МАТАН ЭКЗАМЕН / 22 / формула лейбница
.docxПусть y = u·v, где u и v — некоторые функции от переменной x, имеющие производные любого порядка. Тогда
.
где есть число сочетаний из n элементов по k (k = 0, 1, 2, …, n). Доказательство. Для k = 1 имеем
для k = 2 имеем
для k = 3 имеем
Правые части полученных равенств похожи на разложения различных степеней бинома (u + v)n по формуле Ньютона, но вместо показателей степени стоят числа, определяющие порядок производных, а сами функции u и v для полной аналогии с формулой Ньютона нужно рассматривать как «производные нулевого порядка»: u(0) и v(0). Пусть формула Лейбница справедлива при k = n:
.
Докажем, что формула справедлива при k = n + 1. Действительно, в этом случае
Здесь воспользовались свойством сочетаний . Изменим индекс суммирования во второй сумме, положив k = p- 1. В этом случае
и в полученных суммах объединим попарно слагаемые, содержащие производные одинаковых порядков. После обозначения общего индекса суммирования через р, будем иметь
.
Так как и , получим
.
Пример 3. Вычислить n - ю производную (n ≥ 2) функции y = x2·cos x. Решение. В этом случае u = cos x и v = x2 и
Подставляя в формулу Лейбница, получаем