Практика 3 / Практика3(kad)

Угловая частотапервой

ω1 :=

2 π

Числогармоник

R := 12

гармоники

T

Периодическое продолжение

ω1

ω:= -R ω1,-R ω1 +

100 ..R ω1

1

Um τ

0.5

Fx(ω)

- 20

- 10

0

10

20

- 0.5

ω

Амплитудныйспектр

Ax(ω) :=

Fx(ω)

M := 4 k:= 1..M

ω τ

ϕx(ω) := π

if Sa

< 0

2

0

otherwise

1

2 π

4 π

0.8

τ

τ

- 20

- 10

0

10

20

4

3

ϕx(ω)

2

1

- 20

- 10

0

10

20

ω

Спектральная функция вэкспоненциальной форме:

expFx(ω) := Ax(ω) ei ϕx(ω)

-

2 π

1

2 π

Um τ

τ

τ

0.5

expFx(ω)

- 20

- 10

0

10

20

Амплитуда

Um:= 0.5

Длительность τ:= 0.2

N:= 8

N

или

ω0 :=

2 π f0

Частота

f0 := τ

Возможная переодичность

повторения

T := 2 τ

t := -0.4 T,-0.4 T +

T

..0.4 T

500

Аналитическое выражение функции:

if -τ

τ

z(t) :=

(Um sin(ω0 t))

t

2

2

0 otherwise

0.6

Um

0.4

0.2

z(t)

- 0.2

- 0.1

- 0.2 0

0.1

0.2

- 0.4

- Um

-

0.6

Интегральное преобразование Фурье:

t

τ

2

Um sin(ω0 t) e- i ω tdt

Fz(ω) :=

τ

-

2

Необходимо поставитьподынтегральное выражение вэкспоненциальной

форме.По формуле Эйлера получилось

ei ω0 t - e- i ω0 t

ω0 assume 251.32741228718345908

2 i

Послечегоинтеграл приводиться квиду:

τ

τ

2

2

Fz(ω) := Um

e- i (ω-ω0) tdt - Um

e- i (ω+ω0)

tdt

2 i

τ

2 i

τ

-

2

-

2

sin(z)

Введение функцииотсчетов

Sa(z) :=

z

После интегрирования:

Um τ

1

1

Fz(ω) :=

-i

2

Sa 2 (ω - ω0) τ - Sa 2 (ω + ω0) τ

Таккакфункция нечетная то ее спектр представлен только мнимойчастью

Um τ

1

1

Mz(ω) := -

2

Sa 2

(ω - ω0) τ -

Sa 2 (ω +

ω0) τ

ω0

R := 2

ω:= -R ω0,-R ω0 +

..R ω0

200

- ω0

0.06

ω0

0.04

0.02

Mz(ω)

- 500

0

500

- 0.02

- 0.04

- 0.06

ω

- i π

Записьспектральной функциивэкспоненциальной форме

Fz(ω) := Mz(ω) e

2

Эспоненциальныймножительопределяетфазовыйспектр

ϕ1z(ω) := π

2

Амплитудныйспектр

Az(ω) := Fz(ω)

или

Az(ω) :=

Mz(ω)

Привзяти модуля функция Mz(ω)изменяет фазуна πкогдаMz(ω)<0

Поэтомуберется дополнительныйфазовый спектр

ϕ2z(

ω) :=

π if Mz(ω) < 0

0 otherwise

Полныйфазовыйспектр синусоидальной функцииz(t)

ϕz(ω) := ϕ1z(ω) + ϕ2z(ω)

R := 2 ω:= -R ω0,-R ω0 +

ω0

..R ω0

200

- ω0

0.06

ω0

0.04

Az(ω)

0.02

- 500

0

500

ω

- ω0

5

ω0

4

ϕz(ω)

3

2

- 500

1 0

500

ω

Спектральная функция выраженная черезапмлитудныйифозовыйспектрв

экспоненциальнойформе:

Fz(ω) :=

Mz(ω) ei ϕz(ω)

Другоерешениепредыдущего

__ _ _ _ _ _ __ __ __ __ __ _ _ ___ ___ _ _ __ _ _ ___ ____ ___ _ _ __ __ _

Используя теоремуопереносе спектра, спектр z(t) предсталяетсобойразностьдвух

спектров:x(t)перенесенного на частоту+ω0иx(t) перенесенногона частоту-ω0.При

переносезначения исходного спектрауменьшаются в2 раза поэтомутеперьспектр

функции:

Fx(ω) := Um τ Sa

ω τ

2

Спектр функцииz(t)

1

Fz(ω) :=

2 i (Fx(ω - ω0) - Fx(ω

+ ω0))

Иполучаеманалогичный график

- ω0

0.06

ω0

0.04

0.02

Im(Fz(ω))

- 500

0

500

- 0.02

- 0.04

- 0.06

ω