Mechanics-07
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет
им. П. Г. Демидова
В.П. Алексеев, Е. О. Неменко,
В.А. Папорков, Е. В. Рыбникова
Лабораторная работа № 7
Определение скорости пули
методом баллистического маятника и времяпролётным хронографом.
Ярославль 2013
Лабораторная работа № 7.
Определение скорости пули методом баллистического маятника и времяпролётным хронографом1
Цель работы:
•ознакомиться с косвенным методом определения скорости пули с помощью баллистического маятника;
•ознакомиться с времяпролётным хронографом; определить скорость пули обоими методами;
•дополнительно: построить зависимость скорости пули от коэффициента жёсткости пружины и степени её сжатия.
Оборудование:
•лабораторная установка ЛКМ-5 с комплектом принадлежностей,
•аналитические весы.
7.1. Краткая теория
Скорость полета пули обычно достигает значительных величин. Прямое измерение её скорости, до последнего времени, требовало специальной аппаратуры. Косвенные методы, использующие неупругие соударения, т.е. соударения, в результате которых столкнувшиеся тела соединяются вместе и продолжают движение как единое целое, могут быть реализованы гораздо более доступными средствами.
Пусть летящая пуля испытывает неупругий удар со свободным неподвижным телом значительно большей массы. После удара тело начинает двигаться, причем скорость его во столько раз меньше скорости пули, во сколько раз масса пули меньше массы тела. (Этот результат легко получить с помощью закона сохранения импульса.) Если теперь измерить сравнительно небольшую скорость тела, то легко можно вычислить и скорость полета пули. К числу методов, основанных на этой идее, относится метод баллистического маятника.
7.1.1. Метод баллистического маятника
Баллистический маятник представляет собой массивное тело массы M подвешенное на длин-
ном лёгком нерастяжимом подвесе (рис. 7.1). В маятник стреляют так, чтобы скорость пули была направлена горизонтально по прямой, проходящей через центр тяжести маятника и перпендикулярной к его оси вращения. Мишень маятника заполнена пластилином, поэтому пуля, прилипая, теряет свою начальную скорость и одновременно сообщает маятнику некоторый импульс, под действием которого он отклоняется от вертикальной линии на некоторый угол α.
1Ранее данная работа имела номер 6-б.
1
7.1. Краткая теория |
2 |
|
|
~ |
|
|
Изменение момента импульса L системы “пуля-маятник” определяется моментом внешних сил |
||
~ |
|
|
K: |
|
|
~ |
~ |
|
dL |
(7.1) |
|
dt |
= K |
|
где K – суммарный момент сил тяжести, натяжения нити и трения о воздух.
Если время торможения пули и угол отклонения маятника за это время незначительны, то моментом внешних сил можно пренебречь.
В этом случае рассматривая процесс соударения как неупругий и применяя закон сохранения
момента импульса для системы “пуля - маятник”, можно записать: |
|
mV0l = (ml2 + J)ω0, |
(7.2) |
где m – масса пули, V0 – скорость пули до удара, l – расстояние от оси вращения маятника до его центра тяжести или до точки удара пули, J – момент инерции маятника относительно оси вращения, ω0 – начальная угловая скорость маятника.
В уравнении (7.2) левая часть даёт выражение момента импульса пули относительно оси вращения в начале удара, правая часть выражение момента импульса маятника вместе с засевшей в нём пулей также относительно оси вращения после окончания удара.
С другой стороны, применяя к процессу, происходящему в системе после удара, закон сохранения энергии, получим:
2 |
|
ω02 |
(7.3) |
|||
(J + ml |
) |
|
|
= (M + m)gh, |
||
2 |
||||||
|
|
|
|
|||
где h – величина поднятия центра тяжести маятника после удара. Величина h может быть
определена из измерений отклонения маятника от положения равновесия (рис. 7.1).
