ОЭТ / 4.5 Последовательное RLC

Последовательное соединение активного сопротивления, индуктивности и емкости

Рис.1

Цепь с последовательным соединением активного сопротивления, индуктивности и емкости является последовательным колебательным контуром (рис.1). При прохождении по такой цепи тока i=Im·sinωt на каждом элементе создается падение напряжения:

u_R = U_Rmsinωt; u_L = U_Lmsin(ωt+π/2); u_C = U_Cmsin(ωt-π/2).

I). Рассмотрим свойства цепи при X_L>X_C.

Построим векторную диаграмму напряжений(рис2,а). Для построения векторной диаграммы находим:

U_R =IR; U_L = IX_L; U_C = IX_C.

Так как X_L>X_C, то U_L>U_C. Откладываем вектор тока I, затем вектор напряжения U_R, совпадающий по фазе с вектором тока. С конца вектора U_R проводим вектор U_L перпендикулярно вектору тока. С конца вектора U_L проводим вектор U_С и получаем результирующий вектор U_Х - реактивное напряжение.

Векторы реактивных составляющих напряжения направлены по одной прямой в противоположные стороны, поэтому им придают разные знаки: реактивное напряжение индуктивности U_L считают положительным, а напряжение емкости U_C – отрицательным.

Соединим начало вектора U_R с концом вектора U_Х, получив вектор суммарного напряжения U.

Рис.2

Разность индуктивного и емкостного падений напряжений называется реактивным напряжением:

U_Х = U_L - U_C = IX_L - IX_C = I(X_L - X_C) = IX.

Разность индуктивного и емкостного сопротивлений называется реактивным сопротивлением:

X = U_Х/I = X_L - X_C.

Из треугольника напряжений суммарное напряжение

U= =

Закон Ома для общего случая последовательного соединения:

Полное сопротивление цепи Z:

Z = U/I =

При условии, что X_L>X_C, полное сопротивление цепи носит индуктивный характер и общее напряжение опережает по фазе ток на угол φ, причем 0φ>π/2.

Если стороны треугольника напряжений разделить на ток I, то получим треугольник сопротивлений (рис. 2,б). Из треугольника сопротивлений следует:

R = , X = , cos φ = R/Z, sin φ = X/Z, tg φ = X/R.

Если стороны треугольника напряжений умножить на ток I, то получим треугольник мощностей (рис. 2,в).

Активная мощность характеризует расход энергии на активном сопротивлении

Р = U_R I = I²R = S cos φ = UI cos φ.

Реактивная мощность характеризует интенсивность обмена энергией между индуктивностью и источником

Q = U_Х I = I²X = S sin φ.

Полная мощность цепи

S = UI = I²Z = .

II). X_LX_C.

В этом случае ULUC, так как XLXC (рис.3). Тогда общее напряжение отстает по фазе ток на угол φ, причем 0φ>π/2. Это значит, что полное сопротивление цепи носит емкостной характер. Аналогично варианту XL>XC строятся векторные диаграммы сопротивлений и мощностей для XLXC.

Рис.3

Таким образом, при последовательном соединении активного сопротивления, индуктивности и емкости и если X_L≠X_C, то в цепи преобладает или индуктивное, или емкостное сопротивление и с энергетической точки зрения такая цепь сводится к цепи с R,L или R,C.

Тогда мгновенная мощность р = U Icosφ + U Icos(2ωt + φ), причем знак φ определяется характером сопротивления.

Активная мощность характеризует расход энергии на активном сопротивлении

Р = U_R I = I²R = S cos φ = UI cos φ.

Реактивная мощность

Q = U_L I = I²X_L = S sin φ.

Полная мощность цепи

S = UI = I²Z =

Множитель cos φ называется коэффициентом мощности. Он характеризует степень использования энергии потребителем, т.е какая часть электроэнергии преобразуется в другой вид энергии: cos φ = Р/S.

III). X_L= X_C : резонанс напряжений

Резонансом напряжений называют явление в последовательной цепи R,L,C, при котором ток цепи совпадает по фазе с напряжением источника. В этом случае реактивные составляющие напряжений равны по величине (U_L=U_C) и взаимно компенсируются: U_Х =0. (рис.6).

Напряжение источника идет только на покрытие потерь на активном сопротивлении:

U_Х = U_L - U_C = 0; U = .

Сопротивление цепи минимальное и чисто активное:

X= X_L - X_C =0; Z = .

