МАТАН ЭКЗАМЕН / 39 / достаточные условия локального экстремума

Достаточные условия локального экстремума

В предыдущих примерах мы видели, что хотя необходимое условие не гарантировало наличие экстремума в критической точке, мы смогли исследовать поведение функции в окрестности этой точки и выяснить, имеется ли в ней экстремум и если да, то какого рода. Однако для выяснения этого нам пришлось иной раз прибегать к искусственным преобразованиям функции, которые во общем случае могут быть не очевидны или затруднительны. В данном разделе мы рассмотрим несколько общих теорем, позволяющих исследовать поведение функции в критической точке.

        Теорема 7.5   Пусть  -- критическая точка функции . Если функция  не убывает в некоторой левой окрестности  точки  и не возрастает в некоторой её правой окрестности , то точка  -- точка локального максимума.

Если же функция  не возрастает в некоторой левой окрестности  и не убывает в некоторой правой окрестности , то точка  -- точка локального минимума.

        Доказательство.     Если  не убывает в , то  при всех , поскольку из непрерывности . Точно так же,  при всех . Выберем из чисел  и  наименьшее:  и рассмотрим симметричную окрестность . При , очевидно, , то есть  -- точка локального максимума.

Вторая половина утверждения теоремы сводится к первой, если положить  и заметить, что функция  не убывает в  и не возрастает в ; локальный максимум функции  соответствует локальному минимуму функции .      

        Замечание 7.4   Найденное достаточное условие локального экстремума гарантирует наличие экстремума в точке . Однако оно не является необходимым: можно найти такую функцию , которая имеет экстремум (например, минимум) в некоторой точке , однако не монотонна ни в какой левой окрестности и ни в какой правой окрестности этой точки. Примером может служить функция

График этой функции зажат между двумя параболами  и  и в окрестности точки 0 имеет бесконечно много промежутков монотонности, разделённых стационарными точками, так что  не монотонна ни на каком интервале вида  или . В точке 0 функция непрерывна (по теореме "о двух милиционерах") и имеет минимум, так как при всех  .

Заметим кстати, что производная этой функции равна

Эта производная имеет в точке  разрыв второго рода.     

        Теорема 7.6   Пусть  -- критическая точка функции , и у этой функции существует производная  в некоторой проколотой окрестности . Если при этом в левой окрестности  имеет место неравенство , а в правой окрестности  -- неравенство , то точка  -- точка локального максимума; если же в левой окрестности выполнено неравенство , а в правой окрестности -- неравенство , то точка  -- точка локального минимума. Наконец, если производная в левой и в правой окрестности имеет один и тот же знак, то точка  не является точкой локального экстремума.

        Доказательство.     Доказательство первых двух утверждений теоремы сразу же следует из предыдущей теоремы и теоремы 7.2 о связи знака производной с возрастанием и убыванием функции: из неравенства  следует неубывание функции , а из неравенства  -- её невозрастание. Последнее утверждение теоремы также очевидно.      

Рис.7.25.Связь смены знака производной с локальными экстремумами

Доказанную теорему можно сформулировать следующим образом:

если производная  меняет знак с  на  при переходе через критическую точку , то в этой точке -- локальный максимум функции ; если знак производной меняется с  на , то в точке  -- локальный минимум; если же знак производной при переходе через  не изменяется, то локального экстремума в точке  функция  не имеет.

Следующая теорема позволяет обойтись для обнаружения экстремума исследованием функции только в точке  (а не в её окрестности, как предыдущие теоремы), но зато требует привлечения второй производной.

        Теорема 7.7   Пусть  -- стационарная точка функции , и в этой точке существует вторая производная , причём . Тогда при  точка  есть точка локального максимума, а при  -- локального минимума.

        Доказательство.     Поскольку , то по определению производной

Пусть . Тогда из существования предела следует, что для любого  из некоторой достаточно малой проколотой окрестности  точки выполняется то же неравенство для допредельного выражения, то есть

при . Поскольку, по предположению теоремы,  -- стационарная точка, то , откуда , то есть  имеет знак, противоположный знаку :  при  и  при . Остаётся лишь применить теперь предыдущую теорему, из которой следует, что  -- точка локального максимума.