Из рис. 7.1 видно, что:
h = l − l cos α = 2l sin2( |
α |
). |
|
(7.4) |
||||||||
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда (7.3) перепишется так: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
ω02 |
2 |
|
|
α |
(7.5) |
|||||
(J + ml |
) |
|
|
= 2(M + m)gl sin |
( |
|
|
). |
||||
2 |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Рис. 7.1. Баллистический маятник
В уравнении (7.5) левая часть даёт выражение кинетической энергии в первый момент по окончании удара, правая часть даёт выражение потенциальной энергии системы в момент дости-
жения наибольшего отклонения системы. Из уравнения (7.2), с учетом уравнения (7.5), находим:
V0 |
= 2 m2 |
r |
l (M + m)(J + ml2) |
. |
(7.6) |
||
|
|
sin α |
|
g |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Принимая во внимание то обстоятельство, что размеры маятника малы по сравнению с длиной подвеса, т.е. данный маятник можно рассматривать как математический, легко показать, что уравнение, выражающее закон сохранения момента импульса переходит в уравнение, выражающее закон сохранения импульса. К тому же можно взять J = ML2, тогда (7.6) значительно упрощается, и мы приходим к окончательной формуле для определения скорости V0 полёта пули:
V0 |
= 2l sin( 2 ) |
m |
r |
l |
илиV0 = |
m |
r |
l |
. |
(7.7) |
|
|
|
α |
M + m |
|
g |
MQ |
|
g |
|
||
Величины M, m, α, l в этой формуле находятся из измерений, Q = 2l sin( α2 ) - смещение, опреде-
ляемое косвенно.
7.1. Краткая теория |
3 |
|
|
7.1.2. Времяпролётный хронограф
Времяпролетный хронограф, называемый также хронографом скорости, представляет собой прибор, состоящий из измерителя временных интервалов С (секундомера) и двух датчиков Д1 и Д2. Схема хроногра-
фа приведена на рис. 7.2. Пролёт пули П через первый датчик (Д1) запус-
кает отсчёт времени, а через второй (Д2) останавливает его. Зная расстоя-
ние между датчиками нетрудно определить скорость по очевидной формуле:
v = |
d |
(7.8) |
|
t |
|||
|
|
где d – расстояние между датчиками (база хронографа), а t – время про-
лёта пули между датчиками. Несмотря на кажущуюся простоту этого меРис. 7.2. Схема времяпролётного хронографа тода, распространение он смог получить только в последнее время т.к.
электроника, способная обеспечить достаточную точность измерения времени и имеющая при этом приемлемые размеры появилась сравнительно недавно. Допустим, что у нас база хронографа равна 0.1 м, при этом мы хотим измерять скорость пули в диапазоне от 1 до 1000 м/с с точностью до 1 м/с (характеристики реального хронографа). Нетрудно посчитать, что при 1000 м/с расстояние между датчиками пуля пролетит за 10−4 с. Поскольку мы хотим иметь возможность измерять скорость с точностью в 1м/с, то нам надо за это время произвести не менее 103 отсчётов. Таким образом, дискретность отсчёта нашего секундомера должна быть не менее 10−7 с, что даёт тактовую частоту 10 МГц. Реализовать компактный прибор с такими характеристиками стало возможным только на
элементной базе, появившейся в последние 10-15 лет.
Рис. 7.3. Образцы хронографов. 1. Однолучевой хронограф S-04. 2. “Рогатый” хронограф ProChrono зарубежного производства. 3. Рамочный хронограф ИБХ-710.
Датчики пролёта пули могут быть оптоэлектронными, ёмкостными или индукционными. Чаще всего используются оптоэлектронные датчики ввиду простоты их технической реализации. Простейший такой датчик состоит из осветителя О (как правило светодиода) и фотоприёмника ФП. Пуля, пролетающая через такой датчик, перекрывает свет на фотоприёмнике и вызывает запуск или остановку секундомера. Такой датчик называется однолучевым. Недостатком такой системы
7.2. Описание экспериментальной установки |
4 |
|
|
является необходимость разместить оба датчика строго на траектории пули, избегая при этом задевания пулей конструкций хронографа.
Этого недостатка лишён многолучевой датчик. В его конструкции используется линейка из нескольких фотоприёмников. Осветителем является светодиодная линейка или, вообще, матовый экран подсвеченный дневным светом. Благодаря высокой чувствительности фотоприёмника, способной регистрировать даже небольшие изменения освещённости такой датчик надёжно регистрирует пролетающую пулю. Исходя из особенностей конструкции хронографы с такими датчиками подразделяются на два вида: “рогатые” и рамочные. Примеры реальных хронографов различных систем приведены на Рис. 7.3.