Ток цепи совпадает по фазе с напряжением источника и максимален:

cos φ = R/Z =1; φ=0º; I=U/R.

Энергии магнитного и электрического полей равны между собой, реактивная мощность цепи равна нулю:

Q_L=I²X_L; Q_C=I²X_C; Q=Q_L - Q_C =0; Р = I²R.

Рис.4.

Особенности энергетического процесса в цепи отражены на рис.4. Преобразование электрической энергии источника в другой вид энергии происходит на сопротивлении. Индуктивность и емкость в течение полупериода накапливают равные количества энергии. Можно считать, что происходит обмен энергией между индуктивностью и емкостью. С увеличением тока энергия магнитного поля в индуктивности увеличивается, а электрическое поле в конденсаторе уменьшается. При максимальном токе UC =0, реактивная мощность сосредоточена в магнитном поле катушки.

Затем ток в цепи начнет уменьшаться и растет напряжение на конденсаторе. Энергия магнитного поля катушки «перекачивается» в энергию электрического поля конденсатора. При i=0 U_C максимально и вся реактивная мощность будет сосредоточена в электрическом поле конденсатора.

Условием резонанса напряжений является Х=0, т.е. X_L= X_C. Но X_L=2πfL и X_C=1/(2πfC), где f – частота источника питания. Решив это уравнение относительно f, получим, что частота источника питания f равна собственной (резонансной) частоте контура f₀:

, .

Характер изменения в последовательном контуре всех величин изображен на рис.5.

Рис.5

При ff0 сопротивление цепи носит емкостной характер и при подходе к резонансу общее сопротивление уменьшается, а ток растет. В момент резонанса сопротивление цепи чисто активное и равно R, а ток максимален (Iр). При f>f0 сопротивление цепи носит индуктивный характер и возрастает с увеличением частоты, а ток уменьшается. Напряжение на активном сопротивлении изменяется по закону тока: UR = IR.

При резонансе сопротивления реактивных элементов равны ω₀L = 1/ω₀C. Подставим значение ω₀ и получим величину волнового сопротивления контура

Поэтому напряжения на реактивных элементах в момент резонанса

U_L = U_C = IX_L = IX_C = IZ_B = .

Из этого выражения следует, что

.

Если ZB >R, то напряжение на реактивных элементах больше напряжения источника (рис.6). Количественно данное явление характеризуется добротностью контура Q Т.е. UL=UC =

Рис.6. Векторная диаграмма напряжений при резонансе

Чем меньше R, тем меньше потери и больше добротность контура. Чем меньше R, тем меньше потери и больше добротность контура.

Рис.7

Большему значению добротности соответствуют больший ток IР при резонансе и более острая резонансная кривая. Резонансная кривая показывает зависимость действующего значения тока от частоты источника при неизменной собственной частоте контура. На рис.7 показаны резонансные кривые при различных Q.

При неизменной частоте источника питания ввести контур в резонанс можно: - изменяя величину емкости конденсатора;

- изменяя индуктивность катушки (что технически труднее).

Пример расчета последовательной цепи R,L,C:

L	мГн	15,90	15,90	15,90	15,90	15,90	15,90	15,90	15,90
f	Гц	5,00	20,00	40,00	50,00	60,00	80,00	100,00	150,00
XL	Ом	0,50	2,00	3,99	4,99	5,99	7,99	9,99	14,98
C	мкФ	637,00	637,00	637,00	637,00	637,00	637,00	637,00	637,00
Xc	Ом	50,00	12,50	6,25	5,00	4,17	3,12	2,50	1,67
R	Ом	2	2	2	2	2	2	2	2
Z	Ом	49,54	10,69	3,01	2,00	2,71	5,26	7,75	13,46
U	В	100	100	100	100	100	100	100	100
I	А	2,02	9,35	33,17	50,00	36,94	19,02	12,91	7,43
S	Bт	201,87	935,40	3317,40	4999,97	3693,58	1901,64	1290,65	742,90
Q	BАр	2,03	174,74	4395,55	12481,35	8173,43	2888,71	1663,32	826,63
P	Bт	8,15	175,00	2201,03	4999,94	2728,51	723,25	333,16	110,38
cos φ		0,04	0,19	0,66	1,00	0,74	0,38	0,26	0,15
UR	В	4,04	18,71	66,35	100,00	73,87	38,03	25,81	14,86
UL	В	1,01	18,68	132,50	249,63	221,29	151,91	128,87	111,27
UC	В	100,93	116,91	207,32	249,98	153,89	59,42	32,26	12,38