Добавил:

AlexKon Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

Математические методы теории сигналов и систем

Файл:

Практика_10 / Практика10(kad)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.04.2024

Размер:

735.69 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Пустьзадан идеальный фильтрнижних частот(ФНЧ),имеющий амплитудно-частотную характеристику(АЧХ) скоэффициентомпередачии частотойсреза f,а также линейнуюфа- зочастотнуюхарактеристику(ФЧХ)a(f)=-2nftoспараметромto

Примемза единицу времени однумиллисекундуms:=10 sec.

Пустьна входФНЧподается периодическая последовательностьпрямоугольных импульсов x(t)спараметрами

K0 := 1.5	fc := 350			ms := 10- 3		τ:= 2.5 ms	t0 :=	τ
Um:= 1	α(f) := -2πf t0				T := 4 τ			2
Um:= 1	α(f) := -2πf t0				T := 4 τ
Аналитическое	K(f) :=	K0	if	0 f	fc ФЧХ	α(f) :=	(-2πf t0)	if 0 f fc


							0 otherwise
выражение АЧХ		0	otherwise		идеальногоФНЧ		0 otherwise
идеальногоФНЧ		0	otherwise
идеальногоФНЧ

Матмодель

x(t) :=

if 0 t τ

if T t T + τ

Графикпри

if 2 T t 2 T + τ

0 otherwise

f := 0..0.5 10

t := -T,-T + 0.01 ms..3 T

volt

x(t) 1

t 103

Коэффициент передачи

K(f) 1

0 200 400 f

rad

200

400

α(f)- 2

- 4

Для решения этой задачи необходимо прежде всего найти спектр входного сигнала.Таккак входной сигнал представляетсобой периодическуюфункциювремени,тодля его представления вчастотнойобластиможно использоватькактригонометрический рядФурье, таки экспоненциальный рядФурье.

Первое разложение даетодносторонний спектр(f>0),а второе -двусторонний (0<f<0). Посколькузаданная АЧХ-фильтра соответствуетодностороннемуспектральному

представлению,тодля нахождения спектравходного сигнала воспользуемся тригонометрической формой рядаФурье.

Таккакпри временномсдвиге амплитудный спектр не изменяется,то сдвинемсигнална величинуtc,перенеся темсамымначалокоординатв

серединуимпульса.При этом,согласно теореме о временномсдвиге,изменится спектр фазна

величинуф(f)=-2пft

tc:=

φcx(f) := -2π f tc

f1 :=

N:= 10

k:= 0..N

Результатинтегрирования

Постоянная состовляющая

a0 :=

Umdt 0.25

a0 :=

Um τ = 0.25

k 2π

Кэффразложения

kπ

a(k) :=

Um cos

sin

a(k) := 2

kπ

a(1) = 0.45

k 2π

b(k) :=

Um sin

b(1) = 0

k π τ

Видспостоянносостовляющей

Спекрамплитуд

sin

входногосигнала

A(k) := 2

Ax(k) :=

k = 0

kπ

A(1) = 0.45

A(k)

if k 0

Фазовыйспекр входногосигнала

ϕx(k) := -atan

b(k)

+ φcx(k f1)

или при bk=0

ϕx(k) :=

φcx(k f1)

a(k)

Спектр амплитуд

Ay(k) := Ax(k) K(k f1)

выходногосигнала

После подстановкифункций

Ay(k) :=

(a0 K0)

k = 0

k π

sin

0) (k f1 fc)

k π

Спектр выходногосигнала

otherwise

ϕy(k) :=			[-2π k f1 (t0 + tc)]					if	0 k f1	fc
			0 otherwise
	0.5


volt	0.4
	0.4
	Ax(k)0.3


		0.2
		0.2
	0.1
	0

				0	2	4	6		8	10
							k

volt

0.8
0.6
Ay(k)0.4
0.2
0	0	2	4	6	8	10
				k

rad

номер грамоники


0	5	10
0	5	10

ϕx(k) - 5

- 10

номер гармоники

номер грамоники

0 5 10

rad	ϕy(k)- 3
	ϕy(k)- 3

	- 6

номер гармоники

Видно что будуттолько постоянныесостовляющая ипервые триграмоники остально всё подавляются ФНЧтаккакего кэффравеннулю

y(t) :=

volt	y(t)
	y(t)

