УМК

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D(X + Y) = D(X) + D(Y) .

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случай- ных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Например, для трех слагаемых имеем

D(X + Y + Z) = D((X + Y) + Z) = D(X + Y) + D(Z) = D(X) + D(Y) + D(Z) .

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины:

D(С + X) = D(X) .

Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(X − Y) = D(X) + D(Y) .

Рассмотрим следующую задачу. Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна. Чему равна дисперсия числа появлений события в этих испытаниях? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

D(X) = n p q .

Пример 1.38 Производятся 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной

величины X - числа появлений события в этих испытаниях.

Решение

D(X) = n p q = n p (1 − p) = 10 0,6 0,4 = 2,4 .

1.6.6. Среднее квадратическое отклонение

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения, кроме дисперсии, служат и некоторые другие характеристики, например, среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной величины X назы-

вают квадратный корень из дисперсии:

σ(X) = D(X) .

Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то размерность σ(X) совпадает с размерностью X. Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое отклонение, а не дисперсию. Например, если Х выражается в метрах, то

σ(X) будет выражаться также в метрах, a D(X) - в квадратных метрах. Пример 1.39 Случайная величина Х задана законом распределения

X	0	5	10	15
p i	0,2	0,4	0,3	0,1

Найти среднее квадратическое отклонение σ(X) .

Решение. Найдем математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X) :

M(X) = 6,5 , D(X) = 20,25 .

Тогда

σ(X) = 20,25 = 4,5 .

1.6.7. Числовые характеристики основных распределений дискретных случайных величин

Приведем без вывода основные числовые характеристики дискретных

случайных величин:

1) биномиальное распределение

P (X = k ) = Сk

p k

(1 − p) n −k ,

k=0, 1, 2, …, n,

n

n

M(X) = n p , D(X) = n p q ,

σ(X) =

;

n p q

2) распределение Пуассона

P (X = k) =

λk

e −λ

k=0, 1, 2, …,

n

k!

,

M(X) = λ ,

D(X) = λ ,

σ(X) =

;

λ

3) геометрическое распределение

P(X = k) = q k −1 p ,

k=0, 1, 2, …,

M(X) =

1

,

D(X) =

q

,

σ(X) =

q

;

2

p

p

p

4) гипергеометрическое распределение

P(X = m) =

Сm

Сn−m

M

N−M

СnN

,

m=0, 1, 2, ..., М,

n M

n m M (N − M)

M

M −1

M 2

M(X) =

D(X)

=

+ n (n −1)

−

N2

N −1

N

,

N

N

.

1.7.НАЧАЛЬНЫЕ И ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ

Рассмотрим дискретную случайную величину X, заданную законом рас-

пределения:

X	1	10	20	150
p	0,2	0,4	0,3	0,1

Найдем математическое ожидание M(X) :

M(X) = 1 0,2 + 10 0,4 + 20 0,3 + 150 0,1 = 25,2 .

Напишем закон распределения случайной величины X2:

X 2	1	100	400	22500
p	0,2	0,4	0,3	0,1

Найдем математическое ожидание M(X 2 ) :

M(X2 ) = 1 0,2 +100 0,4 + 400 0,3 + 22500 0,1 = 2410,2 .

Видим, что M(X 2 ) значительно больше M(X) . Это объясняется тем, что после возведения в квадрат возможное значение величины X2, соответствующее значению х=150 величины X, стало равным 22500, т. е. значительно увеличилось; вероятность же этого значения мала (0,1).

Таким образом, переход от M(X) к M(X 2 ) позволил лучше учесть влияние на математическое ожидание того возможного значения, которое велико и имеет малую вероятность. Разумеется, если бы величина Х имела несколько больших и маловероятных значений, то переход к величине X2, а тем более к величинам X3, X4 и т. д., позволил бы еще больше “ усилить роль” этих больших, но маловероятных возможных значений. Вот почему оказывается целесообразным рассматривать математическое ожидание целой положительной степени случайной величины (не только дискретной, но и непрерывной).

Начальным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины Xk:

νk = M(Xk ) .

В частности,

ν1 = M(X) , ν2 = M(X2 ) .

Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии

D(X) = M(X 2 ) − [M(X)]2

можно записать так:

D(X) = ν2 − ν12 .

Кроме моментов случайной величины Х, целесообразно рассматривать моменты отклонений X − M ( X ) .

Центральным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины (X − M ( X ) )k :

µk = M[(X − M(X))k ].

В частности,

µ1 = M [(X − M (X ) )] = 0 ,

µ2 = M[(X − M (X))2 ]= D(X) .

