МАТАН ЭКЗАМЕН / 20 / производные логарифмической показательной и степенной функции

Предполагается, что основание a показательной и логарифмической функции больше нуля и не равно единице: a > 0, a ≠ 1. Производная показательной функции y = a^x с основанием a определяется формулой

где ln a - натуральный логарифм a, т.е. логарифм a по основанию е, приблизительно равному 2,718281828... (2.7, затем два раза год рождения Л.Н.Толстого). Знаменитое трансцендентное число е можно вычислить с любой степенью точности с помощью различных компьютерных алгоритмов.  Если a = е, то получаем красивый результат в виде

Производная логарифмической функции y = log_a x определяется выражением

Для натурального логарифма y = ln x производная равна

   Пример 1

Найти производную функции .

Решение.

Дифференцируя данную показательную функцию как сложную, находим

      

   Пример 2

Вычислить производную функции .

Решение.

По правилу дифференцирования сложной функции находим

      

Упрощаем:

      

Применив формулу двойного угла , получаем окончательный ответ