7.2. Описание экспериментальной установки
Лабораторная установка ЛКМ-5 представляет собой пружинную пушку с набором принадлежностей и измерительной системой ИСМ-2. Позади основания пружинной пушки размещён контейнер для принадлежностей. Перед пружинной пушкой на платформе установлен вертикальный стержень для определения коэффициента жёсткости пружины.
Пружинная пушка (рис. 7.4) смонтирована на основании 1 и крепится к платформе установки с помощью стоек 2 с винтами. На стержень 3, укрепленный в кронштейне 4, надевается пружина 10 затем пуля 11. Координата торца пули, обращенного к пружине, отмечается по шкале 5, размещенной рядом со стержнем. Взводитель, он-же спусковое устройство содержит рейку 6.1 с фиксирующими вырезами, зацеп 6.2 и рукоятку 6.3, закрепленные на рейке. В кронштейне 4 установлен фиксатор,
задающий четыре положения рейки с шагом 25 мм.
Рис. 7.4. Пружинная пушка с принадлежностями
7.2. Описание экспериментальной установки |
5 |
|
|
Пушка с установленным подвесом баллистических маятников показана на рис. 7.5. Подвес 15 баллистического маятника содержит стойку 15.1 с зацепом, ось 15.2, шкалу 15.3 датчик угла максимального отклонения 15.4. Стойка устанавливается вертикально на основании пушки так, чтобы
зацеп стойки вошел в паз основания, при этом нижний конец стойки входит в прикрепленный к основанию хомут. Слегка затянув ввернутый в стойку прижимной винт, обеспечивают ее неподвижность. Маятники 16 или 17 подвешиваются на оси 15.2 с помощью имеющихся на них крюков, при
этом центр мишени маятника оказывается на линии выстрела. Расстояние от оси подвеса маятников до линии выстрела (“прицельный параметр”) равно 300 мм.
!!!Во избежание несчастного случая, перед выстрелом необходимо убедиться в отсутствии посторонних предметов, в т. ч. рук и других частей тела (своих и товарищей) на линии выстрела. Также, в момент выстрела необходимо, чтобы расстояние между лицом и установкой составляло не менее 0.5 метра
У“математического” маятника момент инерции мишени относительно оси вращения значительно больше момента инерции стержня, и для оценки скорости пули можно пользоваться законами сохранения импульса и энергии. У физического маятника обратное соотношение, и необходимо применение закона сохранения момента импульса. Нужные параметры маятников студент определяет самостоятельно, измерив их характерные размеры.
Таймер измерительной системы ИСМ-2 регистрирует время пролета пули между входным фотодатчиком 8 и выходным фотодатчиком 9. Каждый датчик содержит светодиод инфракрасного
излучения в нижней части и приемный фотодиод в верхней части. Датчики срабатывают при перекрывании светового потока пулей или другим предметом. Инфракрасное излучение невидимо, поэтому индикатором исправности и включения датчиков служит срабатывание таймера при перекрывании светового потока в датчике. После выходного датчика 9 пуля застревает в пластилине в пулеулавливателе 7. Расстояние между датчиками равно 250 мм.
Внешний вид измерительной системы ИСМ-2 показан на рис. 7.6. Включение и выключение установки производится тумблером “Сеть” 1. Тумблер “1-2” 2 должен находиться в положении “1”. Тумблер 5 необходимо установит в положение “0.1 мс”. Измерения можно в однократном или циклическом режиме. Выбор режима осуществляется тумблером 3. В однократном режиме, непосредственно перед измерением скорости необходимо нажать кнопку “Готов” 4 для инициализации системы. Результат измерения в миллисекундах высветится на табло 6. В циклическом режиме нажимать кнопку “Готов” необходимости нет, однако следует иметь в виду, что пересечение оптической линии любого из датчиков приводит к изменению значений на табло. Поэтому необходимо записать полученный результат до любых манипуляций с установкой!
Перечень принадлежностей:
•Стойка 15 для подвешивания баллистических маятников с датчиком угла.
•“Математический” баллистический маятник 16.
•“Физический” баллистический маятник 17.
•Пружины двух видов с диаметром проволоки 0.8 мм (10) и 1 мм (11).
•Пуля “алюминиевая сплошная” 12 массой 7.4 г.
