УМК

Задание №2

Доказать непосредственно (по определению) сходимость следующих рядов и вычислить их суммы

∞

1

1. n∑=1

;

n(n + 2)

∞

1

3. n∑=1

;

(2n -1)(2n +1)

∞

1

5. n∑=1

;

(n + 2)(n + 3)

∞

1

7. ∑

;

n =1 (3n

+ 1)× (3n + 4)

∞

1

9.

∑

;

-

n =4 n 2

5n + 6

∞

1

11.

∑

;

-13n +

n =8 n 2

42

∞

1

13.

n∑=1

;

(3n -1)× (3n + 2)

∞

24

15.

∑

;

2

-12n -

5

n =2 9n

∞

1

17.

∑

;

2

n =1 n

+ 6n + 8

∞

12

19.

∑

;

2

n =1 9n

+ 6n - 8

∞

3

21.

∑

;

2

n =1 9n

+ 3n - 2

∞

6

23.

∑

;

n =2 n 2 -1

∞

5

25.

∑

;

2 + 5n -

6

n =1 25n

∞

1

27.

∑

;

2

n =1 3n

+ 21n - 8

∞

1

29.

∑

;

2

n =1 4n

+ 4n - 3

∞		1	+	1
2. ∑					;
n=1	2n			3n

∞1

4.n∑=1 (3n - 2)(3n +1);

∞		1	+	1
6. ∑					;
n =1	2n			5n

∞

2

8. ∑

;

+ 3n +

2

n =1 n 2

∞

1

10.

∑

;

2

+ n -

2

n =2 n

∞

1

12.

∑

;

2

-

n =5 n

7n +12

∞

2

14.

∑

;

2

-

4

n =3 n

∞

2

16.

∑

;

2 + 8n +

n =1 4n

3

∞

1

18.

∑

;

- n -

6

n =4 n 2

∞

4

20.

∑

;

2 + 4n -

n =1 4n

3

∞

1

22.

∑

;

n =6 n 2 -

8n + 15

∞

1

24.

∑

;

n =1 16n 2 -

8n - 3

∞

8

26.

∑

;

n =1 16n 2 -

8n -15

∞

7

28.

∑

;

n =1 49n 2 +

7n -12

∞

1

30.

∑

;

n =1 16n 2 +

8n - 3

Задание №3

Исследуйте на сходимость следующие ряды с положительными членами

	∞				1
1.	∑								;
	n =1 n(n +1)(n + 2)
	∞		n 2 +1
3.	∑					;
	n =1 n 3 +1						π
	∞		2n sin
5.	∑							;
							4n
	n =1
	∞			n
7.	∑				;
	n=1 n 3 +1

∞1

9.∑ n n n ;n =1

∞

1

1

11.

∑

sin

;

n =1 n

n

∞

1

13.

∑ sin

;

n =1

n 2

∞

1

15.

∑

;

n 2 + 2n + ln n

n =1

∞

2 + 3n

2

17.

∑

;

n =1

2 + 3n 2

∞

n +1

19.

∑

;

n =1

n 5

3n + 2

∞

21.

∑

;

(n 2 -

2)ln(3n -

n =2

1)

∞

n 3

23.

∑

;

(n +1) (n +1)(n +

2)

n =1

∞

n

25.

∑

;

n =1 3 + n 3

∞n −1

27.n∑=1 n(n +1)(n + 2);

	∞	2n sin	1
	29. ∑			;
			5n
	n=1

∞

n

3

+ 5

2.

∑

;

n =1 n 5 + n +

1

∞

1

4.

∑

;

n =1 5 n 4 ×4

n +1

∞

1

6.

∑ 2n arctg

;

n =2

3n

∞

1

;

8.

∑

n=3 n ln n

∞

n

2

+

2 -

n

2

- 2

10.

∑

;

n

n =2

∞

1

1

12.

∑

cos

;

2

n 1

n

n

=

∞

14.

∑

( n + 2 - 2

n +1 + n );

n =1

∞

1

16.

∑

;

n =1 n 2 - ln 2 n

∞

sin 2 n

18.

∑

;

n

n

n =1

∞

2n × sin

π

20.

∑

;

3n

n =1

∞

n

22.

∑

;

n =2

(n 2 +1)(n +1)

∞ 2n −1

24. ∑ ;

n =1 2n 2 +1

∞1

26.∑ ;

		n =1 5 n 4 × 4					n +10
		∞		n + 2
	28.	∑						;
			(n 3 -1)2
		n =1
		∞	n -1			5
	30.	∑				.
		n =1	n 2

Задание №4

Исследуйте на сходимость следующие числовые ряды с положительными членами

∞

n + 2

1.

