Практика 2 / Практика2(kad)
.pdf
Постоитьспектрыамплитудныхфаз сигнала х(t),приследующихисходныхданных:
Vm:= 4 volt sec- 1 T := 2 sec t0 := 1 sec
x(t) := Vm (t + t0) if -T < t < 0 Vm (t - t0) if 0 < t < T Vm (t - 3 t0) if T < t < 2 T 0 otherwise
t := -1.5 T,-1.5 T + 500T ..2 T
Am, В
|
|
2 |
|
|
x(t) |
- 2 |
0 |
2 |
4 |
|
||||
|
|
- 2 |
|
|
- 4
t
t, с
Таккакданныйсигнал-периодическая функция времени,то для его спектрального представления нужно использоватьилитригонометрическийиликомплексныйряд Фурье.
Найдемспектрыамплитудифазнаосноветригонометрического рядаФурье.
Определениекоэффициэнтовразложения на интервале: |
t := |
0..T |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Улговая частота |
ω1 := |
|
2π |
|
|
ω1 = 3.142 |
|
|
Числогармоник: |
k:= 1..5 |
|
|
|
||||||||||||||||
первой гармоники |
|
T |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Постоянная |
|
1 |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
состовляющая |
a0 := |
|
|
Vm (t - t0) dt |
|
|
|
a0 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Косинусоидальныйкоэффициент: |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
T |
|
|
π |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
k |
:= |
|
|
|
|
Vm |
|
t - |
2 |
cos |
k 2 |
|
|
t |
|
dt |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Синусоидальныйкоэффициент: |
b |
k |
:= |
|
|
Vm (t - t0) sin(k ω1 t) dt |
b |
k |
= |
|
|||||||||||||||||||
T |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2.546 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1.273 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.849 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak =
0
0
0
0
0
|
|
Выражая t0и ω1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
:= T Vm |
|
|
-0.637 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
-0.509 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
черезT,можно данное следствие: |
|
|
|
k |
k π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Амплитуда k-нойгармоники: |
Sk := |
|
|
|
(ak)2 + (bk)2 |
|
|
|
|
|
S(k) := T |
Vm |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k π |
||
|
|
Амплитудныйспектр: |
|
|
A(k) := |
|
C0 if k = 0 |
|
|
a3 = 0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S(k) otherwise |
|
|
b3 = 0.849 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bk |
|
|
b3 := -0.849 |
||||||||||||
|
|
Фазовыйспектр: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
φ(k) := -atan ak |
|
|
φ(3) = 1.571 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ(k) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.571 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.571 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.571 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.571 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.571 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
S(k) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ(k) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
0 |
|
2 |
|
4 |
|
6 |
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
6 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|||
________________________________________________________________________________
Необходимо построитьспектрыамплитудифазпериодического сигнала x(t)наоснове комплексного ряда Фурье приследующихисходныхданных
Vm:= 4 volt sec- 1 T1 := 2 |
sec |
t0 := 1 sec |
|
||||
Определениекомплексныхкоэффициентов разложения сигнала вряд |
|||||||
на интервале: |
t := 0..T1 |
|
|
|
|
|
|
Улговая частота |
ω1 := |
2π |
|
|
ω1 = 3.142 |
Числогармоник: N:= 5 |
|
первой гармоники |
T1 |
|
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
Соотношение сигналов |
T |
0 |
:= |
T1 |
|
||
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
Комплексные коэффициенты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j k 2 t |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
T1 |
|
T1 |
|
||||||
|
C(k) := |
|
|
|
Vm |
- |
e |
|
dt |
||||||||
разложения |
|
T1 |
|
t |
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C0 := |
T1 |
T1 |
Vm t - |
|
2 |
dt |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Постоянная состовляющая |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
T1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Спектр периодическогосигналаx(t)наосновекомплексного ряда Фурьеявляется двухсторонним,т.е.определяетсяна положительныхиотрицательныхчастотах. Поэтому
Для нахождения амплитудного ифазового спектра найдемдействительнуюD(k) и мнимуюM( k)части комплексного коэффициента C(k)=D(k)+jM(k):
D(k) := |
|
1 |
|
T1 Vm sin(2 k π) k π + |
cos(2 k π) - 1 |
D(1) = 0 |
||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k2 π2 |
|
|
|
|||||
M(k) := |
|
1 |
T1 Vm |
-sin(2 k π) + k π cos(2 k π) + |
k π |
|||||||||||||||
4 |
|
k2 π2 |
M(1) = 1.273 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Амплитудныйспектр |
|
|
|
|
Амплитудныйспектр |
|||||||||||||||
S(k) := (D(k))2 + (M(k))2 |
||||||||||||||||||||
при |
|
k |
|
|
1 |
|
сучетомособой точки k=0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(постояннойсоставляющей) |
||||||||||||
|
1 |
|
T1 Vm |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
S(k) := |
|
2 |
|
|
k |
|
π |
|
|
|
|
|
A(k) := |
|
C0 if k = 0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M(k) |
|
|
S(k) if k 0 |
||
Фазовыйспектр |
|
ϕ(k) := atan D(k) |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ϕ(-1) = 1.571 |
ф(0) = |
|
ϕ(1) = -1.571 |
|||||||||||||||||
Вособойточке k=0 выражение для фазового спектрапринимаетвид |
||||||||||||||||||||
ϕ(k) := |
|
|
|
π |
if |
k 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-π |
if k < 0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таккакприлюбыхkфункция равна1,то выражение для комплексных коэффициентовразложения можноупростить
C1(k) := C0 if k = 0
T1 Vm if k 0
2 k π
2
1
C1(k)
0
- 1
3
2
ϕ(k)
1
0
2
1
C1(k) 0
- 1
- 2
2
1
ϕ(k) 0
- 1
- 2
- 4 |
- 2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
|
|
|
k |
|
|
- 4 - 2 0 2 4 6 k
k:= -5..5
- 5 |
0 |
5 |
k
- 5 |
0 |
5 |
k