Ряды

0 9N = N(") 2 N 8n >P

j

n+p

nj j

i=n+1

ij

1

достаточно, чтобы

8" >

Критерий Коши

Для сходимости ряда

n=1 an необходимо и

n+p

a < ".

N; p > 0 ( S

S =

P

В частности nlim!1 an = 0.

выполнено

P

1

P

1

Признак сравнения

0 an bn

n=1 bn. Если при n n0

Пусть, кроме ряда

n=1 an имеем ряд

неравенство

, то

Признак сравнения

Если an = O

1

, то при p > 1 ряд

1

an cходится, а при p

1 —

P

расходится.

n

n=1

P

an+1

Признак Даламбера

Если an > 0 8n 2 N и nlim!1

= q, то при q < 1 ряд сходится и при

an

q > 1 расходится.

Признак Коши

Если a

0

n

и

lim

= q, то при q < 1 ряд сходится и при

n

n

8

2

N

n

n

q > 1 ряд расходится.

!1

Признак Раабе

Если an > 0 8n 2 N и nlim n

an

= p, то при p > 1 ряд сходится

1

an+1

и при p < 1 расходится.!1

Признак Гаусса

Если an > 0 8n 2 N и

an

n

, где

j nj < C

и " > 0, то

= + n

+

an+1

n1+"

а) при > 1 ряд сходится и при < 1 расходится; б) при = 1 ряд

сходится, если > 1, и расходится, если 1

Интегральный признак Коши

Если f(x) (x 1) — неотрицательная невозврастающая непрерывная

функция, то ряд

1

f(n)

сходится или расходится одновременно с

n=1

интегралом

1+1 fP(x)dx.

Признаки сходимости знакопеременных рядов

R

Знакочередующийся ряд

1

n

1

сходится, если

Признак Лейбница

bn+1 8n 2 N и nlim!1 bn = 0P.

n=1( 1)

bn;

(bn 0)

bn

Признак Абеля

ряд

1

anbn сходится если ряд

1

an сходится и числа bn обазуют

n=1

n=1

монотонную и ограниченную последовательность.

P

P

Признак Дирихле

ряд

1

anbn сходится, если частичные суммы An =

n

ai ограни-

n=1

i=1

.

в совокупности и

bn

монотонно стремится к нулю при

n ! 1

ченыP

P

Функциональные ряды

Область сходимости сумма

Совокупность X0 тех значений x, для которых сходится функциональ-

функционального ряда

ный ряд

1

un(x)

называется областью сходимости этого ряда, а

n=1

n

функция S(x) =

lim

— его суммой.

i=1 ui(x); (x 2 X0)

P

n!1

Равномерная сходимость

Последовательность функций

ffn(x)g

называется равномерно сходя-

P

щейся на множестве X,

если

1)

существует

предельная

функция

f

x = nlim!1 fn(x); (x 2 X); 2) 8" > 0 9N 2 N; N = N(") 8n > N 8x 2

1

X : jf(x) fn(x)j < ". Функциональный ряд

называется

n=1 un(x)

равномерно сходящимся на множестве

X

, если равномерно сходится

P

на этом множестве последовательность его частичных сумм

Критерий Коши

Для равномерной сходимости функционального ряда на множестве X

необходимо и достаточно, чтобы 8" > 0 9N 2 N; N = N(") 8n >

N 8p > 0 8x 2 X : jSn+p(x) Sn(x)j < ".

Признак Вейерштрасса

функциональный ряд

1

un(x) сходится абсолютно и равномерно

n=1

1

на множестве

X

, если существует сходящийся числовой ряд

P

P

n=1 cn

такой, что jan(x)j cn при x 2 X; n 2 N.

Признак Абеля

Ряд

1

an(x)bn(x)

сходится

равномерно на

множестве

X,

если

n=1

ряд

Pn1=1 an(x)

сходится

равномерно на множестве X, и функции

bn(x)P; n 2 N ограничены в совокупности и при каждом x образуют

монотонную последовательность.

Признак Дирихле

P

n=1 an(x)

Ряд

1

an(x)bn(x) сходится равномерно на множестве X, если ча-

n=1

N

bn(x);P

2 N

в совокупности ограничены, и последова-

стичные суммы

тельность

n

монотонна для каждого x и равномерно на X

стремится к нулю при n ! 1.

Теорема Дини

Пусть последовательность ffn(x)g является монотонной в каждой точ-

ке сегмента [a; b]

и сходится на этом сегменте к предельной функции

f(x). Тогда, если все элементы последовательности fn(x) и предельная

функция f(x) непрерывны на сегменте [a; b], то сходимость последова-

тельности ffn(x)g является равномерной на сегменте [a; b].

емы при a < x < b и ряд

P

1

n=1 un0

(x)

Если члены сходящегося ряда

un(x)

непрерывно дифференциру-

Свойства функциональных рядов

n=1

(a; b)

dx

n=1 un(x)]P

1

n=1 un0 (x)

x 2 (a; b)

производных

сходится равномерно

n=1Pn

P

b

на интервале

, то

d

[

1

=

1

при

.

Если

члены

ряда

1

u (x)

непрерывны

и

этот

ряд

сходится

n1=1 ab un0 (x)dx

сегменте

,

то

R

fP

1

g

равномерно

на

конечном

[a; b]

a

P

n=1 un(x) dx =

P

R

Степенные ряды

Интервал сходимости, радиус

j

j

P

1

n

существует замкнутый

Для каждого степенного ряда

n=0 an(x a)

сходимости

интервал сходимости: x

a

R, внутри которого данный ряд схо-

дится, а вне расходится. Радиус сходимости R определяется по формуе

p

R

=

n!1

j

j

an

Коши-Адамара:

1

lim

n

an

. Радиус сходимости может быть вычис-

R = n!1 an+1

n

лен также по формуле

lim

, если этот предел существует.

x = R

P

j

j

Теорема Абеля

Если степенной ряд S(x) =

n1=0

anx

( x < R)

сходится в концевой

точке

интервала сходимости, то

lim S(x)

!

j j

f Pn=0 an(x a) g dxP

n=0 n+1

d

[

n1=0 an(x a)n] =

n1=0(n + 1)an+1(x

a)n;

Действия со степенными рядами

dx

R P

P

an

Внутри общего интервала сходимости x a < R

1

n

= C +

1

(x

a)n+1.