	3
Ay(0) +	(Ay(k) cos(k 2π f1 t + ϕy(k)))
	k = 1
	2
	1.5
	1
	0.5
- 10	0	10	20	30
	- 0.5
		t 103

При

R := 1

k π τ

(a02 K02)+

sin

Средняя мощность

Py:=

K02

Py = 0.508

выходногосигнала

2 R

k = 1

k π

ПРИМЕЧАНИЕ.Переходотодностороннегокдвухстороннемучастотному представлениюна основе комплексного ряда Фурье можно выполнить,исходя из следующего.

Для экспоненциального рядаФурье спектр амплитудестьчетная функция,а спектр фазнечетная.Поэтомуодносторонний спектр амплитудвходногосигналазеркально отображается на областьотрицательныхчастот.

Одновременноамплитудыспектральных составляющих на положительныхи отрицательныхчастотахуменьшаются вдва раза.Постоянная составляющая остается безизменения.Спектр фазотображается на областьотрицательныхчастотзеркально с одновременнымизменениемзнака фазы каждой гармоники.

Частотные характеристикиФНЧприводятся всоответствие двухстороннемучастотному представлениювходного сигнала.Наобластьотрицательных частотзеркально отображается АЧХбезизменений и ФЧХсодновременнымизменениемзнакафазы.

__________________________________________________________________________________

Определитьспектр ивидвыходного сигнала используя спектральныхподходдля подающегося на входидеальногодифференцирующего устройтваприследующихпараметрах

Еденицавремени	ms := 10- 3		Постоянная дифференцирования		T := 1
Частотный кэфф	K(ω) := i ω T		Дл τ:= 1ms Ам Um:= 1.5
Идеальное дифференцирующее устройство имеетАЧХ				Ak(ω) :=		ω T

ТаккакФЧХ α(ω) := atan		ω	то ее можно записатькак	α(ω) := if(ω > 0,atan(∞),atan(-∞))
		0

Условия для графика W := 0.8

безразмерная			0.8
			0.8
	Ak(ω)		0.6
	Ak(ω)		0.4
			0.4
			0.2
	- 1	- 0.5	0
			ω

или

ω:= -W,-W + 100W ..W

rad	α(ω)
	α(ω)

0.51

α(ω) := if ω > 0, π2 ,-π2


-	1	- 0.5		0	0.5		1

-1

-2

rad/sec		rad/sec
Входной сигналэто непериодическая функция вида	x(t) :=	Um (Φ(t) - Φ(t - τ))
	t := 0	,0.01 ms..2ms

volt

1.5

x(t) 1

0.5

0	0.5	1	1.5	2
		t 103

Используя интегрально преобразованиеФурье получаем

Спектральнуюфункцию

- i ω t

- (0.001i) ω

Fx(ω) :=

Um e

(1.5i) e

- 1.0

- (0.001i) ω

(Um exp(-i ω τ) - Um)

или

Fx(ω) := i

1.5 e

- 1.5

или

Fx(ω) := Um sin(ω τ)

+ i Um cos(ω τ) - Um

(1.5i) cos

(1.5i)

1.5 sin

Амплитудный спетр

Ax(ω) :=

Fx(ω)

1000

= 9.549

- 4

1.5

- 1

cos

или

-1 + cos(ω τ)

1000

Ax(ω) :=

2 Um

- 4

= 9.549

ω τ

или

sin

3.0 sin

- 4 Ax(ω) :=

2Um

2000

= 9.549

Ax τ

(1.5i) cos

- (1.5i) 1.5 sin

1000

Фазовыйспектр

ϕx(ω) := arg(Fx(ω)) arg

1000

или

- 1

cos(ω τ) - 1

cos

ϕx τ = -1.571

1000

ϕx(ω) := atan

sin(ω τ)

