Z2SEM

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ДИЗАЙНА И ТЕХНОЛОГИИ

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

А.А.ГОРСКИЙ, И.Г.КОЛПАКОВА

ПОСОБИЕ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ для студентов-заочников

(1 курс, 2 семестр)

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Утверждено в качестве учебного пособия Редакционно-издательским советом МГУДТ

МГУДТ 2007

1

УДК 519

Г71

Куратор РИС

А.С.Козлов

Работа рассмотрена на заседании кафедры высшей математики и рекомендована к печати.

Зав. кафедрой	А.А.Горский
д.т.н., проф.
Авторы:	А.А.Горский, д.т.н.,
	И.Г.Колпакова, к.ф.-м.н.
Рецензент:	А.В.Мотавкин, д.ф.-м.н., проф.

Г71 Горский А.А., Колпакова И.Г. Пособие по курсу математики для студентов-заочников (1 курс, 2 семестр): Учебное пособие/ Горский А.А.

идр.-ИИЦ МГУДТ. 2007 - 65 с.

Впособии кратко изложен теоретический материал и приведены практические задания для заочников, изучающих курс математики во втором семестре первого курса обучения.

УДК 519

°c Московский государственный университет

дизайна и технологии, 2007

2

ВВЕДЕНИЕ

Данное пособие содержит основной теоретический материал по теме “Интегральное исчисление”, который необходим студентам 1-го курса во втором семестре. По всем разделам теории приведены подробно разобранные примеры решения типовых задач. В конце пособия имеется справочный материал и варианты заданий:

²Приложение 1 Приведены основные формулы дифференцирования и интегрирования (дополнительно можно пользоваться формулами, выделенными в тексте пособия рамочками).

²Приложение 2 содержит набор заданий, которые могут использоваться для проведения практических занятий со студентами-заочниками.

²Приложение 3 Варианты индивидуальных заданий для студентовзаочников.

3

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Операция вычисления неопределенного интеграла – операция, обратная операции дифференцирования. Иногда неопредел¸н-

ный интеграл называется первообразной.
Для функции f(x) неопределенный интеграл
F (x) = Z	f(x) dx	(1)

есть такая функция, производная от которой равна f(x):

	dF (x)	= f(x):		(2)
	dx
СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
² Интеграл от суммы равен сумме интегралов
Z [f1(x) + f2(x)] dx = Z			f1(x) dx + Z	f2(x) dx:

²При умножении подынтегральной функции на постоянную величину интеграл умножается на эту постоянную. Другими словами,

постоянную величину можно выносить за знак интеграла

ZZ

Af(x) dx = A f(x) dx:

²У любой функции существует бесконечное число первообразных. Все они отличаются друг от друга на постоянные величины

F1(x) = F (x) + C;

поэтому обычно пишут

Z

f(x) dx = F (x) + C;

понимая, что F (x) – одна из первообразных.

² Интеграл от производной некоторой функции f(x) равен этой функции (плюс произвольная постоянная)

Z

f0(x) dx = f(x) + C:

4

² Производная от интеграла равна подынтегральной функции

µZ ¶0

f(x) dx = f(x):

²Дифференциал от интеграла равен подынтегральному выражению, представляющему, в свою очередь, дифференциал

Z
d fx) dx = f(x)dx:	(3)

Свойство (3) позволяет объяснить смысл и обозначение интеграла. Дифференциал, это приращение функции (с точностью до бесконечно малых высших порядков, т.к. дифференциал и приращение – эквивалентные бесконечно малые величины). Выражение в правой части (3)

– это дифференциал некоторой функции, а сама функция равна сумме приращений, т.е., практически, дифференциалов. Знак интеграла, это стилизованная буква S и означает операцию суммирования бесконечно малых (дифференциалов):

Z		f(x) dx
|{z}	|		{z		}
Знак	Дифферен-
суммы	циал

ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Несложно продифференцировать любую функцию, заданную своим аналитическим выражением.

Проблема интегрирования значительно сложнее. Существуют функции, интеграл от которых принципиально непредставим аналитическим выражением из известных функций. В этом случае интеграл представляет новую, не известную в элементарной математике функцию.

Обычно в инженерной практике используют содержащиеся в справочниках таблицы интегралов и, в простейших случаях, методы интегрирования, излагаемые ниже.

В случае, если интеграл вычислить не удалось, и в таблице он не найден, прибегают к специальным численным методам.

