Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

МАТАН ЭКЗАМЕН / 18 / дифференцирование суммы разности частного и произведения

.docx
Скачиваний:
34
Добавлен:
17.03.2015
Размер:
13.78 Кб
Скачать

Теорема Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют в точке x производные, то сумма (разность), произведение и частное этих функций также имеют производные в этой точке, и справедливы следующие формулы: 1) (u±v)/=uv/ , 2) (u·v)/=u/v+v/u , 3) (vu)=v2u/vv/u .

Доказательство Из определения производной:

(u±v)/=limΔx→0Δx[u(xxv(xx)]−[u(xv(x)]= =limΔx→0Δx[u(xx)−u(x)]±[v(xx)−v(x)]=  .    

=limΔx→0Δxu(xx)−u(x)±limΔx→0Δxv(xx)−v(x)=uv/

(u·v)/=limΔx→0Δxu(xxv(xx)−u(xv(xv(xxv(x)= limΔx→0Δxu(xx)[v(xx)−v(x)]+      

+limΔx→0Δxv(x)[u(xx)−u(x)]=uv/+vu/.

(vu)/=limΔx→0Δxv(xx)u(xx)−v(x)u(x)=limΔx→0Δx·v(xxv(x)u(xxv(x)−u(xv(xxu(xv(x)=v2u/vv/u.