ОЭТ / 4.1 Синусоидальный ток

Переменный ток

Переменным током называется ток, изменяющийся по величине и по направлению с течением времени.

Переменные токи могут быть различные по форме: прямоугольные, пилообразные, синусоидальные и т.п. (рис.1). Периодический ток — это переменный ток, изменения которого повторяются периодически через равные промежутки времени, назы­ваемые периодом (Т). Электротехника рассматривает процессы происходящие в электрических цепях под действием переменной синусоидальной ЭДС, а следовательно – переменные синусоидальные токи.

Рис.1. Периодические токи

Получение синусоидальной ЭДС

Рассмотрим проводник в виде рамки, равномерно вращающийся с угловой скоростью ω в магнитном поле против часовой стрелки (рис.2, а и б).

Рис.2, а

 б)

В сторонах 1 и 2 рамки наводятся ЭДС, т.к. они пересекают магнитные линии, поэтому:

е = 2Вlv·sin α.

где l – длина стороны 1 (2).

Угол между направлением скорости и направлением магнитного поля изменяется пропорционально времени: α = ωt.

При равномерном вращении рамки линейная скорость проводника не изменяется: v=ωD/2.

Угол  характеризует положение вращающейся рамки относительно плоскости, перпендикулярной направлению магнитной индукции. Поэтому ЭДС в рамке:

e = ВlDω·sinωt.

В момент начала отсчета α=0º и =0º, проводник движется вдоль линий магнитного поля и ЭДС равна нулю. При α= ωt = 90º ЭДС максимальна:

Еm = ВlDω= 2Вlv.

Тогда ЭДС: e = Еm·sinωt.

Если значение индуктированной ЭДС будет отложено по вертикальной оси, а угол поворота рамки (фазу)  по горизонтальной оси, то построим график зависимости ЭДС от времени (рис.3).

Рис.3.

Рис.4

Если к рамке подключить нагрузку R, то под действием ЭДС через нее будет протекать ток (рис.4): i = e/R = Imsin = Imsinωt, где амплитудное значение тока Im = Еm/R.

Величины, кото­рые полностью характеризуют переменный ток, т.е. дают полное представление о нем, называются параметрами переменного тока.

Амплитудным значением (амплитудой) называется наи­большее значение переменного тока, которого он достигает в про­цессе изменений. Амплитудные значения силы тока, напряжения и ЭДС обозначаются соответственно I_m, U_m, E_m.

Мгновенным значением называется значение переменного тока в любой момент времени. Мгновенные значения силы тока обозна­чаются буквой i, напряжения — буквой u, ЭДС — буквой е.

i = I_m·sinωt; u = U_m·sinωt; e = E_m·sinωt.

Периодом T называется вре­мя, за которое происходит пол­ное изменение переменного тока: Т = 1/f . Частотой f называется чис­ло периодов в 1 с: f=1/Т. Частота, рав­ная одному периоду за 1 с, называется герцем.

Угловая частота ω (угловая скорость) характеризуется углом поворота ротора (α) генератора в единицу времени (t). Для двухполюсного генератора время одного оборота рамки равно Т и можно записать:

ω = 2π/Т; ω = 2πf; ω = 360/Т.

Если генератор имеет Р пар полюсов, то за один оборот произойдет Р периодов изменения ЭДС. Тогда

ω = 2π/рТ; ω = 2πрf; ω = 360/Т.

При f=50 Гц и частоте вращения ротора n=75 об/мин число пар полюсов

р = 60f/n = 60·50/75 = 40.

Если вращать в магнитном поле не одну, а несколько одинако­вых рамок, жестко скрепленных между собою под некоторыми уг­лами, то ЭДС, индуктируемые в рамках, будут отли­чаться друг от друга только тем, что они будут достигать од­ноименных значений не одновременно, а в различные моменты времени. В этом случае говорят, что си­нусоидальные величины не совпадают по фазе, между ними есть сдвиг фаз. Такие синусоидальные величины в начальный момент вре­мени (t = 0) будут иметь разные значения.

Если синусоидальные величины имеют одинаковую частоту, но одноименных значений достигают в различные моменты времени, то они не совпадают по фазе, между ними есть сдвиг фаз (рис.5).

Рис.5

Уравнения синусоидальных величин, сдвинутых по фазе, имеют вид:

i₁ = I_msin(ωt + Ψ₁), i₂ = I_msin(ωt - Ψ₂).

Угол, определяющий значение синусоидальной величины в на­чальный момент времени (при t=0), называется начальной фазой.

В этих уравнениях углы φ₁ и φ₂ являются начальными фаза­ми. Угол сдвига фаз φ равен разности начальных фаз (с учетом знака):

φ = Ψ₁ + Ψ₂.

Угол, определяющий значение синусоидальной величины в данный момент времени, называется фазой. Он отсчитывается от ближайшей предшествующей точки перехода ЭДС через нуль к положительному значению. Для первого тока фазой является угол (ωt + Ψ₁), а для i₂  угол (ωt + Ψ₂).

Будем считать опережающим тот ток, максимум которого лежит левее, при условии φ  π (т.е. ток i₂ опережает по фазе i₁).

Пример записи уравнений тока при Im = 5A:

i₁ = 5 sin(ωt - 25º), i₂ = 5 sin(ωt + 90º), φ = Ψ₁ + Ψ₂ = 115º.

Действующее значение переменного тока равно такому постоянному току, который за один период выделяет на данном резисторе одинаковое количество теплоты с переменным током. Найдем соотношение между действующим и амплитудным значениями переменного тока.

Количество теплоты, выделяемое переменным и постоянным током

Q_ = I²RT; Q_ = .

Приравняем эти выражения и получим: I²RT = .

Сократив на R и учтя, что i = I_msinωt, найдем выражение для действующего значения тока

.

После интегрирования получим выражение для действующего значения переменного тока (рис.6): I = Im/ = 0,707 Im. Тогда Im = I.

Рис.6

Действующее значение переменного тока меньше его амплитуды в раза.

Средним значением переменного тока называется среднее арифметическое из всех мгновенных значений за полупериод. Для синусоидального тока

I_C = 2I_m/π.

Пример.

Переменный электрический ток задан уравнением i = 100 sin(628 - 60º). Это значит, что амплитудное значение I_m = 100 А, угловая частота ω = 626 рад/с и начальная фаза Ψ=60º.

Период Т = 2π/ω = 2·3,14/628 = 0,01 с.

Частота f=1/Т = 1/0,01 = 100 Гц.

Действующее значение переменного тока I = 0,707I_m = 0,707·100 = 70,7 А.

Среднее значение переменного тока I_C = 2I_m/π = 2·100/3,14 = 63,7 А.

Мгновенные значения тока найдем из уравнения i = I_msin(ωt - Ψ), подставив в него соответствующее время:

при t = 0 i₀ = 100 sin(-60º) = -86,5 А;

при t₁= 0,152 с i₁ = 100sin[628·0,152·(360º/2π) - 60º] = 100sin[15,2·360º-60º] = 100 sin(72º - 60º) = 100 sin 12º = 20,8 А.

Синусоидальная величина через 360º повторяется, поэтому мгновенный ток при угле ωt₁ = 15,2·360º = 5742º будет таким же, как и при угле 0,2·360º=72º.