∑

;

n =2 2n (n -1)

∞

(n +1)2

3. n∑=1 (n + 2)!;

∞

n n

5.

∑

;

(n!)2

n =1

∞

2n n!

7.

∑

;

n n

n =1

n! 3

∞

n +1

9.

∑

;

2n + 3

n =1

p

∞

(n +1)! sin

11.

∑

;

2n +1

n =1

∞

5n (n +1)!

13.

n∑=1

;

(2n)!

15.

∞

(3n + 2)!

∑

5n × n 2

;

n =1

∞

2n (n 2 -1)

17.

∑

;

n!

n=1

(n +1)arcsin

1

∞

n

19.

∑

;

n!

n =1

∞

5

2n

;

21.

∑

n =1

(2n -1)!

∞

32n

1

23.

∑

arcsin

;

n =1 n 2

4

2n

25.

∞

(n + 2)!

∑

;

n =1

n n

∞

3 × 5 × 7K(2n +1)

27.

∑

;

n =1 2 × 5 ×8K(3n -1)

∞ 2n × (n 3 +1)

29. ∑ ;

n=1 n 2 ×3n

∞ 3n × n!

2. n∑=1

;

(2n)!

∞

n!

4.

∑

;

n =1 (3n)!

∞

n!

6.

∑

;

n =1 n n−1

∞

4n

8.

∑

;

n =1 (n + 2)!3n

3n−1

∞

n 2 + 4

10.

∑

;

n =1

(n -1)!

∞

n + 4

2

12.

∑

sin

;

n!

n =1

3n

14.

∞

(n!)2

;

∑

3n

2

n =1

∞ (n +1)n

16. ∑ ;

n =1 3n n!

∞

n!

1

18.

n∑=1

(2n)! tg

;

3n

(n + 2)arctg

1

∞

n

;

20.

∑

(n + 2)!

n =1

∞

(n + 2)!

22.

∑

;

n =1

(n +1)n

∞

n +1

1

24.

∑

ractg

;

n =1 n + 2

2n

∞

1× 3 × 5K(2n -1)

26.

∑

;

n =1

2n (n +1)!

∞

n!

28.

∑

;

n =1

2n + 4

∞

n -1

5

30.

∑

.

n =1 n 2

Задание №5

Исследуйте на сходимость следующие числовые ряды с положительными членами

∞	1		n 2		+1		n 4
1 ∑								;
					2
n =1 3		n
			n

∞

2n +1 n2

;

3.

∑

n =1

4n +

2

∞

5.

∑ 2n−1 × e−n ;

n =1

∞

n

n3

7.

∑

;

n =1

3n -1

∞

n + 4 n 2

9.

∑

;

n =1

4n -1

∞

2

n

11.

∑

;

n =1 (ln n)n

∞

2n + 3 n

sin

n

p

;

13.

∑

n =1

4n -1

2n

∞

n 2 +1 n 2

15.

∑

;

2

2n

n =1

+1

∞

n + 6

n 2

17.

∑

;

n=1

2n −5

∞

3n + 2 n

× 2

n

;

19.

∑

8n−1

n =1

∞

n

n

× arcsin n

1

21.

∑

;

n

× n

n

1

ln

n

=

∞

2n -1

n 2

23.

∑

;

n =1

4n + 3

n

∞

n

2

× tg n

1

25.

∑

;

n + 2

n =1 (n +1)n

∞

2n + 3 n 2

n

1

27.

∑

× arctg

;

n =1

n +1

3n

∞

1

n 2 +1

n 2

2.

∑

;

n

2

n =1 3

+1

n

∞

n

n2

;

4.

∑

n =1

10n + 5

∞

n × 3n+2

6.

∑

;

5n

n =1

∞

1 n +1 n 2

8.

∑

;

n

n =1 2n

∞

2n + 3 n

×

1

;

10.

∑

2n -

e2n

n =1

3

∞

n -1 n

;

12.

∑

n =1

4n +1

∞

n

n

tg

n

1

;

14.

∑

n =1

n +

1

3n

∞

(n + 1)n 2

16.

∑

;

2

n =1 3n × n n

∞

5n -1 n

1

;

18.

∑

n =1

n

6n

∞

1

20.

∑ n n × sin n

;

2n

n =1

∞

1 n 2

1

22.

∑

1 +

×

;

n =1

n

4n

∞

n + 2 n 2 +n

;

24.

∑

n =1

3n -1

∞

n + 2 n2

× sin

n

p

26.

∑

;

3n +

n =1

1

5n

∞

n n ×3n

28.

