Практика 8 / Практика8(kad)

Добавил:

AlexKon Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

Математические методы теории сигналов и систем

Файл:

F(ω,σ,a) :=

S(ω,σ,a) dω -π σ2 e

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.04.2024

Размер:

651.19 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Необходимо найтиэнергитическийспектрстационарного случайного напряжения U(t)

заданного корреляционной функциейпри следующихданных			σ:= 3 α:= 0.2
R(τ) := σ2 exp(-α τ )	R(0) = 9	Графикпостроен при	T := 8

τ:= -2 T,-2 T + 2400T ..2 T

volt*volt

R(τ)

- 20

- 10

Делаемпреобразование Хинчина-Винера

sec

- α τ

- j ω τ

∞

- α τ

- j ω τ

Su(ω) := σ

dτ + σ

dτ

- ∞

Su(ω) (9.0i) ω + 1.8 +

(1.0i) ω + 0.2

ω + 0.04

Для областиположительныхвремен

S1u(ω) := σ

∞

- α

- j

ω τ

dτ

(1.0i) ω + 0.2

- α τ

- j ω τ

9.0 [(1.0i) ω + 0.2]

S2u(ω) :=

dτ

Для отрицательных

σ e

- ∞

ω + 0.04

Таккакинтегралорицательньныхвремендолжен бытькомплексно сопряженсS1(ω)

таккакS(ω)действительная функция и тогда S2(ω)=S1(ω)

S2u(ω) := S1u(ω)

S2u(ω) :=

(α + j ω)

то есть

Результаткомплексного сопряжения

S2u(ω) := σ2 (α +

j ω)

(α2 + ω2)

Формула спектральной плотности мощности

Su(ω) := S1u(ω) + S2u(ω)

2 (α + j ω)

Подставиввыражения получаем

+ σ (α2 + ω2)

Su(ω) := (α

+ j

ω)

Su(0) = 90

или

Su(ω) := 2 α

Su(0) = 90

(α2

+ ω2)

или при

R := 1 Ω

2 α

Su(ω) :=

Su(0) = 90

(α2 + ω2)

Графикплотностимощностиилиэнергетического спектра припараметрах

W := 3

watt * sec

	ω:= -W,-W +	2 W	..W
		50
		100		2 σ	2
				2 σ
				R α
Su(ω)		50
- 4	- 2	0	2		4
		ω

rad / sec

_________________________________________________________________________________

Необходимо найтипрактическуюширинуспектрастационарного случайного сигнала U(t) при следующихданных

γ := 0.95	σ:= 3	α:= 0.2	R(τ) := σ2 exp(-α	τ	)	R(0) = 9
γ := 0.95	σ:= 3	α:= 0.2	R(τ) := σ2 exp(-α	τ	)	R(0) = 9
			10
			10

volt*volt

R(τ)

- 20

- 10

sec

Преобразование Хинчина-Винера

∞

- α τ

18 (Im(ω) + 0.2)

Su(ω) := 2 σ

cos(ω τ) dτ

Re(ω)

(Im(ω) + 0.2)

[exp(-α τ) (-α cos(ω τ)) + ω sin(ω τ) + α]

Приинтегрировании

2 σ limit

,τ = ∞,left

(α2 + ω2)

получаем

Su(ω) := 2 σ2

Su(0) = 90

α2 + ω2

или при R :=

1 Ω

Su(ω) :=

2 σ2

Su(0) = 90

α2 + ω2

Полная мощностьпеременной состовляющей(флюктуаций)случайного сигнала

определяется дисперсией которая вчастотной областибудет

∞

2 σ2

1.0 σ2

Du(σ) :=

dω

(α2 + ω2)

σ2

R =

Аво временнойобласти

lim

σ e- α

9.0

τ 0 R

Дисперсия

Du :=

σ2

Мощностьфлюктиуаций

Pu := Du

Pu = 9

Условие для выбора практической шириныимеетвид

Given

ωc := 1

ωc

σ2

2 σ2

dω

(α2 + ω2)