Легко выводятся соотношения, связывающие начальные и центральные моменты. Например, сравнивая выражения для дисперсии, получим

µ2 = ν2 − ν12 .

Нетрудно, исходя из определения центрального момента и пользуясь свойствами математического ожидания, получить формулы

µ3 = ν3 − 3ν1ν2 + 2ν13 ,

µ4 = ν4 − 4ν1ν3 + 6ν12ν2 − 3ν14 .

Моменты более высоких порядков применяются редко.

Отметим, что моменты, рассмотренные здесь, называют теоретически- ми. В отличие от теоретических моментов моменты, которые вычисляются по данным наблюдений, называют эмпирическими.

1.8. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Как говорилось ранее, дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Такой способ задания не является общим: он неприменим, например, для непрерывных случайных величин.

Действительно, рассмотрим случайную величину X, возможные значения которой сплошь заполняют интервал (a;b). Можно ли составить перечень всех возможных значений X? Очевидно, что этого сделать нельзя. Этот пример указывает на целесообразность дать общий способ задания любых типов случайных величин. С этой целью и вводят функции распределения вероятностей случайной величины.

Пусть х - действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что Х примет значение, меньшее х, т. е. вероятность события Х < х, обозначим через F(x). Разумеется, если х изменяется, то, вообще говоря, изменяется и F(x), т. е. F(x)-функция от х.

Функцией распределения называют функцию F(х), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х, т. е.

F(x) = P(X < x) .

Сгеометрической точки зрения это равенство можно истолковать так: F(х) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция».

Сучетом вышесказанного, можно дать более точное определение непрерывной случайной величины: случайную величину называют непрерывной, ес-

ли ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

1.8.1 Свойства функции распределения

Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1]:

0 ≤ F(x) ≤ 1.

Доказательство. Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не пре-

вышающее единицы.

Свойство 2. F (х) - неубывающая функция, т. е.

F(x 2 ) ≥ F(x1 ), если x 2 > x1 .

Доказательство. Пусть x 2 > x1 . Событие, состоящее в том, что Х примет значение, меньшее х2, можно подразделить на следующие два несовместных события:

1)Х примет значение, меньшее х2, с вероятностью P(X < x1 ) ;

2)Х примет значение, удовлетворяющее неравенству x1 ≤ X < x 2 , с веро-

ятностью P(x1 ≤ X < x 2 ) . По теореме сложения имеем

P(X < x 2 ) = P(X < x1 ) + P(x1 ≤ X < x 2 ) .

Отсюда

P(X < x 2 ) − P(X < x1 ) = P(x1 ≤ X < x 2 )

или

F(x 2 ) − F(x1 ) = P(x1 ≤ X < x 2 ) .

Так как любая вероятность есть число неотрицательное, то

F(x 2 ) − F(x1 ) ≥ 0

или

F(x 2 ) ≥ F(x1 ) .

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значе- ние, заключенное в интервале (a;b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

P(a ≤ X < b) = F(b) − F(a) .

Это важное следствие вытекает из свойства 2, если x 2 = b, x1 = a .

Пример 1.40 Случайная величина Х задана функцией распределения:

	0,		при x ≤ 1,
	(x -1)	2
F(x) =			, при 1 < x ≤ 3,
	4
			при x > 3.
	1,

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (1;2).

Решение. Так как на интервале (1;2), по условию,

= (x -1)2 F(x) ,

4

то

P(1 < X < 2) = F(2) − F(1) =	(2 -1)2	-	(1 -1)2	=	1
4		4		4 .

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

Действительно, положив

a = x1 , b = x1 + x

в формуле

P(a ≤ X < b) = F(b) − F(a) ,

имеем

P(x1 + x ≤ X < x1 ) = F(x1 + x) − F(x1 ) .

Пусть x → 0 . Тогда в силу непрерывности функции F(х) (Х - непрерывная случайная величина)

(F(x1 + x) − F(x1 )) → 0 ;

следовательно,

P(X = x1 ) = 0 .

Тогда

P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) .

Например, равенство P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) доказывается так:

P(a ≤ X < b) = P(X = a) + P(a < X < b) = P(a < X < b) .

Замечание. Ранее мы уже встречались с событиями, вероятности которых были равны нулю, – невозможные события. Теперь же рассматриваются события возможные, но с нулевой вероятностью. Они появляются только при рассмотрении опытов, не сводящихся к схеме случаев. Понятие о событии “ возможном, но обладающем нулевой вероятностью”, не более парадоксально, чем представление о фигуре, имеющей определенную площадь, тогда как ни одна из точек внутри фигуры отличной от нуля площадью не обладает. Фигура со- стоит из таких точек, но ее площадь не равна сумме их площадей. Сколь угодно малый элемент, выделенный из этой фигуры, имеет площадь; она приближается к нулю при уменьшении размеров элемента и в пределе равна нулю для точки.

