55

Ю.И.Романов

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ

ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Избранное

Часть I. Лекции по разделу « Элементы теории определителей и матриц»

Москва

МГУДТ 2012

Лекция 1.

Определители. Их свойства. Методы вычисления определителей

Подопределителем (детерминантом) D (или ) второго порядка понимается выражение:

D=	a11	a12	= a11 . a22 - a12 . a21 (1)
	a21	a22

Числа а₁₁, а₁₂, а₂₁ и а₂₂ называются элементами определителя. Они расположены в двух строках и двух столбцах (рядах определителя). Индексы обозначают место элемента в определителе. Первый из них указывает строку, в которой находится элемент, а второй - столбец. Так, элемент а₂₁ расположен во второй строке, первом столбце. Диагональ, содержащую элементы а₁₁ и а₂₂ называют главной, а диагональ с элементами а₁₂ и а₂₁ - побочной.

Согласно формуле (1) , определитель второго порядка равен разности попарных произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Пример 1.

2	5	= 2 . (-4) - 5 . (-3) = -8 + 15 = 7
-3	-4

Определитель третьего порядка содержит три строки, три столбца и записывается так:

a11	a12	a13
a21	a22	a23	=
a31	a32	a33

a₁₁ ^. a₂₂ ^. a₃₃+a₂₁ ^. a₃₂ ^. a₁₃ + a₁₂ ^. a₂₃ ^. a₃₁ - a₁₃ ^. a₂₂ ^. a₃₁ –a₁₂ ^. a₂₁ ^. a₃₃-

-a₁₁ ^. a₂₃ ^. a₃₂ (2)

При его вычислении удобно пользоваться правилом треугольников (правилом Саррюса). Рассмотрим схему:

a11	a12	a13		a11	a12	a13
a21	a22	a23		a21	a22	a23
a31	a32	a33		a31	a32	a33

+ -

Три положительных члена определителя представляют собой произведения элементов главной диагонали (а₁₁ ^. а₂₂ ^. а₃₃) и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали (а₁₂ ^. а₂₃ ^. а₃₁ и а₂₁ ^. а₃₂ ^. а₁₃). Три отрицательных его члена есть произведения элементов побочной диагонали (а₁₃ ^. а₂₂ ^. а₃₁) и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали (а₁₂ ^. а₂₁ ^. а₃₃ и а₁₁ ^. а₂₃ ^. а₃₂).

Это правило позволяет легко записать формулу (2) и вычислить данный определитель.

Пример 2.

3	-2	1
-2	1	3	=
2	0	-2

3 ^. 1 ^. (-2) + (-2) ^. 3 ^. 2 + (-2) ^. 0 ^. 1 - 2 ^. 1 ^. 1 – 3 ^. 0 ^. 3 - (-2) ^. (-2) ^. (-2) = -12

Свойства определителей

Сформулируем их для определителя третьего порядка, хотя они присущи определителям любого порядка.

Свойство 1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить его столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером, т.е.

а11	а12	а13		а11	а21	а31
а21	а22	а23	=	а12	а22	а32
а31	а32	а33		а13	а23	а33

Свойство 2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1.

Например,

а11	а12	а13		а13	а12	а11
а21	а22	а23	=	а23	а22	а21
а31	а32	а33		а33	а32	а31

Для доказательства этих свойств достаточно применить правило треугольников к левым и правым частям определителя и сравнить полученные результаты.

Свойство 3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

В самом деле, при перестановке двух одинаковых столбцов определитель D не изменится, а в силу свойства 2 его знак должен измениться. Следовательно, D= -D, откуда 2D=0, т.е. D=0.

Свойство 4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k.

Иначе это свойство можно высказать так: общий множитель всех элементов одного столбца или одной строки определителя можно вынести за знак определителя.

Например,

а11	а12	а13		а11	а12	а13
kа21	kа22	kа23	= k	а21	а22	а23
а31	а32	а33		а31	а32	а33

Свойство 5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то определитель равен нулю.

Это свойство является частным случаем предыдущего (при k=0)

Свойство 6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Убедитесь самостоятельно, что это свойство следует из свойств 4 и 3.