ωc := Find(ωc) = 2.541

ωc := α tan 12 γ π = 2.541

Графикплотностимощностиилиэнергетического спектра припараметрах						W := 3
				ω:= -W,-W +			2 W	..W
							50
	- ωc	100	ωc	2	σ	2
	- ωc		ωc	2	σ
				R α
*sec
Su(ω)		50
watt
- 4	- 2	0	2			4
		ω

rad / sec

_________________________________________________________________________________

Найтикорреляционнуюфункцию идисперсиюсигнала случайного процесса X(t) который в частнотной области имеетравномерныйиограниченный почастоте спектр мощности низкочастотного вида со следующимипараметрами

Спектральная плотностьмощности

Матмодельспектра мощности

Графикспектральноймощностипри

- ωc

sec* Sx(ω) watt

P0 := 0.5		частота среза ωc := 5
Sx(ω) :=	P0	if -ωc ω ωc
Sx(ω) :=	P0	if -ωc ω ωc
	0	otherwise
W := 10		ω:= -W,-W +	W	..W
W := 10		ω:= -W,-W +	200	..W
			200

1ωc

0.5

- 10	- 3.75	2.5	8.75	15
		ω

rad / sec

Видкорреляционной функции можнойнайти обратнымпреобразование Фурьеегоспектра мощности

1	ωc		j ω τ			sin(5.0 τ)	sin(5.0 τ)

Rx(τ) := 2 π		P0 e			dω
Rx(τ) := 2 π	- ωc	P0 e			dω	2 π τ	2 π τ
или Rx(τ) := P0 sin(ωc τ)				0.15915494309189533577 sin(5 τ)
	(π τ)					τ

или вкомпактной форме при		Sa(z) :=		sin(z)
				z
		Rx(τ) :=	P0 ωc		Sa(ωc τ)				0.15915494309189533577 sin(5 τ)
				π						τ
				T :=	5				τ := -1.0 T,-1.0 T +		T
Графиккорреялционнойфункции при				T :=	5				τ := -1.0 T,-1.0 T +		400 ..1.0 T
Графиккорреялционнойфункции при
							1				P0 ωc
											P0 ωc
* sec											π
* sec	Rx(τ)						0.25
watt	Rx(τ)						0.25
watt	- 6	- 4		- 2				0	2	4	6
	- 6	- 4		- 2				0	2	4	6
							- 0.5
							τ
							sec
Дисперсия процессабудет		lim	P0 ωc			Sa(ωc τ)			0.79577471545947667885
		lim		π		Sa(ωc τ)			0.79577471545947667885
		τ 0		π
		Dx := P0				ωc	= 0.796
						π

или используя частотное описание процесса

Dx := 1 ωc P0dω 0.79577471545947667884

π 0

Задача 8.1
Найтиинтервалкорреляции испектр плотностимощности стационарного случайного
выражения U(t) при следующихданных							σ:= 3 α:= 0.2	R(τ) := σ2 exp(-α τ2)		R(0) = 9
По формуле интервалакорреляции черезфункциюρнайдемданный интервал
ρ(τ) := R(τ)	e- 0.2 τ2				∞
R(0)			τk:=			ρ(τ)	dτ 1.9816636488030055067
				0
По формуле Хинчина-Винеранайдемспетральнуюплотность
	∞	- j ω τ						2
	R(τ) e	- j ω τ		dτ	35.66994567845409912 e			- 1.25 ω	S(0) = 35.67
S(ω) :=	R(τ) e			dτ	35.66994567845409912 e				S(0) = 35.67
- ∞

Задача 8.2

Найтикорреляционнуюфункцию сигнала случайногопроцесса Y(t)вчастотнойобласти имеющегоспектрмощностирезонансного вида со следданными α:= 1.5 σ:= 2.5 ω0 := 10

Матмодель сигнала

* sec
volt*volt	Sy(ω)
	Sy(ω)

W := 30

Sy(ω) := σ

α2 + (ω - ω0)2

α2

+ (ω + ω0)2

ω:= -W,-W +

2 W

..W

150

- ω0

ω0

σ2

- 40

- 20

rad / sec

Видкорреляционной функции находимо обратнымпреобразованиемФурье

ω0

9.375

Sy(ω) ej ω τ dτ

Ry(τ) :=

(ω - 10)2 + 2.25

(ω + 10)2 + 2.25

2π

- ω0

ω0

j ω τ

Ry(τ) := σ α

dτ

2π

+ (

ω - ω0)