atan

или

sin

ω τ

1000

ϕx τ

= -1.571

ϕx(ω) := -

2000

Спектральная функия выходного сигнала

Fy(ω) := i Um exp(-i ω τ) - Um i ω T -1.5 e- (0.001i) ω + 1.5

или

или Вкомплексной форме

Fy(ω) := Um T (1 - exp(-i ω τ)) -1.5 e- (0.001i) ω + 1.5

Fy(ω) := Um T (1 -

cos(ω τ)) + i Um T sin(ω τ) -1.5 cos

(1.5i) sin

+ 1.5

1000

Следовательно ампитудный спектр

- cos(ω τ))]2

+ (Um T sin(ω τ))2

Ay(0) = 0

Ay(ω) :=

[Um T (1

или

cos

1000

Ay(ω) := 2 Um T

1 - cos(ω τ)

3.0

Ay(0) = 0

или

ω τ

Ay(ω) := 2 Um T sin 2

3.0 sin

2000

Ay(0) = 0

Фазовыйспектрвыходного сигнала впериодической форме

ϕy(1) = 1.57

или

ϕy(1) = 1.57

или

sin(ω τ)

sin

1000

ϕy(ω) := atan

-atan

1 - cos(ω

τ)

cos 1000 ω -

ϕy(ω) := atan

cot

ω τ

atan

cot

2000

ϕy(ω) := atan

tan

ω τ

atan

tan

2000

Фазовыйспектрвлинейной форме				Условия для графиков
				Условия для графиков
ϕ1y(ω) :=	π -	ω τ	if ω 0	W := 15 ms- 1
ϕ1y(ω) :=	π -	ω τ	if ω 0
	2	2
	-π	- ω τ	if ω < 0	ω:= -W,-W +	W	..W	Ay(4 ms- 1)= 2.728
	-π	- ω τ	if ω < 0	ω:= -W,-W +		..W	Ay(4 ms- 1)= 2.728
	2	2		100
				100

				4			2Um				10
volt*sec				2			2Um				5
				2				rad			5
	Ay(ω)	- 20	- 10	- 2	0	10	20	rad	ϕ1y(ω)	- 20	- 10 - 5	0	10	20
				- 4							- 10
				- 4
				ω 10- 3							ω 10- 3
				rad/ms							rad/ms
				rad/ms

Находимобратнымпреобразованиемфурьеспектральной функциис определением

функции Дюирака Dirac(t) := if(t = 0,∞,0)

y(t) := 1- 1 [Um T (1 - exp(-i ω τ))] Врезультате y(t) := 21π Um T (2π Dirac(-t) - 2π Dirac(-t + τ))

или

		y(t) :=		Um T (Dirac(t) - Dirac(t - τ))			t := 0,		τ	..2τ
Графиквыходного сигнала							t := 0,	25		..2τ
								25

volt		2 10307			τ 103
		2 10307
	y(t)


			0			1				2
		- 2 10307

t 103

Откликидеального ДУна одиночный прямоугольный видеоимпульспредставляетсобой две дельта-функцииДирака сплощадью,равнойUmT.Положительная дельта-функция соответствуетпереднемуположительномуфронтуимпульса.Отрицательная дельта-функция - егозаднемуотрицательномуфронту

__________________________________________________________________________________

Определитьвиды выходного сигнала используя операторныйподходдифференцирущей

RC-цеписоследующими данными ms := 10- 3 R := 20 103 C := 0.01 10- 6 T := R C = 2 10- 4

Передаточная функция K(p) :=	p T	τ:= 1 ms Um:= 1.5
1	+ p T
		volt

Модельвходного сигнала u(t) := Um (Φ(t) - Φ(t - τ))

1.5 u(t) 1 0.5

- 2 10- 3 1 10- 3 t

Um e- p tdt -

1.5 (e

- 0.001 p

- 1.0)

Входной сигналимеетизображение

U(p) :=

exp(-p τ) - 1

1.5

1000

После преобразования

U(p) := -Um

- 1

Изображение выходного сигнала

UR(p) := Um exp(-p τ) - 1

p T

снимаемого срезистора

+ p T

Выделяемсостовляющуюс временным

UR(p) := Um

- Um T exp(-p τ)