•Пуля “латунная сплошная” 13 массой 22.4 г.
•Пуля “латунная с проточкой” 14 массой 16.4 г (массы пуль указаны ориентировочно и могут
изменяться в ходе эксплуатации).
•Грузы цилиндрические с центральным отверстием (3 шт) для определения коэффициента жёсткости пружины. Масса грузов указана на них самих (≈ 500 г).
•Линейка металлическая.
7.2. Описание экспериментальной установки |
6 |
|
|
Рис. 7.5. Пружинная пушка с установленным баллистическим маятником
Таблица 7.1. Параметры маятников
|
Параметры маятников |
“Математический′′ |
“Физический′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Масса мишени с пластилином, m1 |
72.1 г |
21.4 г |
|
Масса стержня, m2 |
18 г |
293.1 г |
|
Масса крючка |
9 г |
9 г |
|
|
|
|
|
|
|
|
7.2.1. Выполнение измерений
Подготовка пружинной пушки к выстрелу и выстрел производятся следующим образом:
•На стержень 3, надевается пружина 10. Отогнутый фигурный хвостовик пружины заводится
в прорезь кронштейна
•На стержень 3, надевается пуля. Пуля типа 14 надевается проточкой к пружине.
•Рукоятка 6.3 взводителя поворачивается “вверх-на себя” до вертикального положения и взво-
дитель подается вперёд до упора.
•Поворотом взводителя “вниз-от себя” пуля захватывается зацепом 6.2 за переднюю кромку. Рукоятка 6.3 должна принять горизонтальное положение.
•Пружина взводится оттягиванием рукоятки 6.3 взводителя на необходимое количество щелч-
ков. При этом рукоятка должна оставаться строго в горизонтальном положении.
Рис. 7.6. Измерительная система ИСМ-2
7.3. Порядок выполнения работы |
7 |
|
|
• Спуск пушки производится поворотом рукоятки 6.3 вверх на себя.
7.2.2. Математический баллистический маятник
Используя “математический” баллистический маятник (16) определяют скорость пули и сравнивают с результатами измерений по времени пролета. Необходимые данные для расчетов приведены в таблице 7.1.
2
Условие “математичности” маятника - малость момента инерции стержня m2 r3 в сравнении с моментом инерции мишени m1r2. Сейчас это условие выполняется с погрешностью около 7%. Для
определения угла отклонения маятника делают два отсчета по датчику угла максимального отклонения: при начальном (равновесном) положении маятника, когда датчик слегка касается стержня маятника, и после выстрела, когда датчик отклонен стержнем на некоторый угол. Угол отклонения маятника равен разности этих отсчетов. Скорость пули V0 вычисляют по формуле (7.7).
7.2.3. Физический баллистический маятник
По параметрам физического маятника 17 определяют его полную массу m0, момент инерции I маятника относительно оси подвеса, расстояние H его центра масс от оси подвеса и приведенную
массу М, равную массе мишени плюс одна треть массы стержня. Расстояние Н определяют экспериментально. ¾Прицельный параметр¿ (расстояние от оси маятника до линии выстрела и до центра мишени) r = 300 мм определен конструкцией пушки. Приведенная масса и момент инерции маятника связаны соотношением I = Mr2. Снаряд массой m, летящий со скоростью v с прицельным параметром r, имеет момент импульса L = mvr. При ударе сохраняется момент импульса системы “пуля плюс маятник” относительно оси подвеса. Заменяя l на H в формуле (7.7), получим:
V0 |
= 2 sin( |
α |
)r |
|
m0gH |
|
|
M + m |
(7.9) |
|
|
|
|||||||
|
|
2 M m |
|
||||||
7.3. Порядок выполнения работы
С помощью данной установки можно произвести измерения с двумя видами пружин, двумя видами маятников и и тремя видами пуль. Задание на проведение конкретных опытов следует получить у преподавателя перед началом выполнения работы.
Перед началом измерений рекомендуется взвесить используемые пули на аналитических весах, не ограничиваясь приведенными выше массами.
Все измерения и вычисления рекомендуется проводить в системе СИ.
Определение коэффициента жёсткости2 пружины.
1)Установить пружину на вертикальный стержень хвостовиком вниз. Измерить её длину в свободном состоянии с помощью линейки.