Свойство 7. Если каждый элемент n-го столбца (или n-ой строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-ом столбце (или соответственно в n-ой строке) имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же.

Например,

а11	а12’ + а12’’	а13		а11	а12’	а13		а11	а12’’	а13
а21	а22’ + а22’’	а23	=	а21	а22’	а23	+	а21	а22’’	а23
а31	а32’ + а32’’	а33		а31	а32’	а33		а31	а32’’	а33

Особое внимание прошу обратить на следующее свойство, имеющее важное значение для вычисления определителей.

Свойство 8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится.

Это свойство вытекает из свойств 7 и 6. Действительно, пусть, например, к элементам первого столбца прибавлены элементы второго столбца, умноженные на некоторое число k. Тогда, согласно свойству 7, имеем:

а11+kа12	а12	а13		а11	а12	а13		kа12	а12	а13
а21+kа22	а22	а23	=	а21	а22	а23	+	kа22	а22	а23
а31+kа32	а32	а33		а31	а32	а33		kа32	а32	а33

Второй из полученных определителей равен нулю. Приходим к равенству:

а11+kа12	а12	а13		а11	а12	а13
а21+kа22	а22	а23	=	а21	а22	а23
а31+kа32	а32	а33		а31	а32	а33

Используя свойство 8, можно получить треугольный определитель, у которого все элементы, лежащие выше (или ниже) главной диагонали, - нули. Он равен произведению элементов главной диагонали:

а11	0	0		а11	а12	а13
а21	а22	0	=	0	а22	а23	=
а31	а32	а33		0	0	а33

= a₁₁ ^. a₂₂ ^. a₃₃

Для формулировки следующих свойств определителя познакомимся с понятием минора и алгебраического дополнения.

Пусть а_ij, где индекс i и j меняются от 1 до n, - элемент определителя n-го порядка D= |а_ij|.

Минором М_ij элемента а_ij называется такой новый определитель, который получается из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Например, минор М₁₂, соответствующий элементу а₁₂ определителя (2), получается, если вычеркнуть первую строку и второй столбец, т.е.

	а11	а12	а13
М12 =	а21	а22	а23	=	а21	а23
	а31	а32	а33		а31	а33

Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если это число - нечетное. Более кратко можно сказать, что алгебраическим дополнением элемента а_ij определителя D называется минор М_ij этого элемента, взятый со знаком (-1) в степени i + j. Его принято обозначать А_ij. Таким образом,

Аij = (-1) i+j . Mij

(3)

Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, следует рассмотреть алгебраические дополнения всех элементов определителя и сравнить их с минорами.

Пример 3. Найти алгебраические дополнения элементов а₁₃, а₂₁, а₃₁ определителя

			-1	2	3
		D=	2	0	-3
			3	2	5
А13 = (-1)1+3 .		2	0	=	2	0	= 4 - 0 = 4
		3	2		3	2
А21 = (-1)2+1 .		2	3	= -	2	3	=- (10 - 6) =-4
		2	5		2	5
А31 = (-1)3+1 .		2	3	=	2	3	= -6 - 0 = - 6
		0	-3		0	-3

Свойство 9. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

D =ai1 . Ai1+ai2 .Ai2+...+ain.Ain

(4)

или

D =a1j .A1j+a2i .A2j+...+anj.Anj

(5)

Эти соотношения называются разложениями определителя по элементам i-ой строки или j-ого столбца. Тем самым вычисление определителя порядка n сводится к вычислению n определителей порядка n-1.