Простейшая таблица интегралов (Табл.3 Приложения 1) представляет обращение таблицы производных. Этой таблицы для непо-

5

средственного решения практических задач недостаточно. Она используется в конце процедуры интегрирования, состоящей в проведении аналитических преобразований подынтегральной функции (например, разбиения е¸ на сумму более простых) и применении методов интегрирования заменой переменных и интегрированием по частям.

Пример 1.

Z		dx			= Z		sin2 x + cos2 x			dx
	sin2 x cos2 x							sin2 x cos2 x
	1				1
= Z µ			+					¶ dx = tg x + ctg x + C
		cos2 x				sin2 x

. Метод замены переменных вытекает из свойства инвариантности диф-

ференциала	и	основан	на	использовании
формулы	Z	f(g(x))g0(x) dx = Z
где			f(t) dt;	(4)
		g(x) = t		(5)

Упражнение: покажите, что под знаком интеграла в левой и правой частях (4) стоит один и тот же дифференциал.

Соотношение (4) нужно понимать следующим образом. В левой части первообразная представляет функцию аргумента x, в правой – аргумента t. Но первообразные тождественно равны, поскольку переменные x и t связаны соотношением (5).

При использовании метода замены переменных пытаются найти функцию g(t), такую, что вычисляемый интеграл имеет форму левой части (4), а интеграл в правой части табличный, или считается другим способом.

Пример 2.

					cos x		sin x = t
		Z ctg x dx = Z				dx	Ãcos x dx = dt! =
					sin x
		= Z	t		= ln jtj + C = ln j sin xj + C
			dt
	Пример 3.
		sin x = t;					4			4
								t		sin x
	Z	sin3 x cos x dx Ãcos x dx = dt! =					Z t3 dt =		+ C =		+ C:
								4		4

6

Пример 4.

Z

ln

5 x dx

= Z ln5 x d(ln x) =

ln6 x

+ C:

x

6

Пример 5.

2x ¡ 3

Z

2 2x ¡ 3

j

¡ j

Z

2

dx

=

1

d(2x ¡ 3)

=

1

ln

2x

3 + C

Пример 6.

Z Z dx

x2 ¡ a2 =

R

dx

= ln jx § aj + C

x § a

1

(x + a) ¡ (x ¡ a)

dx =

2a (x + a)(x ¡ a)

a ¡ Z

x + a¶

2a

¯x + a

¯

x

2a µZ

¡

= 1

dx

= 1

ln

¯

x ¡ a

¯

+ C

dx

¯

¯

¯

¯

x2

¡

a2

2a

¯x + a

¯

Z

¯

x ¡ a

¯

dx

=

1

ln

+ C

¯

¯

Пример 7.

Z

¯

Z

¯

¢

Z

1

a

1

a

¡

x

1

dx

dx

d

x

=

=

a

=

arctg

+ C

x2 + a2

a2

¡

x

¢

2

a

¡

x

2

a

a

+ 1

¢

+ 1

Z

dx

1

x

=

arctg

+ C

x2 + a2

a

a

Пример 8.

1

d

x

dx

dx

x

Z

p

=

Z

= Z

¡a ¢x

= arcsin

+ C:

a

1

¢

a

a2

x2

1

x

2

2

¡

q

¡ ¡a ¢

q

¡ ¡a

Z

p

dx

x

= arcsin

+ C:

a

Пример 9.

a2 ¡ x2

§ a2

Z

§ a2

j

§

j

Z

x2

2

x2

2

x dx

=

1

d(x2

§ a2)

=

1

ln x2

a2

+ C

Z

x dx

1

=

ln jx2 § a2j + C

x2 § a2

2

7

Пример 10.

§

§

p

Z

Z

x dx

1

d(x2

a2)

p

=

p

§

= x2 § a2 + C

2

x2

a2

x2

a2

Z

x dx

p

= px2 § a2 + C

Пример 11.

x2 § a2

tg

x

= t

0

2

1

= Z

dx

dx =

2 dt

dt

x

+ C

Z sin x

B

1 + t2 C

t = ln jtj + C = ln tg

2

¯

B

C

¯

B

2t

C

¯

¯

Bsin x =

C

¯

¯

B

1 + t

C

@

A

Z

dx

x

¯

+ C

sin x = ln tg

2

¯

используются, поэтому их мож-

Выделенные рамкой интегралы¯

часто¯

¯

¯

но рассматривать как табличные.

МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ

Метод основан на использовании формулы дифференцирования произведения функций

(u(x)v(x))0 = u0(x)v(x) + u(x)v0(x)

и заключается в равенстве

или

Z

u(x)v0(x) dx = u(x)v(x) ¡ Z

u0(x)v(x) dx;

Z

Z

u dv = uv ¡

v du:

Пример 12.

= Z x

µdx 2 ¶ dx =

Z xe2x dx

0dv = e2xdx; v = 1e2x1

u = x; du = dx

d e2x

@

A

= 2

¡ Z e2 dx = x

¡ 4 + C:

2

2

xe2x

2x

e2x

e2x

8

Пример 13.

1

= x3

x3 dx =

x2 ln x dx

0 u = ln x; du = x3

ln x

Z

dx

¡ Z

C

2

dx;

v =

x

3

3

x

Bdv = x

3

@

A

x3

x3

=

ln x ¡

+ C

3

9

ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

Дробно рациональной называется функция, представляющая отношение многочленов. Метод разложения на простые дроби позволяет представить такую функцию в виде суммы простых дробей. Это оказывается полезным не только для интегрирования, но и в некоторых других задачах. В задаче интегрирования, разложив дробь на простые, интегрируют последние, в результате интеграл получается в виде суммы нескольких интегралов.

Дробно рациональная функция

Q(x)=	Pm(x)	; (6)
	(x¡x1)k1 : : : (x¡xs)ks (x2+p1x+q1)l1 : : : (x2+prx+qr)lr

где Pm(x) – произвольный многочлен, степень которого ниже степени знаменателя, может быть представлена в виде суммы простых дробей

k1

Ai1

ks

Ais

Q(x) = i =1

+ ¢ ¢ ¢ +

+

(x

¡

x1)i1

=1 (x

¡

xs)is

(7)

X1

iXs

l1

lr

X1

Bj1 x + Cj1

+ ¢ ¢ ¢ +

jXr

Bjr x + Cjr

+ j =1

(x2 + p1x + q1)j1

=1 (x2 + prx + qr)jr

;

где A; B; C – постоянные коэффициенты. Для их определения выражение (7) приводится к общему знаменателю и из сравнения числителя полученного выражения с числителем исходной дроби (6) получается система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов A; B; C, решая которую, находим искомые коэффициенты. Система уравнений получается потому, что числители должны совпадать тождественно и, поэтому, коэффициенты при одинаковых степенях x должны быть равны друг другу.

Пример 14.

9

Для вычисления интеграла

Z x dx

x3 + 1

подынтегральную функцию представляем в виде:

	x		=	x		=	A		+	Bx + C
	x3 + 1			(x + 1)(x2 ¡ x + 1)			x + 1			x2 ¡ x + 1

Приводя к общему знаменателю, получаем из условия тождественного равенства числителей в левой и правой части:

x = A(x2 ¡ x + 1) + (Bx + C)(x + 1);

или,раскрывая скобки,

x ´ A(x2 ¡ x + 1) + (Bx + C)(x ¡ 1);

или

x ´ (A + B)x2 + (B + C ¡ A)x + A + C:

Для того, чтобы это тождество выполнялось, необходимо, чтобы коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой частях совпадали, то есть выполнялась система линейных уравнений:

A + B = 0;

B+ C ¡ A = 1; A + C = 0:

Решая эту систему, получаем A= ¡ 1=3; B=C=1=3, и
	x	= ¡	1	+		x + 1	:
	x3 + 1		3(x + 1)			3(x2 ¡ x + 1)

Вычисляемый интеграл раскладывается на два, интегрируемые известными

способами:

3 x + 1 + Z

¡ x + 1dx =

Z

x3

+ 1 = ¡ Z

3 x2

x dx

1 dx

1

x + 1

3 0

¡ 2

1

=

3 ln x + 1 +

3

(x

1 2

=

1

1

Z

+ 1)dx

x

1

= t

¡

j

j

@

dx = dtA

(x ¡

2 ) + 4

= ¡3 ln jx + 1j + 3 ¢ 2 Z

t2 + 43

+ 3 Z

t2 + 43 =

1

1

3

dt

1

t dt

=

¡

1

ln x + 1

j

+ 1

arctg

2x ¡ 1

+

1

ln

j

x2

¡

x + 1 + C:

3

j

p3

p3

6

j

10