МАТАН ЭКЗАМЕН / 40 / условие выпуклости графиков функции
.docxВыпуклость функции
Определение 7.5 Функция называется выпуклой вниз (или просто выпуклой) на интервале , если график функции идёт не выше хорды, соединяющей любые две точки графика и при .
Пусть . Тогда любую точку отрезка можно задать как , , а любую точку хорды -- как . Выражение задаёт линейную функцию переменного , график которой на отрезке совпадает с хордой.
То, что график функции идёт не выше хорды, означает, что
(7.4) |
при всех .
Аналогично определяется выпуклость вверх: функция называется выпуклой вверх (или вогнутой) на интервале , если график функции идёт не ниже хорды, соединяющей любые две точки графика и при . Это означает, что
(7.5) |
при всех .
Рис.7.30.Графики выпуклой и вогнутой функций
Легко видеть, что функция вогнута на интервале в том и только том случае, когда функция выпукла на .
Пример 7.28 Рассмотрим функцию . Эта функция выпукла на любом интервале оси . Действительно, если интервал не содержит точки 0, то графики и на таком интервале совпадают, откуда следует, что неравенство (7.4) выполнено и функция выпукла. (Заметим, что на таком интервале верно и неравенство (7.5), так что одновременно и выпукла, и вогнута на таком интервале.) Если же точка 0 лежит в интервале , то и , и тот факт, что хорда лежит выше графика, геометрически очевиден.
Рис.7.31.Хорда лежит выше графика
Пример 7.29 Рассмотрим функцию ; её график -- парабола .
Рис.7.32.Функция -- выпуклая
Мы привыкли изображать параболу именно так, что очевидно: хорда идёт выше графика на любом интервале . Подтвердим теперь это свойство формальной выкладкой. Имеем:
|
|
|
Здесь мы использовали известное неравенство: при всех .18
Теорема 7.9 Пусть функция определена на интервале и -- некоторая точка этого интервала. При всех определено разностное отношение -- функция
Тогда функция выпукла на интервале в том и только том случае, когда функция не убывает на множестве .
Замечание 7.7 Функция равна тангенсу угла наклона хорды, одним из концов которой служит фиксированная точка , а вторым концом -- переменная точка графика . Тем самым, теорема означает, что у выпуклых функций угловые коэффициенты хорд графика не убывают, где бы ни был фиксирован один из концов хорды.
Рис.7.33.Угловой коэффициент хорды с фиксированным концом возрастает, если функция выпукла
Заметим также, что функция имеет следующее свойство:
(7.6) |
Действительно,
|
Доказательство теоремы 7.9. Выберем любые две точки . Предположим, что (случаи иного расположения точек рассматриваются аналогично). Поскольку , то при некотором . Нетрудно видеть, что тогда и . Поэтому из выпуклости функции следует, что
Умножая на , получаем:
Теперь вычтем из обеих частей неравенства. Получим, после раскрытия скобок в правой части и приведения подобных членов:
Теперь разделим обе части неравенства на и и получим:
то есть
Это означает, что функция -- неубывающая.
Доказательство того, что из неубывания функции следует выпуклость функции , можно провести, если проделать все преобразования в обратном порядке.
Замечание 7.8 Очевидно, что аналогично доказывается следующее утверждение:
функция вогнута на интервале тогда и только тогда, когда при любом функция не возрастает на множестве .
Доказанная теорема содержит хотя и важный, но всё же вспомогательный результат. На её основании мы получим следующее утверждение, которое уже гораздо удобнее применять на практике для исследования выпуклости.
Теорема 7.10 Пусть функция имеет на производную . Функция выпукла на тогда и только тогда, когда производная не убывает на .
Доказательство. Пусть -- выпуклая функция. Возьмём точки на интервале так, чтобы они следовали в таком порядке: . По предыдущей теореме, функции и не убывают. Пользуясь также свойством (7.6), получаем цепочку:
В итоге получили, что , или
Перейдем в левой части к пределу при , а затем в правой части при . Так как, по предположению, производная в точках и существует, то односторонние пределы существуют и равны производным в соответствующих точках, то есть . Ввиду того, что точки и можно было выбирать произвольно, это означает, что не убывает на .