∑

;

n =1 (6n +1)n

∞

n - 2 3n

n

∞

2n 2

+1

n

n 1

29. ∑

× 3

;

30. ∑

× arcsin

.

2

n =1 2n +1

n

n

n =1

+1

Задание №6

Исследуйте на сходимость следующие числовые ряды с положительными членами

∞

1

1.

∑

;

n

n=2 n ln 2

∞

1

3.

∑

;

n =2 n 2 -

1

∞

n

5.

∑

;

4

n =2 n 2 +

∞

e

−

n

7. ∑

;

n

n =1

∞

n + 1

9.

∑

;

n =2

n 3

∞

n

2

11.

∑

;

(n 2 +

n =2

1)ln n

∞

1

13.

n∑=5

;

(n - 2)ln(n - 3)

∞

n

15.

∑

;

n =2

(2n 2 + 3)ln n

∞

1

17.

∑

;

n =2 n ln 2 (n + 7)

∞

n

19.

∑

;

n=2

(n 2 + 5)ln n

∞

1

21.

∑

;

n =1 n 2 + 2n + 2

∞

1

23.

∑

;

(2n +

n =1

3)ln 2 (2n +1)

∞

n

25.

∑

;

n =2

(3n 2 -1)ln n

∞

1

∑

;

27.

n =2

(n + 3)ln 2 (2n)

	∞			1
2.	∑						;
	n =1	(n +1)			ln (n +1)
	∞	1
4.	∑		;
	n =1 n 2 +1
	∞	ln n
6.	∑					;
	n =2 n(ln 4			n +1)

∞1

8.∑ ;

n =2 n

ln3 n

∞

1

10.

∑

;

(n

n =2

+ 5)ln 2 (n +1)

∞

1

12.

∑

;

n =2 n (ln 2 n +1)

∞

1

14.

∑

;

n =1 n ln 2 (2n +

1)

∞

n

16.

∑

;

(n

2 -1)ln 2

n =2

n

∞

1

18.

n∑=2

;

(2n -1)ln(n +1)

∞

n

20.

∑

;

(n

2 -1)ln 2

n =2

n

∞

n

22.

∑

;

(n

2 +1)ln 2

n =1

n

∞

1

24.

∑

;

(3n - 5)ln 2 (4n -

n =3

7)

∞

1

26.

∑

;

(n

+ 2)ln 2

n =2

n

∞

n + 1

∑

;

(n

2 +1)ln 2

28.

n =2

n

∞			1			∞	n 2 + 1
29. ∑					;	30. ∑			.
n =1	(n 2		+1 )ln 2 (n 3 +1)			n=2	(n 3 + 1)ln 2	n

Задание №7

Исследовать на абсолютную сходимость числовые ряды с членами произвольных знаков

1. 1 -

1

-

1

+

1

+

1

-

1

-

1

+ K;

2

3

4

5

6

7

2. 1 -

2

+

3

-L +

(-1)n−1 n

+ K;

13

6n

-

5

7

3.

1

-

8

+ K + (-1)n+1

n 3

+ K;

4

2n

2

n π

∞

∞

4. ∑

ln n

sin

;

5.

∑ sin (p

n 2 +1);

n 1

n

2

4

n 1

=

(-1)n

=

∞

∞

sin n 2

6.

∑

;

7.

∑

;

+ (-

1)n

n =2

n

n =1 n 2 + cos2 n

∞

1

n

2

p

∞

sin n

8.

∑

cos

;

9.

∑

;

n 2 +

n =2 ln 2

n

n +1

n =10

10 sin n

∞

cos n

∞

sin n 2

10.

∑

;

11.

∑

;

n 2

n =5 n 2

+ 5 cos n

n =1

∞

(-1)n

∞

sin n × sin n

2

12.

∑

;

13.

∑

;

2

n 2

n =2

[n + (-1)n ]

n =1

3

∞

n

100

∞

14.

∑

sin n 3 ;

15.

∑

n

cos n 3 ;

n =0 2n

n =0 3n

∞

(-1)n 2

∞

cos n

2

16.

∑

;

17.

∑

;

[n + (-1)n ]3

n 3

n =2

n=1

∞

cos n × sin n

2

∞

cos n × cos n

2

18.

∑

;

19.

∑

;

n 2

n 4

n =1

n =1

n + 1

∞

cos n

4

p

× sin(2n);

∞

cos(2n);

20.

∑

21.

∑

n

3

4n

n =0

n =2

∞

1

n π

∞

sin n(n + 1)

22.

∑

cos

;

23.

∑

;

n =2 n ln3 n

n +1

n =1

(n +1)2

∞

sin

n π

∞

sin n 2 cos n

4

25.

∑

;

24.

