МАТАН ЭКЗАМЕН / 26 / признак кратности корня

Кратный Корень в Энциклопедическом словаре: Кратный Корень - алгебраического уравнения - такое число b, что f(х) делитсябез остатка на 2-ю или более высокую степень m двучлена (х - b); число m -кратность корня b.

Любой многочлен n-й степени имеет ровно n корней.  Если найти все корни многочлена n-й степени, то его можно преобразовать к виду:  (x - x1)*(x-x2)*(x - x3)^k*(x - x4)^l  При этом корни х3 и х4 (т.е. корни в тех скобках, которые возведены в степень) являются кратными, и k - это кратность корня х3, а l - кратность корня х4. По-другому, если число х0 является k-кратным корнем многочлена степени n, то этот многочлен можно разделить нацело на (x - x0)^k, а если х0 является простым корнем многочлена степени n, то этот многочлен можно назделить нацело на (х - х0).  Простой пример: многочлен x^2 + 2x + 1 имеет 2 корня: x1 = -1 и х2 = -1, т.е. фактически он имеет один кратный корень, то есть:  x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2.  А вот многочлен х^2 - 2x + 1 имеет 2 простых корня: х1 = 1 и х2 = -1, то есть:  x^2 - 2x + 1 = (x + 1)*(x - 1)