МАТАН ЭКЗАМЕН / 39 / условие экстремума

Экстремум функции и необходимое условие экстремума

Напомним определение локального экстремума функции.

        Определение 7.4   Пусть функция  определена в некоторой окрестности , , некоторой точки  своей области определения. Точка  называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности  выполняется неравенство  ( ), и точкой локального минимума, если  .     

Понятия локальный максимум и локальный минимум объединяются термином локальный экстремум.

Следующая теорема даёт необходимое условие того, чтобы точка  была точкой локального экстремума функции .

        Теорема 7.4   Если точка  -- это точка локального экстремума функции , и существует производная в этой точке , то .

Доказательство этой теоремы сразу же следует из теоремы Ферма (см. гл. 5).    

Утверждение теоремы можно переформулировать так:

если функция  имеет локальный экстремум в точке , то либо  1) , либо  2) производная  не существует.

Точка  называется критической точкой функции , если  непрерывна в этой точке и либо , либо  не существует. В первом случае (то есть при ) точка называется также стационарной точкой функции .

Итак, локальный экстремум функции  может наблюдаться лишь в одной из критических точек этой функции.