Пусть теперь производная -- неубывающая функция. Фиксируем точку и найдём производную функции при . Она равна
По формуле конечных приращений мы можем представить в виде
где -- некоторая точка, лежащая между и . Заметим, что при этом знак разности -- тот же, что у разности . Получаем, что
Так как -- неубывающая функция, то при и, следовательно, при и при и, следовательно, при . В любом случае отношение неотрицательно, то есть . По теореме 7.2 отсюда следует, что функция не убывает, а по теореме 7.9 -- что функция выпукла.
Замечание 7.9 Разумеется, верно следующее утверждение, аналогичное доказанной теореме:
дифференцируемая функция вогнута на интервале тогда и только тогда, когда её производная не возрастает.
Если функция имеет во всех точках интервала вторую производную , то для исследования выпуклости можно воспользоваться следующим утверждением, которое вытекает из доказанной теоремы.
Теорема 7.11 Пусть на интервале функция имеет вторую производную . Функция выпукла на тогда и только тогда, когда при всех , и вогнута тогда и только тогда, когда при всех .
Доказательство. Производная не убывает на в том и только том случае, когда при всех , и не возрастает в на в том и только том случае, когда при всех . Поэтому утверждение теоремы сразу следует из теоремы 7.10 и замечания 7.9.
Именно эту теорему чаще всего применяют для исследования выпуклости и вогнутости функции на заданном интервале, а также для нахождения интервалов выпуклости и интервалов вогнутости данной функции.
Рис.7.34. на интервалах выпуклости и на интервалах вогнутости
Пример 7.30 Рассмотрим функцию , то есть
Для этой функции
(проверьте отдельно, что производная при существует и равна 0) и
то есть . (Также проверьте, что производная в точке 0 существует и равна 0.) Итак, при всех ; отсюда следует, что функция выпукла на всей оси.
Рис.7.35.Функция выпукла на всей оси
Пример 7.31 Рассмотрим функцию примера 7.24: . Её производная равна ; вторая производная . Чтобы найти интервалы выпуклости, решим неравенство , то есть . Решением является объединение лучей: . Значит, на интервалах и функция выпукла.
Для нахождения интервала вогнутости нужно решить неравенство , то есть . Решением является отрезок . Значит, на интервале функция вогнута.
Рис.7.36.Интервалы выпуклости и вогнутости функции
Выпуклые функции обладают следующим весьма важным свойством: они могут иметь не более одного локального минимума на интервале выпуклости. А именно, верна следующая теорема.
Теорема 7.12 Пусть -- выпуклая на функция и -- точка локального минимума функции . Тогда
Замечание 7.10 Теорема не означает, что функция не может иметь много точек локального минимума, однако утверждает, что во всех таких точках выпуклая функция принимает одно и то же значение
Доказательство теоремы. Пусть и -- две различные точки локального минимума функции , причём и (случай разбирается аналогично). Положим и рассмотрим линейную функцию , на графике которой лежит хорда, соединяющая точки и . Так как функция выпукла, то при всех , то есть при всех . Это неравенство верно, в том числе, и при любом из некоторой правой окрестности точки , то есть при , . Тем самым получаем для таких :
Однако это противоречит тому, что -- точка локального минимума (из того, что -- точка локального минимума, следует, что при достаточно малом при имеет место неравенство ).
Значит, предположение о том, что , не может быть верным. Точно так же доказывается, что неверно и предположение о том, что . Следовательно, , то есть во всех точках локального экстремума (если их не одна) функция принимает одно и то же значение.
Тем самым, если о функции известно, что она выпукла, и мы нашли некоторую точку локального минимума , то значение в этой точке -- это минимальное значение функции на всём рассматриваемом интервале: . Если нас интересует лишь это минимальное значение, а не полный набор точек минимума, то мы можем других точек локального минимума не искать.
Замечание 7.11 Свойство, аналогичное доказанной теореме, верно и для максимумов вогнутых функций:
если -- вогнутая функция на интервале и -- точки локального максимума, то