∑

;

n =0

(n +1)

+1

n =1 n 3

3

∞

ln 2

n

(n +1 )p

np

sin

nπ

26.

∑

sin

cos

;

∞

12

n =2

n 3

4

4

27.

∑

;

n=2 n 3 +1

∞

cos

2

(n +1)cos n

∞

cos n π

28.

∑

;

29.

∑

;

n =2

n 2 +1

n=1 n 2 + 1

∞

cos2 n × sin

n π

30.

∑

2

.

n =1

n 2 +1

Задание №8

Исследовать на абсолютную сходимость ряды с членами произвольных знаков

∞

sin

π n

ln 2 n × cos

π n

4

∞

1.

∑

;

2.

∑

8

;

n =1 n

n + sin p n

n =2

n 2

∞

4

1

p n

2

∞

sin n

3.

∑

× cos

;

4.

∑

;

(

)

n =1

ln

2

n +1

n 1

n + sin

2

n

n

+1

=

∞

(-1)n

sin n

∞

sin

n π

5.

∑

;

6.

∑

2

;

2

+1

n p

=

n

n =1

n 1

n

n + sin

2

n π

∞

cos n

2

∞

sin

7.

∑

;

4

n =1

4

3

+1

8.

∑

;

n

+ (-1)n

n =2 n 2

∞

n!en

p n

∞

cos π n

9.

∑

× sin

;

10.

∑

8

;

n+2

n =1 n

4

n =2

3 n 4 + (-1)n

cos(n

2

+1)sin

1

∞

1

∞

1

- cos

sin n

11.

∑

;

n

n =1

n

n

12.

∑

;

n

n2 +1

n =1

(-1)

1

2n + (- 3)n

1

- cos

∞

∞

n

14.

∑

;

13.

∑

;

n =1

n n +1

n +1

n =1

∞

15. ∑

n =1

∞

17. ∑

n =1

∞

19. ∑

n =1

∞

21. ∑

n =1

∞

23. ∑

n =1

∞

25. ∑

n =2

∞

27. ∑

n =1

∞

29. ∑

n =1

	1		sin	1			;
	n 2 + 4				n

(- n)4 cos(2n); 4n

sin(n 2 +1)cos (n +1);

(n +1)2

n 2 × sin n +1

× sin

1

;

3 n 5 +1

n

(-1)

n (n−1)

n

2

;

3n

(-1)

n (n−1)

1

1 +

1

n

1

2

×

× sin

;

n

n

n

cos(n + 1)sin n; n 2 +1

(1 + cos n)sin	1		× sin n;
n + 2		n

∞

16. ∑

n =2

∞

18. ∑

n =2

∞

20. ∑

n =1

∞

22. ∑

n =1

∞

24. ∑

n =1

∞

26. ∑

n =1

∞

28. ∑

n =1

∞

30. ∑

n =1

cos n

;

3

+ (-1)n

n 4

ln n − n

;

n 2

n

sin 2 n × cos (n

2 +1)

;

n 2 +1

sin n × cos

1

n

×sin 2

1

;

n +1

n

cos n

sin

n

;

n

n

+1

sin (an 2 + 1), a - const; n 2 + 1

sin n 2 sin 1

n ;

n +1

(1 + sin n 2 )cos n. n 2 +1

Задание №9

Доказать справедливость следующих равенств при помощи необходимого условия сходимости рядов:

1.	lim			2n		= 0;
	n→∞ n !
3.	lim			(2n)!					= 0;
	n→∞ a n!
5.	lim		n100					= 0;
	n→∞ 2n					2
7.	lim			n						= 0;
	n→∞ (n + 1)!
9.	lim			n 4					= 0;
				(2n)!
	n→∞

(n + 1)! = 11. lim ( ) 0;

n→∞ 2n +1 !

n

2. lim (n ) = 0;

n→∞ 2n !

4. lim	n	= 0;
n→∞ 2n

6. lim (n10 − 1)= 0;

n→∞

8. lim		n 2		+1			= 0;
			(2n)!
n→∞
10.	lim		(n + 1)! = 0;
	n→∞			2	n2
12.	lim		(n + 1)! = 0;
	n→∞			n n

			n n+1
13.	lim				= 0;
	n→∞		(2n)!
15.	lim		(n + 2)!							= 0;
			(n +1)n
	n→∞
			n 2
17.	lim					= 0;
	n→∞		(n -1)!
19.	lim		n n							= 0;
			(2n + 3)!
	n→∞
21.	lim		(n +1)3							= 0;
			(2n + 3)!
	n→∞
23.	lim		(n +1)5							= 0;
			(2n +1)!
	n→∞
25.	lim		n!	= 0;
	n→∞ 3n2
27.	lim (5n)! = 0;
	n→∞ 2n2
29.	lim		n 2 + 4							= 0;
			(2n +1)!
	n→∞

