лекция 01

11

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ДИЗАЙНА И ТЕХНОЛОГИИ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО РАЗДЕЛУ «ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ»

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Утверждено в качестве учебного пособия

Редакционно-издательским советом МГУДТ

МГУДТ 2007

УДК 51(075.8)

Р 69

Куратор РИС Морозова Т.Ф.

Автор Романов Ю. И.

69 Романов Ю. И. Конспект лекций по разделу «определители и матрицы». Изложены свойства определителей и матриц, рассмотрено их применение к решению систем линейных уравнений и матричных уравнений.

Для студентов первых и вторых курсов различных специальностей МГУДТ.

Романов Ю. И. – М.ИИЦ.МГУДТ.2007-50 С.

УДК 51 (075.8)

© Московский государственный

университет дизайна и технологии

2007.

Лекция 1. Элементы теории определителей и матриц

Определители. Их свойства. Методы вычисления определителей

Под определителем (детерминантом) D (или ) второго порядка понимается выражение:

D =	a11	a12	= a11 . a22 - a12 . a21 (1)
	a21	a22

Числа а₁₁, а₁₂, а₂₁ и а₂₂ называются элементами определителя. Они расположены в двух строках и двух столбцах (рядах определителя). Индексы обозначают место элемента в определителе. Первый из них указывает строку, в которой находится элемент, а второй - столбец. Так, элемент а₂₁ расположен во второй строке, первом столбце. Диагональ, содержащую элементы а₁₁ и а₂₂ называют главной, а диагональ с элементами а₁₂ и а₂₁ - побочной.

Согласно формуле (1) , определитель второго порядка равен разности попарных произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Пример 1.

2	5	= 2 . (-4) - 5 . (-3) = -8 + 15 = 7
3	-4

Определитель третьего порядка содержит три строки, три столбца и записывается так:

a11	a12	a13
a21	a22	a23	=
a31	a32	a33

a₁₁ ^. a₂₂ ^. a₃₃+a₂₁ ^. a₃₂ ^. a₁₃ + a₁₂ ^. a₂₃ ^. a₃₁ + a₁₃ ^. a₂₂ ^. a₃₁ –a₁₂ ^. a₂₁ ^. a₃₃+ +a₁₁ ^. a₂₃ ^. a₃₂ (2)

При его вычислении удобно пользоваться правилом треугольников (правилом Саррюса). Рассмотрим схему:

a11	a12	a13		a11	a12	a13
a21	a22	a23		a21	a22	a23
a31	a32	a33		a31	a32	a33

+ -

Три положительных члена определителя представляют собой произведения элементов главной диагонали (а₁₁ ^. а₂₂ ^. а₃₃) и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали (а₁₂ ^. а₂₃ ^. а₃₁ и а₂₁ ^. а₃₂ ^. а₁₃). Три отрицательных его члена есть произведения элементов побочной диагонали (а₁₃ ^. а₂₂ ^. а₃₁) и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали (а₁₁ ^. а₂₁ ^. а₃₃ и а₁₁ ^. а₂₃ ^. а₃₂).

Это правило позволяет легко записать формулу (2) и вычислить данный определитель.

Пример 2.

3	-2	1
-2	1	3	=
2	0	-2

3 ^. 1 ^. (-2) + (-2) ^. 3 ^. 2 + (-2) ^. 0 ^. 1 + 2 ^. 1 ^. 1 – 3 ^. 0 ^. 3 - (-2) ^. (-2) ^. (-2) = -12

Свойства определителей

Сформулируем их для определителя третьего порядка, хотя они присущи определителям любого порядка.

Свойство 1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить его столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером, т.е.

а11	а12	а13		а11	а21	а31
а21	а22	а23	=	а12	а22	а32
а31	а32	а33		а13	а23	а33

Свойство 2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1.

Например,

а11	а12	а13		а13	а12	а11
а21	а22	а23	= -	а23	а22	а21
а31	а32	а33		а33	а32	а31

Для доказательства этих свойств достаточно применить правило треугольников к левым и правым частям определителя и сравнить полученные результаты.

