ОЭТ / 4.4 Индуктивное сопротивление

Цепь переменного тока с индуктивностью

Рис.1

В цепи отсутствуют активное сопротивление и емкость, а имеется только индуктивность L (рис.1). При прохождении по такой цепи тока i=Im·sinωt в цепи возникает ЭДС самоиндукции e = -L , прямо пропорциональная скорости изменения тока.

При синусоидальном изменении тока наи­большая скорость его будет в момент прохождений тока через ну­левые значения, и ЭДС в эти моменты будет наибольшая (рис.2). При наи­большем значении тока 1_m скорость его изменения равна нулю и ЭДС в эти моменты времени будет равна нулю. Согласно правилу Ленца ЭДС самоиндукции препятствует всякому изменению тока, благо­даря чему в моменты нарастания тока она всегда действует на­встречу току (ток и ЭДС будет иметь разные знаки). В моменты убывания тока ЭДС действует в том же направлении, что и ток (ток и ЭДС будут иметь одинаковые знаки).

Согласно второму закону Кирхгофа:

u + e_L = iR.

Так как R=0, то u + e_L=0, тогда u = - e_L, т.е. приложенное к катушке напряжение уравновешивается ЭДС. Так как e = - , и i=I_m·sinωt, то

u = = I_mωLcosωt.

При cosωt =1 напряжение будет максимальным, т. е. U_m = I_mωL и значение напря­жения в любой момент времени можно записать так:

u = U_mcosωt = U_msin(ωt+π/2),

т. е. в чисто индуктивной цепи напряжение опережает ток по фазе на четверть периода. Тогда ЭДС будет противоположна по фазе напря­жению и отставать по фазе от тока на четверть периода:

e_L = Е_msin(ωt-π/2).

Так как U_m = I_mωL, то разделив на , получим U = IωL. Тогда по закону Ома для действующих значений можно записать

I = U/ ωL = U/X_L

г де X_L = ωL = 2πfL называется индуктивным сопротив­лением (Ом=В/А).

Зависимость индуктивного сопротивления от частоты показана на рис.2. С увеличением частоты f индуктивное сопротивление увеличивается.

Рис.2.

На рис.3 приведены графики тока, ЭДС самоиндукции, напряжения, и изображена векторная диаграмма тока, ЭДС и напряжения чисто индуктивной цепи.

Рис.3

Мгновенная мощность равна произве­дению мгновенного значения тока на мгновенное значение напря­жения, т. е.

р = U_msin(ωt+π/2) I_m·sinωt = U_m I_mcosωtsinωt = sin2ωt.

Из уравнения мгновенной мощности видно, что в этой цепи мощность бывает положительной и отрицательной и изменяется с удвоенной частотой.

В первую четверть периода ток в цепи увеличивается и энергия накапливается в магнитном поле катушки за счет энергии источника, ток направлен против ЭДС самоиндукции (рис.4).

Рис.4

В вторую четверть периода ток уменьшается и энергия возвращается в сеть (к источнику). Направления ЭДС самоиндукции и тока совпадают – катушка является источником энергии. Средняя площадь за период равна нулю, что означает, что в этой цепи нет расхода энергии, а есть только обмен энергией между источником и потребителем. Таким образом катушка не потребляет электроэнергию и активная мощность Р = 0.

Таким образом, мощность в цепи с индуктивностью колеблется между источником и магнитным полем катушки, загружая источник и провода. Количественной характеристикой интенсивности обмена энергией между катушкой и источником служит реактивная мощность, единица измерения которой Вар (вольт-ампер реактивный):

Q = UI = I²ωL.

Пример. Катушка имеет индуктивность L = 15,9 мГн и R=0. Если действующее напряжение 100 В, то индуктивное сопротивление, ток и мощность:

f, Гц	5	50	100	500
XL, Ом	0,5	5	10	50
I, А	200	20	10	2
Q, ВАр	20 000	2 000	1 000	200

Последовательное соединение индуктивности и активного сопротивления

При последовательном соединении активного сопротивления R и индуктивности L ток во всех участках цепи один и тот же и равен I ампер (рис.5).

Рис.5

При прохождении по такой цепи тока i=Im·sinωt напряжение на сопротивлении совпадает по фазе с током uR=Um·sinωt. Напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на четверть периода uL =Umsin(ωt+π/2). Используя второй закон Кирхгофа, запишем u = uR + uL

Построим векторную диаграмму, обозначив напряжение на сопротивлении U_R = IR и напряжение на индуктивности  U_L. Откладываем вектор тока I, затем вектор напряжения U_R, совпадающий по фазе с вектором тока. С конца вектора U_R проводим вектор U_L перпендикулярно вектору тока. Соединим начало вектора U_R с концом вектора U_L, получив вектор суммарного напряжения U. Полученный треугольник называется треугольником напря­жений (рис.6 ,а).

Рис.6

При последовательном соединении активного сопротивления R и индуктивности L общее напряжение опережает по фазе ток на угол φ, причем 0φ>π/2.

Из треугольника напряжений суммарное напряжение

U= =

Отношение действующего напряжения данной цепи к действующему току называется полным сопротивлением цепи Z, следовательно

Z = U/I = .

Если стороны треугольника напряжений разделить на ток I, то получим треугольник сопротивлений (рис. 6,б). Из треугольника сопротивлений следует:

R = , X_L = , cos φ = R/Z, sin φ = X_L/Z, tg φ = X_L/R.

Если стороны треугольника напряжений умножить на ток I, то получим треугольник мощностей (рис.6 ,в).

Активная мощность характеризует расход энергии на активном сопротивлении

Р = U_R I = I²R = S cos φ = UI cos φ (Вт).

Реактивная мощность характеризует интенсивность обмена энергией между индуктивностью и источником

Q = U_L I = I²X_L = S sin φ (Вар).

Полная мощность цепи

S = UI = I²Z = (Вт).

Множитель cos φ называется коэффициентом мощности. Он характеризует степень использования энергии потребителем:

cos φ = Р/S.

Рис.7

Мгновенная мощность равна произве­дению мгновенного значения тока i=Imsinωt на мгновенное значение напря­жения u=Umsin(ωt+φ): р = ui = Umsin(ωt+φ) Im·sinωt = U Icosφ - U Icos(2ωt + φ). Мгновенное значение мощности колеблется около постоянного уровня P=UIcosφ.

На рис.7 приведены графики тока, напряжения, мощности. Отрицательная часть графика мощности определяет энергию, которая переходит от источника к индуктивности и обратно.

Рис.8

При последовательном соединении (рис.8): RΣ = R1 + R2; LΣ = L1 + L2

Пример. Катушка имеет индуктивность L = 15,9 мГн и R=10 Ом. Если действующее напряжение 100 В, то:

f, Гц	5	50	100	500
XL, Ом	0,5	5	10	25
R, Ом	10	10	10	10
Z, Ом	10,012
I, А	9,99
Q, ВАр	49,80
Р, Вт	997,51
S, Вт	998,76
cos φ	1,00
UR, В	99,88
UL, В	4,99