+ (ω

+ ω0)

- ω0

Короче витоге должна получится эта функция

Ry(ω) := σ2 e- α

cos(ω0 τ)

потомучто это задание обратно 4задачи

Задача 8.3

Найтиспектральнуюплотностьмощности для случайного процесса приследданых

Um:= 2	ω0 := 0.2			u(t,ϕ) := Um cos(ω0 t + ϕ)		ρ(ϕ) :=			1		if -π ϕ π
						ρ(ϕ) :=					if -π ϕ π
					π			2 π
Математическоеожидание					π
Математическоеожидание				M :=	ϕ ρ(ϕ) dϕ = 0		0			otherwise
Дисперсия		π		- π
		π		2
				2
	D:=		(Um cos(ϕ))		ρ(ϕ) dϕ = 2
	D:=		(Um cos(ϕ))		ρ(ϕ) dϕ = 2
		- π

τ :=

ρ(τ)

dτ = 0.5

Интервалкореляции

Корелляционая функция

R := D cos(ω0 τ) = 1.99

ρ(ϕ)

0.5

- 5

R(τ) := D cos(ω0 τ) 1.9999999999999998 cos(0.2 τ)

- 0.5

- 1

S(ω) := 2

R(τ) cos(ω0 τ) dτ 11.038467888655353234

Задача 8.4

ω0 := 10

Найтиспектрмощностисигнала случайногопроцесса соследданными

α:= 1.5 σ:= 2.5

Ry(τ) := σ2 e- α

cos(ω0 τ)

Преобразование Хинчина - Винера

- j ω τ

∞

- j ω τ

Ry(

τ) e

dτ + σ

Ry(τ) e

dτ

Sy(ω) :=

- ∞

Для областиположительныхвремен

∞

- j ω τ

6.25 [(1.0i) ω + 1.5]

S1y(ω) :=

Ry(τ) e

dτ

[(1.0i) ω + 1.5]

+ 100.0

- j ω τ

6.25 [(1.0i) ω - 1.5]

Для отрицательных

Ry(τ) e

dτ -

S2y(ω) :=

[(1.0i) ω - 1.5]

+ 100.0

- ∞

Таккакинтегралоnрицательньныхвремен должен

бытькомплексно сопряжен сS1(ω)

S2y(ω) := S1y(ω)

9.375 - (6.25i) ω

таккакS(ω)действительная функция

(1.0i) ω - 1.5

+ 100.0

Формула спектральной плотности мощности

Sy(ω) := S1y(ω) +

S2y(ω)

9.375 - (6.25i) ω

(6.25i) ω + 9.375

[(1.0i) ω + 1.5]2 + 100.0

Sy(0) = 0.183

(1.0i) ω -

1.5

+ 100.0

Sy(ω) := σ

α2 + (ω - ω0)2 α2

+ (ω +

ω0)2

Sy(0) = 0.183

Задача 8.5

Найтидисперсиюиспектральнуюплотностьмощности случайного стационарногосигнала

со следданными

σ:= 3

ω0 :=

20 π

Кор ф

Rv(τ) :=

σ2 sin(ω0 τ)

j :=

ω0 τ

	2	sin(ω0 τ)			0.6
Rv1(τ,ω0	,σ) := σ	ω0 τ			0.4
	,σ1) σ12				0.2
Rv1(0,ω1	,σ1) σ12
		Rv(τ1)	- 10	- 5	0	5	10
					- 0.2
Тогдадисперсия		D:= σ2 = 9			- 0.4
					- 0.6
					τ1

Задача 8.6
Найтипрактическуюширинуспектрастационарного случайного сигнала со следующими
параметрами			γ := 0.95			σ:= 3	a := 0.2	КФ Ru(τ) :=	σ2
				10				КФ Ru(τ) :=	1 + a τ2
									1 + a τ2

				8
	Ru(τ1)			6
	Ru(τ1)			4


				2			Маткадтупилпоэтомупришлосьбратьинтегралы
							Маткадтупилпоэтомупришлосьбратьинтегралы
- 10		- 5		0	5	10	такимпутемкакпредставленониже
- 10		- 5		0	5	10
				τ1

