МАТАН ЭКЗАМЕН / 31 / критерий коши

Критерий Коши сходимости последовательности

Из определения сходимости последовательности  к точке a вытекает, что для любого  интервалом длиной 2 можно накрыть всю эту последовательность, исключением может быть конечное число ее элементов, если середину интервала поместить в точке . Справедливо и обратное : если последовательность  такова, что для любого можно накрыть всю эту последовательность, исключая может быть конечное число ее элементов, поместив центр интервала в некоторую точку, то она сходится. Сформулируем это утверждение более точно.

Определение. Подпоследовательность  называется последовательностью Коши или фундаментальной, если 

Теорема ( Критерий Коши ). Для того, чтобы последовательность  сходилась, необходимо и достаточно чтобы она была фундаментальной.

Доказательство:

Необходимость. Пусть  сходится. 

Достаточность. Пусть  - фундаментальная последовательность. Докажем, что она ограничена и .

Так как последовательность фундаментальна, то , в -окресности которой существуют все элементы .

Предположим, .

В отрезке [A, -A] содержатся все элементы последовательности, т.е.  - ограниченна.

В следствие теоремы Больцано-Вейерштрасса () < ().

 в силу произвольности