82

Лекции по основам интегрального исчисления функций одной переменной и обыкновенным дифференциальным уравнениям

Лекция 1.

Неопределенный интеграл и его свойства

1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла

Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. Разнообразные вопросы математического анализа и его многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике приводят к обратной задаче: по данной функции f(x)найти такую функциюF(x), производная которой была бы равна функцииf(x),т.е.F'(x) = f(x). Восстановление функции по известной производной этой функции – одна из основных задач интегрального исчисления.

Определение 1.Дифференцируемая функцияF(x),определенная на некотором промежуткеX, называется первообразной (для, от) функцииf(x),определенной на том же промежутке, если во всех точках этого промежутка выполняется равенство

F'(x) = f(x)

(1)

или, что то же самое,

dF(x)=f(x)d(x)

(2)

Пример 1.ФункцияF(x)=х³является первообразной функцииf(x)= 3х²на всей числовой оси, так как при любомx(х³)' = 3х² .Нетрудно заметить, что первообразнаях³ не является единственной для функции 3х². В самом деле, в качестве первообразной можно было бы взять и функциих³ + 8,х³– 4 и, вообще,х³+С, где С – произвольная постоянная, потому, что (х³+С)' = 3х².

Покажем, что множество функций F(x)+ С, гдеF(x)- некоторая первообразная для функцииf(x),а С – произвольная постоянная, исчерпывает все первообразные для этой функции.

Лемма.

Функция, производная которой на некотором промежутке Xравна нулю, постоянна на этом промежутке.

Доказательство:

Пусть во всех точках промежутка Xпроизводная функцииf(x)равна нулю, т.еf '(x) = 0. Для любых двух точекх₁,х₂Xпо теореме Лагранжа получаем:

f(x2) – f(x1) = ,

х1х2

Так как f '() = 0, тоf(x₂) = f(x₁).Это и означает, что значения функции во всех точках промежутка одинаковы, т.е.f(x)= С, где С – некоторое число.

Теорема.

Если F₁(x) и F₂(x)- две первообразные дляf(x) в некотором промежутке, то разность между ними в этом промежутке равна постоянному числу.

Доказательство:

Пусть, например, указанный промежуток – интервал а;b. Из определения первообразной имеем:F₁'(x) = f(x)иF₂'(x) = f(x)для любогоха;b.

Пусть  (х) =F₂(x) - F₁(x).Тогда для любогохиза;b

'(х) = F₂'(x) - F₁'(x) = f (x) – f (x)= 0.

Следовательно, согласно лемме, (х)С.

Подчеркнем важный факт: если производная для функции одна, т.е. операция дифференцирования однозначна, то нахождение первообразной для функции возможно лишь с точностью до некоторого постоянного слагаемого.

Определение 2. Совокупность всех первообразных для функцийf(x),определенных на некотором промежуткеX, называется неопределенным интегралом от функцииf(x)на этом промежутке и обозначается символом(читается: "интеграл от эф от икс де икс").

Таким образом, по определению,

,

(3)

если F'(x) = f(x).

Значит, чтобы найти неопределенный интеграл от заданной функции, нужно найти какую-нибудь одну ее первообразную и прибавить к ней произвольную постоянную С.

Наличие этой постоянной делает задачу нахождения функции по ее производной не вполне определенной. Отсюда происходит само название “неопределенный интеграл”.

Определение 3. Нахождение первообразной для данной функцииf(x)называется интегрированием функцииf(x).

Определение 4. Функцияf(x)называется подынтегральной функцией,f(x)dх– подынтегральным выражением,х- переменной интегрирования, символ ∫ - знаком неопределенного интеграла, С – постоянной интегрирования.

Пример 2. Найти .

 Так как x³ =, то функцияF(x)= является одной из первообразных для функцииf(x)=x³. Поэтому

= +С.

Слово “интеграл” происходит от латинского “integer”, что означает “восстановленный”. Интегрируя какую-нибудь функцию, в примере 2 функциюx³, мы как бы восстанавливаем функцию, производная которой равнаx³.

Определение 5. y

Н

азовем график какой-либо первообразнойу= F(x)

функцииf(x)интегральной кривой.

Т

x

огда геометрически неопределенный интеграл

представляет собой семейство интегральных кривых, каждая

из которых получается из любой другой кривой

параллельным переносом вдоль оси Оу.

Отметим без доказательства, что если функция f(x)непрерывна на некотором

промежутке X, то на этом промежутке существует первообразная функцииf(x),а следовательно, и неопределенный интеграл (теорема Коши).