	∞			ω
	∞	1		ω
S(ω,σ,a) := 2 σ2		1	cos(ω τ) dτ π σ2 e
S(ω,σ,a) := 2 σ2		1 + a τ2	cos(ω τ) dτ π σ2 e
		1 + a τ2
	0

1 ∞

Дисперсия D:= S(ω,σ,a) dω 9.0

π 0

Given


1						- ω	1

	a						a		1
	a	Φ(-ω) + Φ(ω) e					a		1
		Φ(-ω) + Φ(ω) e							a

				-	1

		2			a			25.252
ff := -π σ			e			- 1 =		25.252

ωc1:= 1
условиевыбора		1	ωc1
практической ширины	γ D =		S(ω,σ,a) dω
практической ширины	γ D =		S(ω,σ,a) dω
		π 0

ωc := Find(ωc1) = 1.34

Задача 8.7

Найтиспектральнуюпротностьмощности случайного сигнала Z(t)со следующими

параметрами

σ:=

α:= 2

(α τ)2

- α

КФ Rz(τ) := σ 1

+ α

Rz(0) = 9

Rz(τ1)

Rz(1) = 2.03

- 10

- 5

5 10

Первая СПдля четной функциии ее обратное преоб

- 5

Вторая СПобщая и ее обратноепреобр

τ1

Третья СП-ответвзадание иее обр преобразование

∞

S(ω) := 2

Rz(τ) cos(ω τ) dτ -18 Re

+ 36 Re

48 Re

-2 +

ω i

+ ω i)

(-2

ω i)

∞

S(0) = 12

RZ1(τ) :=

S(ω) cos(ω τ) dω

S(1) = 10.752

RZ1(0) = 9

RZ1(1) = 2.03

∞

Rz(τ) ej ω

S(ω) :=

τ dτ 192 (3 ω + 4)

S(0) = 12

- ∞

(ω2 + 4)3

∞

S(1) = 10.752

RZ2(τ) :=

S(ω) cos(ω τ) dω

RZ2(0) = 9

RZ2(1) = 2.03

σ2

S(ω) :=

(α2 + ω2)3

∞

RZ(τ) :=

S(ω) cos(ω τ) dω

RZ(0) = 9

π 0

RZ(1) = 5.278

Задача 8.8
Найтидиспериюи корреляционнуюфункциюстационарного случайного сигнала G(t)со след
данными		σ:= 3							α:= 2											3
														СП	Sg(ω1) := 4 σ2					α
															Sg(ω1) := 4 σ2			(α2		+ ω12)			2		Sg(0) = 18
																							2		Sg(0) = 18
																									Sg(1) = 11.52
Дисперсия					1	∞										2
			D	:=				Sg(ω1) dω1						9	или	D:= σ 9
			D	:=				Sg(ω1) dω1						9	или	D:= σ 9
					π	0
								1	∞		Sg(ω1) ej ω1 τ1 dω1													20
																								20

Кор функция Rg(τ1) :=																								15
Кор функция Rg(τ1) :=																								15
								2π - ∞						Rg(0) = 9			Sg(ω1)							10
Проверка														Rg(1) = 3.654			Sg(ω1)							10
								) e- α		τ1														5


Rg(τ1) := σ2 (1				+ α		τ1							Rg(0) = 9



		∞														- 10					- 5			0		5	10
																- 10					- 5			0		5	10
							- j ω1 τ						Rg(1) = 3.654											ω1
Sg2(ω1) :=				Rg(τ) e			- j ω1 τ			dτ			Rg(1) = 3.654											ω1


		- ∞																						20
		- ∞																						20
Sg2(0) = 18																								15
Sg2(1) = 11.52																								15
Sg2(1) = 11.52
																	Sg2(ω1)							10
																	Sg2(ω1)							10
																								5
																								5

																-			10
																-			10		-	5		0		5	10
Задача 8.9																									ω1
Задача 8.9
Найтивидкорреляционной функции случайного сигнала со следующей спектральной
плотностьюмощности								W(f) :=				1	if	200 f 400
плотностьюмощности

												0	otherwise
sec		1.5
		1.5
		1
*	W(f)
Watt	W(f)
		0.5



		0								200					400					600
														f

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Практика 8

#
19.04.2024651.19 Кб0Практика8(kad).pdf
#
19.04.2024741.81 Кб0Практика8(kad).xmcd