сдвигомразложивнаэлементарные дроби

1 + p T

Первое слагаемое

U1R(p) :=

Um T

1 + p T

N(p) := 1 + p T

p1 := -

Знаменательестьполином

скорнем

Um T

p t

Определимвычет

Res1p1(t) :=

lim

p p1

N(p)

lim

Um T

p t

Вычислимпредел

p -

N(p)

T dp

Первое слагаемосправедливодля обласи t>0 тогдазапишемвобщемвиде введя временные ограничения сиспользованиемвременного окна функциюХевисайда

Тогда			t

	Res1p1(t) := Um exp	-T Φ(t)						-Um T e- p τ
	Res1p1(t) := Um exp	-T Φ(t)
Второе слагаемое U2R(p) := -			Um T e- p τ		Вычисляемпредел	lim
Второе слагаемое U2R(p) := -				1 + p T	Вычисляемпредел	p -	1	d (1 + p T)
							1

							T	dp

Вычетвторого слагаемогосправедливдля области t>τ и его можно записатьвведя временные

ограничения функцией окна вследующейформе

Res2p1(t) := -Um exp

t - τ

Φ(t - τ)

Таккакоригина определяется суммойто

окончательно имеем

uR(t) :=

Um exp

Φ(t) - Um exp

t - τ

Φ(t

- τ)

volt

2				Графиксигналанавыходе
1				Графиксигналанавыходе
uR(t) - 3 - 2 - 1- 1	0 1	2	3	дифференцирующейRC-цепи
- 2

t 103

Напряжение наконденсаторе

uC(t) := u(t) - uR(t)

volt

uC(t)

1 u(t)


-	3	- 2	- 1	0	1	2	3
				t 103

ПРИМЕЧАНИЕ.При практическомиспользовании операторного метода большуючасть формальныхвычисленийможноисключить,обращаяськшироко распространенным таблицампреобразований Лапласа.Записавобратное преобразованиеЛапласаввиде

определяемпроизвольно p := (2 + i 5)

uR(t) :=

- 1

1 - exp(-p τ)

p T

- p T

Получаемчто

exp

t - τ

получаемранее

- Φ(t -

τ)

uR(t) := Um T

_________________________________________________________________________________

Определитьвидвыходногосигнала,энергетический спектр иполнуюэнергиюинтегрирующей

RC-цеписоследующими параметрами

U0 := 1.5

Постояннаня времени

T := 1

T0 := 2

Модельвходного сигнала

Импульсная характеристика

M := 8t := -M,-M +

250 .. M

g(t)

T exp

-T

x(t) := U0 exp

Φ(t)

1.5

volt

x(t)

0.5

- 10

- 5

Откликцепичерезинтегралсвёртки

- τ

- 1.0 t

- 0.5 t

y(t) :=

U0 exp

Φ(τ)

exp

dτ -3.0 e

+ 3.0 e

Результатинтегрирования

-exp

+ exp

- t

y(t) := U0 T0

-3.0 e

3.0 e

N:= 10

t :=

..N

-T0

+ T

250

1.36

Графиквыходного

0.75

напряжения

volt

y(t)

0.5

Спектральная функция выходного напряжения

∞

sec

-exp

+ exp

Fy(ω) :=

U0 T0

exp(-i ω t) dt

-T0 +

Вынося постоянный множительприводимквиду

∞

Fy(ω) :=

U0 T0

-e

- i ω t

-T0

+ T

Для первогоинтеграла

Для второго интеграла

∞

+ ω i

T0 e- i

ω tdt

- i ω t

F1y(ω) :=

-e

F2y(ω) :=

+ ω i

Такимобразомспектральная функия выходного сигнала

Результатуплощения

U0 T0

Fy(ω) :=

-T0 + T

-i + T0 ω T0

i - T ω T

Fy(ω) := -U0

(-i + T0 ω) (T ω - i)

Fy(1) = -0.3 - 0.9i

Амплитудный спектркакмодульспектральнойфункции

Ay(ω) := Fy(ω)

3.0

2 ω - (1.0i)

ω - (1.0i)

Энергетическийспектр какквадратмодуля спектральной функции

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Практика_10

#
19.04.2024735.69 Кб0Практика10(kad).pdf
#
19.04.2024885.79 Кб0Практика10(kad).xmcd