	14.	lim		[5(n -1)]n							= 0;
		n→∞		(2n +1)!
	16.	lim		n n +1							= 0;
				[(n + 3)!]2
		n→∞
	18.	lim		n!	= 0;
		n→∞ 3n2
				(n -1)n
	20.	lim						= 0;
		n→∞		(2n +1)!
	22.	lim		(n + 10)! = 0;
		n→∞		(n +1)n
				3n
	24.	lim							= 0;
		n→∞		(2n + 3)!
	26.	lim		n!		= 0;
		n→∞ 2n 2
				23n
	28.	lim					= 0;
		n→∞		(n + 4)!
	30.	lim		(2n)! = 0;
		n→∞		(2n 2 )!

Задание №10

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующие знакочередующиеся ряды

∞

(-1)n +1

∞

(-1)n +1

1.

∑

;

2.

∑

;

n =1 3n -1

n =1

n +1

3.

∞

(-1)n +1

4.

∞

(-1)n ln(n +1)

∑

;

∑

n

;

n =1 5n - 3

n =1

∞

(-1)

n +1

∞

(-1)n+1

2

n 2

5.

∑

;

6.

∑

;

n +

n!

n =1

2

n =0

∞	(-1)n+1 n
7. ∑	;
n =0	n 2 +1

∞	(-1)n−1 ×			(2n +1)	;
9. ∑		n(n +1)
n =1
11. ∑		(-1)		× (n +1) ;
∞			n

n =1 (n +1)× n +1 -1

		∞ (-1)n+1 × n
	8. ∑			;
	n =1			6n - 5
		∞	(-1)n ×				2n +1			n
	10.	∑								;
		n =1			3n +1
		∞		(-1)n −1
	12.	∑				;
		n =1			n + 4

	∞	(-1)n+1
13.	∑					;
	n =1 n 3		2n + 3
15.	∞	(-1)n +1 × cos 3n+1
	∑		;
	n =1			3n+1
	∞	(-1)n−1 × (2n -1)
17.	∑						;
	n =1			n 5 +1

∞(-1)n+1

19.∑ × 4 2n + 3 ;n =1 n

∞

(-1)n+1

21.

∑

;

n =0 n 2 + sin 2

n

n

∞

(-1)n+1 ×

n

23.

∑

;

n =1

2n +1

∞

(-1)n+1

25.

∑

;

n =1 n × n 2 + 4

∞

(-1)n−1 × sin (n

)

n

27.

∑

;

n

n

n =1

∞(-1)n+1 × n

29.n∑=1 (n +1)(n + 2) ;

∞

(-1)n +1

14.

n∑=3

;

(n +1)ln (2n)

(-1)n+1 × tg

π

∞

4

n

16.

∑

;

5n 2 -1

n =1

∞

(-1)n−1 × (n +1)

18.

∑

;

n 3

n =1

∞

(-1)n +1

20.

n∑=1

;

(n + 1)ln (n + 1)

∞

(-1)

n

1

22.

∑

ln 1

+

;

n

n =1

2

∞

(-1)n+1

24.

∑

;

n =1 ln (n +1)

∞

(-1)n+1

n

+ 1

26.

∑

;

n =1

n 5

∞

(-1)n +1 × tg

1

28.

∑

n

;

n

n =1

∞

(-1)n+1 × n

30.

∑

.

6

n =4 n 2 - 5n +

Задание №11

Вычислить сумму следующих рядов с заданной точностью

1 ∑∞	(-1)n+1	, a = 0,01;	2. ∑∞ (− 1)n−1	, α = 0,001;
n =1	n 2		n=1 n!

∞	(-1)n−1
3. ∑	, a = 0,001;
n =1	(3n)3

5.	∞	(-1)n +1 × (n +1)
	∑	2n		, a = 0,01;
	n =1
	∞	(-1)n +1 n
7.	∑			, a = 0,01;
	n =1 n 2 + 2n +		1
9.	∞	(-1)n+1
	∑	, a = 0,01;
	n =1	(3n)!

	∞		(-1)n+1
4.	∑					, a = 0,01;
	n =1 n(n +1)
6.	∞	(-1)n+1 (n + 2)
	∑			3n			, a = 0,01;
	n =1
	∞		(-1)n +1
8.	∑						, a = 0,001;
			(n + 1)n
	n =1
	∞			(-1)n +1			× n 2
10. ∑							, a = 0,001;
	n =1			3n +1