Доказательство для случая  совершенно аналогично.      

        Пример 7.24   Рассмотрим функцию . Её производная равна ; решая уравнение , находим стационарные точки функции : это . Чтобы определить поведение функции в этих стационарных точках, найдём вторую производную и выясним, какой она имеет знак в каждой из этих трёх точек. Имеем: . Отсюда , следовательно, в точке  функция  имеет локальный минимум; то же в точке , поскольку  также равняется 8. В каждой из этих двух точек значение функции равно .

В точке  получаем , поэтому в точке 0 функция  имеет локальный максимум. Значение  в этой точке равно 0.     

Рис.7.26.Три локальных экстремума функции 

        Замечание 7.5   В последней теореме ничего не говорится о том, что происходит в стационарной точке  в случае, когда . В этом случае в точке  может быть как локальный экстремум (возможен и максимум, и минимум), так и не быть экстремума. В этом нас убеждают следующие три примера.     

        Пример 7.25   Функция  имеет единственную стационарную точку . Вторая производная  принимает в этой точке значение 0, сама же функция  не имеет экстремума в точке 0.     

Рис.7.27.Функция  не имеет экстремума в стационарной точке 0

        Пример 7.26   Функция  также имеет единственную стационарную точку . Вторая производная  принимает в этой точке значение 0, сама же функция имеет в точке 0 минимум.     

Рис.7.28.Функция  имеет минимум в стационарной точке 0, в которой 

        Пример 7.27   Функция  также имеет единственную стационарную точку . Её вторая производная  принимает в стационарной точке значение 0, а сама функция  имеет в этой точке максимум.     

Рис.7.29.Функция  имеет максимум в стационарной точке 0, в которой 

Для того, чтобы разобраться в поведении функции  в такой стационарной точке , в которой , можно применить такую теорему:

        Теорема 7.8   Пусть функция  имеет -ю производную в некоторой окрестности точки  и эта производная  непрерывна в точке . Предположим, что

Тогда, если число  -- нечётное, то в точке  функция  не имеет локального экстремума; если же число  -- чётное, то при  в точке  функция имеет локальный максимум, а при  -- локальный минимум.

        Доказательство.     Для доказательства заметим, что если разложить  по формуле Тейлора в точке  с остаточным членом в форме Лагранжа, то получим

(где  лежит между  и ), поскольку слагаемые со степенями бинома , меньшими , имеют, по предположению, нулевые коэффициенты. Следовательно, приращение функции  можно представить в виде

Поскольку  и  непрерывна в точке , то в некоторой окрестности точки  она сохраняет тот же знак, что у числа , в частности, знак числа  при , близких к , -- тот же, что у числа .

Мы видим, что при нечётном  приращение  меняет знак при переходе через точку , поскольку меняет знак множитель  в правой части. Значит, в этом случае локального экстремума в точке  нет.

При чётном  этот множитель положителен при всех , следовательно, приращение  (при малых ) имеет тот же знак, что и :  при (неравенство  означает, что  -- точка локального максимума) и  при  (неравенство  означает, что  -- точка локального минимума).      

        Замечание 7.6   Даже в этом усиленном виде ( теорема 7.8) достаточный признак экстремума, связанный со значениями производных высших порядков, не всегда отвечает на вопрос о том, есть ли локальный экстремум в стационарной точке. Дело в том, что, как мы видели выше, существуют такие функции, у которых все производные в некоторой точке  обращаются в 0, и тем не менее функция отлична от 0 всюду, кроме этой точки. Примером может служить функция, которую мы рассматривали в главе 6 (замечание 6.2):

Эта функция имеет стационарную точку , характер которой нельзя распознать, применив теорему 7.8, поскольку  при всех . Однако очевидно, что  при всех , так что  -- точка минимума функции .

Кроме того, заметим, что может быть не выполнено предположение о непрерывности производной -го порядка в точке , даже если эта производная существует при всех . В качестве примера рассмотрите самостоятельно функцию

Эта функция имеет минимум (равный 0) в точке . Производная этой функции существует при всех  и равна

Найдите и исследуйте вторую производную этой функции.