МАТАН ЭКЗАМЕН / 28 / разложение комплексных и вещ дробей

Пример разложения дроби на множители со знаменателем $x^n+1$

Рассмотрим рациональную дробь следующего вида:

   где

Задача ставится о разложении данной дроби в сумму элементарных дробей.

Основная проблема в том, что в зависимости от четности  уравнение не имеетвещественных корней или имеет всего лишь один вещественный корень, все остальныекомплексные корни.

Один из способов разлоить данную дробь основывается на том, что решение уравнения  выписывается в явном виде (над полем комплексных чисел  ) и еще на паре свойств этого решения, о которых будет сказано позже.

Сначала найдем все корни уравнения  . Здесь используем формулу Эйлера

   здесь

с помощью которой можно представить комплексное число, записанное в алгебраической форме  , где  , в виде:

где  ,  -- модуль числа  и  -- аргумент (угол) комплексного числа  , определяется из равенства:  или  .

Перепишем уравнение  в следующем виде (используя формулу Эйлера):

   где

Используя формулу Муавра, получаем, что  -ый корень уравнения определяется равенством:

   где

Далее учтем свойство комплексных корней уравнения с вещественными коэффициентами -- если корень  -- комплексный, то существует сопряженныйему корень  , т.е.  -- два корня уравнения и в разложении будет:

т.е. получаем двучлен с вещественными коэффициентами.

Рассмотрим два случая:  -- четное (действительных корней нет) и  -- нечетное ( -- единственный действительный корень).

Учитывая, что в разложение комплексный корень входит вместе со своим сопряженным,получаем, что

где  -- вещественные числа такие, что  -- корень.

Используя представление рациональной функции в виде суммы элементарных дробей (метод неопределенных коэффициентов), имеем:

далее, приводя к общему знаменателю и применяя метод неопределенных коэффициентов, определяем значения неизвестных  , где  и 

В общем случае получить ответ этим способом очень трудно и не нужно, но в частных случаях, при конкретном значении  достаточно легко, но рутино.

Найдем в аналитическом виде все корни данного уравнения и коэффициенты разложения на множители.

Рассмотрим случай четного показателя степени, т.е.  , из формулы Муавра получаем:

   где

Все корни расположены на единичной окружности комплексной плоскости  и образуют правильный  - угольник, так, что вершина -- это корень. Оси симметрии у многоугольника -- это оси  и  .

В симметричных относительно оси  вершинах находятся сопряженные корни, получаем, что корни  и  -- сопряженные, действительно:

и

здесь 

Учитывая вышеизложенное получаем:

где 

Рассмотрим случай нечетного показателя степени, т.е.  , из формулы Муавраполучаем:

   где

Все корни расположены на единичной окружности комплексной плоскости  и образуют правильный  - угольник, так, что вершина -- это корень. Ось симметрии у многоугольника -- это ось  . Вершина, которая соответствует корню  , расположена на оси  и имеет координаты  .

Симметричные относительно оси  являются сопряженными, получаем, что корни  и  -- сопряженные, действительно:

и

Учитывая вышеизложенное, получаем:

Здесь найдены коэффициенты  и  разложения на множители. Коэффициенты обладают свойством, что  для всех  .

Окончательно получим:

где