Mechanics-15

Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет

им. П. Г. Демидова

В.П. Алексеев, Е. О. Неменко,

В.А. Папорков, Е. В. Рыбникова

Лабораторная работа № 15

Проверка закона сохранения момента импульса.

Ярославль 2013

Гармонические колебания происходят в системе, которая при смещении из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы F, пропорциональной смещению x (согласно закону Гука):

F = −kx.

Такие силы называют квазиупругими. В данном выражении x – смещение колеблющейся системы от положения равновесия, k – коэффициент пропорциональности между силой и смещением x

(коэффициент упругости).

Момент импульса – физическая величина, характеризующая количество вращательного дви-

жения. Она, зависит от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение. Момент импульса материальной точки относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением её радиус-вектора и импульса:

~ =

L ~r × p~

где ~r – радиус-вектор материальной точки относительно выбранного неподвижного в данной системе начала отсчёта, p~ – импульс материальной точки.

Закон сохранения момента импульса – один из фундаментальных физических законов со-

хранения. Он выражается математически через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел и остается постоянной, при отсутствия воздействия внешних сил. В соответствии с этим момент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем.

Рассмотрим систему, состоящую из двух физических маятников, имеющие общую горизонтальную ось вращения. Поскольку движение маятников происходит под действием силы тяжести, то другие моменты сил относительно оси вращения отсутствуют. До взаимодействия второй маятник находится в состоянии покоя, а после взаимодействия оба маятника сцепляются и движутся как единое целое, образуя замкнутую систему при прохождения ими положения равновесия. В этом положении моменты сил тяжести равны нулю, а, следовательно, для этой системы выполняется закон сохранения момента импульса:

где J1 и J2 – моменты инерции маятников относительно оси вращения, ω~1 и ω~2 – их угловые скорости в положении равновесия до взаимодействия, ω~1′ и ω~2′ – их угловые скорости после взаимодействия.

Поскольку до взаимодействия второй маятник покоится, то ω2 = 0. После взаимодействия оба маятника составляют собой единое целое и их угловые скорости равны ω1′ = ω2′ = ω. Закон сохра-

нения момента импульса для такой системы, в проекции на ось вращения примет вид:

Исходя из периода колебаний маятников, можно найти их моменты инерции:

где l - расстояние от оси вращения до центра масс маятника. Откуда получаем момент инерции маятника 1:

Момент инерции системы из двух сцепленных маятников:

где l12, l12г – расстояние от оси до центра масс системы из двух маятников без дополнительного груза и с грузом, T12, T12г – период колебания системы из двух маятников (без груза и с грузом).

Если отклонить маятник на угол α от положения равновесия, то его центр масс поднимется на высоту h = l(1 − COS α) (рис. 15.1).

На маятник всё время действует только сила тяжести, которая является консервативной, а момент силы трения в подшипниках оси невелик и им можно пернебречь. Закон сохранения механической энергии запишется в виде:

Jω2 mgh = 2 ,

где Jω2 2 – энергия колеблющегося маятника при прохождении положения равновесия, mgh – энергия маятника, отклоненного на угол α (при этом его центр масс поднят на высоту h = l(1 − COS α)). Из него можно найти угло-

вую скорость маятника в тот момент, когда он проходит положение равновесия

15.2. Описание экспериментальной установки

Установка состоит из двух физических маятников (1) (масса m1) и (2) (масса m2), которые могут независимо вращаться вокруг общей оси O (рис. 15.2). Маятники снабжены магнитами M, с помощью которых они соединяются друг с другом и могут вращаться вокруг оси O, как единое целое. Для изменения момента инерции к маятнику 1 может быть прикреплен добавочный груз Г (масса mг).

На каждом маятнике красной меткой указано положение центра масс (ц.м.), расстояние которого от оси вращения равны, соответственно, l1 и l2.

Очевидно, центр масс маятника с добавочным грузом находится от оси вращения на расстоянии

l1г = m1l1 + mгlг , m1 + mг

где lг – расстояние центра груза от оси вращения.

Центр масс двух маятников с добавочным грузом находится от оси вращения на расстоянии

l12г = m1l1 + m2l2 + mгlг . m1 + m2 + mг

Если добавочный груз отсутствует, то это расстояние

m1l1 + m2l2 l12 = m1 + m2 .

Рис. 15.2. Внешний вид установки

Угол отклонения маятника от положения равновесия определяется по шкале Ш. В положении равновесия маятники располагаются так, чтобы их визиры находились против нулевой отметки шкалы Ш. Это достигается с помощью винтов в основании установки.

Если отклонить один из маятников, и закрепить в отклоненном положении, а второй отклонить и отпустить, то он будет совершать колебательное движение около положения равновесия.

Если же один из маятников отклонить из положения равновесия на угол α (второй при этом

оставить в положении равновесия) и отпустить, то после столкновения маятников они начнут двигаться как одно целое и отклонятся от положения равновесия на угол β.

15.3. Порядок выполнения работы

1)Установите маятники в свободном положении на нулевую отметку шкалы с помощью винтов в основании установки .

2)Измерьте расстояние l1, l2 и lг не менее 3 раз и найдите их среднее значение.

3)Рассчитайте расстояние от оси вращения до центра масс маятников l1г, l12, l12г.

4)Отведите в сторону маятник 2, закрепите его. Определите время десяти колебаний t1. маятника 1 и время 10 колебаний маятника 1 с добавочным грузом t1г. Определите время 10 колебаний системы, состоящей из двух маятников, без дополнительного груза t12 и с грузом t12г. Каждый опыт повторите не менее 3 раз и найдите средние значения.

5)Рассчитайте периоды колебаний T1, T1г, T12, T12г и моменты инерции маятников J1, J1г, J12, J12г по формулам (15.5) и (15.6).

6)Отклоните маятник 1 без груза на угол α (по указанию преподавателя). Маятник 2 при этом находится в положении равновесия. Опустите маятник 1 и отметьте угол β, на который от-

клонится система из двух маятников после взаимодействия. Опыт повторите не менее 3 раз и рассчитайте среднее значение угла β.

7)Повторите опыт, прикрепив к маятнику 1 добавочный груз Г.

8)Рассчитайте угловые скорости маятников до взаимодействия ω1 и после ω12, ω1г и ω12г по

формулам (15.7) и (15.8).

9)Рассчитайте моменты импульсов маятников в первом и во втором опытах.

10)Рассчитайте энергию маятников до и после взаимодействия. Рассчитайте коэффициент восстановления (см. работу № 8) для первого и второго случаев.

15.4.Контрольные вопросы

1)Что такое математический маятник? физический маятник?

2)От чего зависит период малых колебаний физического маятника?

3)Что называется моментом импульса материальной точки, тела? Как направлен момент импульса?

4)Запишите закон сохранения момента импульса системы из двух маятников.

5)Как можно определить начальную скорость маятника до взаимодействия? Какие величины измеряют для этого?

6)От каких величин зависит момент инерции маятника? Как его изменяют в данной установке?

7)Как рассчитывают расстояние до центра масс системы из двух маятников?

8)От чего зависит угловая скорость маятника перед взаимодействием?

9)Чему равна энергия маятника перед взаимодействием? после взаимодействия?

Учебное издание

Алексеев Вадим Петрович

Неменко Евгений Олегович

Папорков Владимир Аркадьевич Рыбникова Елена Владимировна

Лабораторная работа № 15

Проверка закона сохранения момента импульса.

Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова 150000, г. Ярославль, ул. Советская, 14.