2)Надеть один из грузов на стержень и плавно опустить его на пружину. Измерить длину сжатой пружины. Повторить измерение не менее 3 раз. Найти среднее значение. Не забудьте записать массу груза.
3)Слегка сжать пружину с грузом и дать ему плавно подняться. Измерить длину сжатой пружины. Повторить измерение не менее 3 раз. Найти среднее значение.
4)Найти средне значение между результатами п.п. 1.2 и 1.3.
5)Повторить п.п. 1.2 - 1.5 для двух и трех грузов.
6)Исходя из того, что сила сжатия пружины F = mгрузаg и закона упругости Гука F = k x определить коэффициент k для одного, двух и трех грузов. Найти среднее значение.
2Мы умышленно не употребляем здесь термин “модуль упругости”, т. к. этот термин относится к телам испытывающим непосредственно деформацию растяжения-сжатия. Характер деформации витой спиральной пружины выглядит несколько сложнее. Несмотря на это, закон Гука для пружины полностью справедлив.
7.3. Порядок выполнения работы |
8 |
|
|
Определение скорости пули с помощью математического маятника.
1)Подготовить пружинную пушку к выстрелу, как описано выше не взводя её.
2)Навесить математический маятник и успокоить его колебания. Подвести к нему до упора датчик угла. Записать значение угла в начальном положении.
3)Взвести пушку до первого положения (щелчка) и произвести выстрел. Убедиться, что пуля в момент попадания прилипла к мишени маятника. Записать значение угла по положению датчика. Вычислить угол отклонения. Повторить измерения не менее трёх раз.
4)Повторить п.п. 2.1-2.3 для второго, третьего и четвёртого положений взводителя.
5)Вычислить скорость пули по формуле (7.7). Определение погрешностей проводить по правилам обработки косвенных измерений.
Примечание: Если при каком-либо положении взводителя не обеспечивается прилипание пули к мишени или отклонение маятника становится слишком большим (более 90o), то в этом случае, опыты проводить не следует, т.к. скорость пули находится за пределами измерений данной установки.
Определение скорости пули с помощью физического маятника.
1)Опыты с физическим маятником проводятся аналогично п.п. 2.1-2.4 для математического маятника.
2)Вычислить скорость пули по формуле (7.9). Определение погрешностей проводить по правилам обработки косвенных измерений.
Определение скорости пули с помощью времяпролётного хронографа.
1)Включить систему ИСМ-2 и дать ей прогреться 3-5 мин. Проверить положение переключателей, как описано выше.
2)Подготовить пружинную пушку и взвести её до первого положения.
3)Если используется режим однократных измерений, то нажать кнопку “Готов” и произвести выстрел. При циклическом режиме, кнопку “Готов” нажимать не требуется. Записать полученный результат. Повторить измерения не менее 3 раз.
4)Повторить п.п. 4.1-4.3 для второго, третьего и четвёртого положений взводителя.
5)Вычислить скорость пули сходя из расстояния между датчиками d = 250 мм. Определение
погрешностей проводить по правилам обработки косвенных измерений.
6)Построить график зависимости скорости пули от силы сжатия пружины.
Примечание: Если при каком-либо положении взводителя не обеспечивается пролет пули между обоими датчиками, то в этом случае, опыты проводить не следует, т.к. скорость пули находится за пределами измерений данной установки.
Дополнительно: При проведении измерений со всеми тремя видами пуль, построить график
зависимости скорости пули от её массы и определить по графику скорость распрямления свободной пружины.
7.4. Контрольные вопросы |
9 |
|
|
7.4. Контрольные вопросы
1)Можно ли пользоваться приведенной теорией, если удар пули о мишень происходит под углом, отличным от прямого?
2)При каких упрощающих предположениях развита теория опыта?
3)Почему необходимо, чтобы пуля прилипала к мишени?
4)Сформулируйте законы сохранения импульса и момента импульса для данной механической системы.
5)По экспериментальным результатам оцените кинетическую энергию маятника.
6)Оцените, какая часть кинетической энергии пули при ударе переходит в теплоту.
7)Какое движение называют баллистическим?
8)Какие условия должны быть соблюдены для успешных измерений хронографом в данной установке.
9)От чего зависит точность времяпролётного хронографа?