Свойство 3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

В самом деле, при перестановке двух одинаковых столбцов определитель D не изменится, а в силу свойства 2 его знак должен измениться. Следовательно, D= -D, откуда 2D=0, т.е. D=0.

Свойство 4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k.

Иначе это свойство можно высказать так: общий множитель всех элементов одного столбца или одной строки определителя можно вынести за знак определителя.

Например,

а11	а12	а13		а11	а12	а13
kа21	kа22	kа23	= k	а21	а22	а23
а31	а32	а33		а31	а32	а33

Свойство 5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то определитель равен нулю.

Это свойство является частным случаем предыдущего (при k=0)

Свойство 6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Убедитесь самостоятельно, что это свойство следует из свойств 4 и 3.

Свойство 7. Если каждый элемент n-го столбца (или n-ой строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-ом столбце (или соответственно в n-ой строке) имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же.

Например,

а11	а12’ + а12’’	а13		а11	а12’	а13		а11	а12’’	а13
а21	а22’ + а22’’	а23	=	а21	а22’	а23	+	а21	а22’’	а23
а31	а32’ + а32’’	а33		а31	а32’	а33		а31	а32’’	а33

Особое внимание прошу обратить на следующее свойство, имеющее важное значение для вычисления определителей.

Свойство 8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится.

Это свойство вытекает из свойств 7 и 6. Действительно, пусть, например, к элементам первого столбца прибавлены элементы второго столбца, умноженные на некоторое число k. Тогда, согласно свойству 7, имеем:

а11+kа12	а12	а13		а11	а12	а13		kа12	а12	а13
а21+kа22	а22	а23	=	а21	а22	а23	+	kа22	а22	а23
а31+kа32	а32	а33		а31	а32	а33		kа32	а32	а33

Второй из полученных определителей равен нулю. Приходим к равенству:

а11+kа12	а12	а13		а11	а12	а13
а21+kа22	а22	а23	=	а21	а22	а23
а31+kа32	а32	а33		а31	а32	а33

Используя свойство 8, можно получить треугольный опреде-литель, у которого все элементы, лежащие выше (или ниже) главной диагонали, - нули. Он равен произведению элементов главной диагонали:

а11	0	0		а11	а12	а13
а21	а22	0	=	0	а22	а23	=
а31	а32	а33		0	0	а33

= a₁₁ ^. a₂₂ ^. a₃₃

Для формулировки следующих свойств определителя познакомимся с понятием минора и алгебраического дополнения.

Пусть а_ij, где индекс i и j меняются от 1 до n - элемент определителя n-го порядка D= |а_ij|.

Минором М_ij элемента а_ij называется такой новый определитель, который получается из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Например, минор М₁₂, соответствующий элементу а₁₂ определителя (2), получается, если вычеркнуть первую строку и второй столбец, т.е.

	а11	а12	а13
М12 =	а21	а22	а23	=	а21	а23
	а31	а32	а33		а31	а33

Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятого со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если это число - нечетное. Более кратко можно сказать, что алгебраическим дополнением элемента а_ij определителя D называется минор М_ij этого элемента, взятый со знаком (-1) в степени i + j. Его принято обозначать А_ij. Таким образом,

Аij = (-1) i+j . Mij

(3)

Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, следует рассмотреть алгебраические дополнения всех элементов определителя и сравнить их с минорами.

Пример 3. Найти алгебраические дополнения элементов а₁₃, а₂₁, а₃₁ определителя

			-1	2	3
		D=	2	0	-3
			3	2	5
А13 = (-1)1+3 .		2	0	=	2	0	= 4 - 0 = 4
		3	2		3	2
А21 = (-1)2+1 .		2	3	= -	2	3	=- (10 - 6) =-4
		2	5		2	5
А31 = (-1)3+1 .		2	3	=	2	3	= -6 - 0 = - 6
		0	-3		0	-3