Рис.1.3

Если производится опыт, в котором непрерывная случайная величина должна принять одно из своих возможных значений, то до опыта вероятность каждого из таких значений равна нулю. Однако в исходе опыта случайная величина непременно примет одно из своих возможных значений, т.е. заведомо произойдет одно из событий, вероятности которых были равны нулю.

Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а;b), то:

1)F(x) = 0, если x ≤ a ;

2)F(x) = 1, если x ≥ b .

Доказательство. 1) Пусть x1 ≤ a . Тогда событие X < x1 невозможно (так как значений, меньших x1 , величина Х по условию не принимает) и, следовательно, вероятность его равна нулю.

2) Пусть x 2 ≥ b . Тогда событие X < x 2 достоверно (так как все возмож-

ные значения Х меньше x 2 ) и, следовательно, вероятность его равна единице.

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотноше-

ния:		limF(x) =1.
lim F(x) = 0	,
x→−∞		x→∞

Сформулированные свойства позволяют представить, как выглядит график функции распределения непрерывной случайной величины.

График расположен в полосе, ограниченной прямыми y = 0, y = 1 (первое свойство).

При возрастании х в интервале (a;b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, ордината точек графика возрастает (второе свойство).

При x ≤ a ординаты графика равны нулю; при x ≥ b ординаты графика равны единице (третье свойство).

F(x)

График функции распределения непрерывной случайной величины изображен на рис.1.3.

Функция распределения дискретной случайной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции равна единице.

Пример 1.41 Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения

	X		-1	2	5
	p i		0,2	0,3	0,5
Найти функцию распределения и построить ее график.
Решение. Если x ≤ −1 , то		F(x) = 0 (третье свойство).

Если −1 < x ≤ 2 , то F(x) = 0,2 , т.к. Х может принять единственное возможное в данном случае значение -1 с вероятностью 0,2.

Если 2 < x ≤ 5 , то F(x) = 0,2 + 0,3 = 0,5 . Действительно, т.к. Х может принять значение -1 (вероятность этого события равна 0,2) или значение 2 (вероятность этого события равна 0,3). Поскольку эти два события несовместны, то по теореме сложения вероятность события Х < х равна сумме вероятностей

0,2+0,3=0,5.

Если x > 5 , то F(x) = 0,2 + 0,3 + 0,5 = 1. Действительно, событие X ≤ 8 достоверно, следовательно, его вероятность равна единице.

Итак, функция распределения аналитически может быть записана так:

	0,	при	x ≤ -1,
		при	- 1 < x ≤ 2,
0,2,
F(x) =	0,5,		2 < x ≤ 5,
		при
	1,	при	x > 5.

График этой функции приведен на рис.1.4.

F(x) 1

0.5

		0
-2	-1	0	1	2	3	4 x 5	6	7	8	9	10

Рис.1.4

По мере увеличения числа возможных значений случайной величины и уменьшения интервалов между ними число скачков становится больше, а сами скачки – меньше; ступенчатая кривая становится более плавной (рис.1.5.); случайная величина постепенно приближается к непрерывной величине, а ее функция распределения – к непрерывной функции (рис.1.3.).

На практике обычно функция распределения непрерывной случайной величины представляет собой функцию, непрерывную во всех точках. Однако можно построить примеры случайных величин, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, но для которых функция распределения не везде является непрерывной, а в отдельных точках терпит разрывы, такие случайные величины называются смешанными.

F(x) 1

		0
-2	-1	0	1	2	3	4	x5	6	7	8	9	10

Рис.1.5

В качестве примера смешанной случайной величины можно привести площадь разрушений, наносимых цели бомбой, радиус разрушительного действия которой равен R (рис.1.6).

II

I

III

Рис.1.6

Значения этой случайной величины непрерывно заполняют промежуток

(0, πR 2 ) , но при этом крайние значения промежутка 0 и πR 2 , осуществляющиеся при положении бомбы типа I и II, обладают определенной конечной вероятностью, и этим значениям соответствуют скачки функции распределения, тогда как в промежуточных значениях (положение типа III) функция распределения непрерывна (рис.1.7).

Итак, в общем случае функция распределения случайной величины может иметь график со скачками (разрывы I рода), который на отдельных участках может быть постоянной величиной, на других – монотонно возрастать (рис.1.8).

F(x) 1

0

x

Рис.1.7