МАТАН ЭКЗАМЕН / 25 / формула муавра

Пусть комплексное число z представлено в тригонометрической форме:

z = r(cosφ + i sinφ),

где r – модуль данного числа, а φ его аргумент.

Поскольку при умножении комплексных чисел их модули умножаются, а аргументы складываются, имеем:

z² = r²(cos2φ + i sin2φ), z³ = r³(cos3φ + i sin3φ), …

Поэтому легко доказать (например, методом полной математической индукции) формулу Муавра, имеющую вид

zⁿ = rⁿ(cosnφ + i sinnφ).

С помощью формулы Муавра можно получить формулы, выражающие cosnφи sinnφ через синус и косинус числа φ:

здесь  – биномиальные коэффициенты.

Формула названа по имени установившего её в 1707 году математика И. Муавра, друга великого И. Ньютона; современный вид формуле придал Л. Эйлер.