыва I рода делятся на:

1.(.) устранимого разрыва, если левый предел точки совпадает с правым.

2.Точки скачка, если f(x0-0)≠f(х0+0), при этом f(x0+0)-f(х0-0) наз-ся скачком ф-ии в (.) х0.

(.) разрыва х0 наз-ся точкой разрыва II рода, если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов равен ∞ либо вовсе не сущ.

Билет №38 1)производной функции, геометрич смысл

2)Дифференциация высшего порядка

3)	lim		1
	→ ∞

1)Производная ф-ии f(x) в (.) х0 наз-ся предел отношения приращения ф-ии ∆у к приращению аргумента ∆x, когда последнее стремится к 0, т.е. у’ =lim∆у/∆x

Производная f’(x) есть угловой коэффициент касательной, проведенной к графику ф-ии у= f(x) в (.) (х0, f(x0)).

K=tgφ=f’(x0).

Из геометрического смысла производной получают следующее уравнение касательной

к кривой

у= f(x) в (.) М0(х0,у0) у-у0=f’(x0)*(x-x0)