Согласно формулам (4) и (5),

D = a11 . A11+a21 . A21+a31 . A31	D = a11 . A11+a12 . A12+a13 . A13
D = a12 . A12+a22 . A22+a32 . A32	D = a21 . A21+a22 . A22+a23 . A23
D = a13 . A13+a23 . A23+a33 . A33	D = a31 . A31+a32 . A32+a33 . A33

Чтобы доказать, например, первое из этих равенств, достаточно записать правую часть формулы (2) в виде:

D = a₁₁ ^. (a₂₂ ^. a₃₃ - a₂₃ ^. a₃₂) + a₂₁ ^. (a₁₃ ^. a₃₂ - a₁₂ ^. a₃₃) +

+ a₃₁ ^.(a₁₂ ^. a₂₃ - a₁₃ ^. a₂₂)

Величины, стоящие в скобках, являются алгебраическими дополнениями элементов а₁₁, а₂₁, а₃₁. Таким образом,

D =a11 .	a22	a23	- a21 .	a12	a13	+ a31 .	a12	a13		(2а)
	a32	a33		a32	a33		a22	a23

Свойство 10. Сумма произведений элементов какого-нибудь столбца (или какой-нибудь строки) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца (или другой строки) равна нулю. Докажем, например, что сумма произведений элементов второго столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов первого столбца равна нулю. Для этого разложим определитель (2) по элементам первого столбца:

D = a₁₁ ^. A₁₁+a₂₁ ^. A₂₁+a₃₁ ^. A₃₁

Алгебраические дополнения А₁₁, А₂₁, А₃₁ не зависят от самих элементов а₁₁, а₂₁, а₃₁. Поэтому, если в обеих частях равенства эти числа заменить произвольными b₁, b₂, b₃, то получим верное равенство:

b1	a12	a13
b2	a22	a23	= b1 . A11 + b2 . A21 + b3 . A31.
b3	a32	a33

Если в качестве b₁, b₂, b₃ взять элементы второго столбца и учесть, что, согласно свойству 3, определитель с двумя одинаковыми столбцами равен нулю, то получим:

D = a₁₂ ^. A₁₁ + a₂₂ ^. A₂₁ +a₃₂ ^. A₃₁=0,

что и требовалось доказать.

Еще раз напомню, что представленные свойства определителей относятся к определителям любого порядка.

Каждый раз, заканчивая изложение этой лекции, первой по курсу математики для студентов-технологов и конструкторов факультета ТШП, я с удовольствием вспоминаю, что большинство студенток(ов), осмысливая ее содержание, осознавали, что вычисление определителей при помощи разложения по элементам столбца или строки можно упростить, если предварительно преобразовать этот определитель, используя свойство 8. Умножая элементы столбцов или строк на некоторый множитель и прибавляя их затем к соответствующим элементам других столбцов или строк, они добивались того, чтобы некоторые из элементов полученного определителя оказывались равными нулю. Выполняя самостоятельную работу №1, в которую включено вычисление определителя четвертого порядка, они трехкратным применением такой операции получали определитель, равный данному, но у которого три элемента одного столбца(или одной строки) оказывались равными нулю. Таким образом, вычисление сводилось к подсчету лишь одного минора третьего порядка, так как три других минора умножались на элементы, равные нулю.

Вот как излагает ход мысли Лена Гладкова (КШ-062), вычисляя определитель (пример 4).

D =	3	-3	-2	-5
	2	5	4	6
	5	5	8	7
	4	4	5	6

Произведем следующие действия:

1. Из элементов первого столбца вычтем элементы второго столбца, получим:

	6	-3	-2	-5
D =	-3	5	4	6
	0	5	8	7
	0	4	5	6

2. К элементам первой строки прибавим удвоенные элементы второй строки:

	0	7	6	7
D =	-3	5	4	6
	0	5	8	7
	0	4	5	6

3. Разложим этот определитель по элементам первого столбца:

		7	6	7
D = (-1) . (-3) .		5	8	7
		4	5	6

4. Из элементов первой строки вычтем элементы второй строки:

	2	-2	0
D = 3 .	5	8	7
	4	5	6

5. К элементам второго столбца прибавим элементы первого столбца:

	2	0	0
D = 3 .	5	13	7
	4	9	6

6. Разложим этот определитель по элементам первой строки:

	13	7
			D = 3 . 2 .		9	6	= 6 . (13 . 6-7. 9) = 6 . 15 = 90

Все бы так!

В следующих лекциях я продолжу знакомить вас с мастерством моих учениц, проявленных при выполнении различных упражнений самостоятельной работы № 1.

Лекция 2.