Учебник по теориии вероятности
.pdfУ к а з а н и е . Перейти к условным вариантам м/ =jc/—2620.
455. По выборке объема /г = 41 найдена смещенная оценка D„ = 3 генеральной дисперсии. Найти несмещен ную оценку дисперсии генеральной совокупности.
Р е ш е н и е . Искомая несмещенная |
оценка равна исправленной |
дисперсии: |
|
S^ == - ^ DB = ~ |
-3 = 3,075. |
456.По выборке объема л = 51 найдена смещенная оценка DB = 5 генеральной дисперсии. Найти несмещен ную оценку дисперсии генеральной совокупности.
457.В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без систематических ошибок) получены сле дующие результаты (в мм): 92; 94; 103; 105; 106. Найти: а) выборочную среднюю длину стержня; б) выборочную
иисправленную дисперсии ошибок прибора.
Р е ш е н и е , а) Найдем выборочную среднюю:
|
i ^ = 9 2 + ( 0 - b 2 + n + 13 + 14)/5-=92-h8 = 100. |
б) Найдем выборочную дисперсию: |
|
Оя |
.=[(92—100)* + (94-~ 100)2+(103—100)2]/5+ |
+ [(105 —100)«-!- (J06—100)2]/5 = 34. Найдем исправленную дисперсию:
п—1 D B = ^ - 3 4 = 42,5.
458.В итоге четырех измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: 8; 9; 11; 12. Найти: а) выборочную среднюю результатов измерений; б) выбо рочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.
459, Ниже |
приведены результаты измерения роста |
(в см) случайно |
отобранных 100 студентов. |
Рост |
154—I58|l58—162 162—166 166—170 170—174 174—178| 178—182 |
||||||
Число |
|
|
|
|
|
|
|
сту |
10 |
14 |
26 |
28 |
12 |
8 |
2 |
дентов |
Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию
роста обследованных |
студентов. |
У к а з а н и е . Найти |
середины интервала и принять их в ка |
честве вариант. |
|
160
460. Найти выборочную дисперсию по данному рас пределению выборки объема /г=10:
Xi |
186 |
192 |
194 |
Ai,. |
2 |
5 |
3 |
Р е ш е н и е . Варианты—сравнительно большие числа, поэтому перейдем к условным.вариантам Uf^^Xi—191 (мы вычли из вариант
число С = 191, близкое |
к выборочной |
средней). В итоге получим |
||
распределение условных |
вариант: |
|
|
|
|
Ui |
—5 |
1 |
3 |
|
Л/ |
2 |
5 |
3 |
Найдем искомую выборочную дисперсию:
—[(2. (—5) + 51+3 - 3)/10]2 = 8,2—0,16 = 8,04.
461.Найти выборочную дисперсию по данному рас пределению выборки объема л =100:
Х; |
340 |
360 |
375 |
380 |
п,. |
20 |
50 |
18 |
12 |
У к а з а н и е . Перейти к условным вариантам а/ =д:/—360.
462. Найти выборочную дисперсию по данному рас пределению выборки объема п=100:
Xi |
2502 |
2804 |
2903 |
3028 |
rii |
8 |
30 |
60 |
2 |
У к а з а н и е . Перейти к условным вариантам Ui = Xi—2844.
463. Найти выборочную дисперсию по данному рас пределению выборки объема п = 1 0 :
Xi 0,01 |
0,04 |
0,08 |
|
п,. |
5 |
3 |
2 |
Р е ш е н и е . Для того |
чтобы избежать действий с дробями, |
перейдем к условным вариантам а,==100х/. В итоге получим рас
пределение |
1 |
4 |
8 |
Ui |
|||
л/ |
5 |
3 |
2 |
Найдем выборочную дисперсию условных вариант:
Ов (и) = (S «,«?)/л-[(2 л,«,)/«]^
Подставив в эту формулу условные варианты и их частоты, получим
D B ( « ) = 7,21.
Найдем искомую выборочную дисперсию первоначальных вариант: DB(A:) = DB(W)/1002 =7,21/10 000 = 0.0007.
161
464. Найти выборочную дисперсию по данному рас пределению выборки объема /г = 50:
xi |
0,1 |
0,5 |
0,6 |
0,8 |
rii |
5 |
15 |
20 |
10 |
У к а з а н и е . Перейти к условным вариантам U{ = \Ox{.
465. Найти выборочную дисперсию по данному рас пределению выборки объема п = 50:
Xi |
18,4 |
18,9 |
19,3 |
19,6 |
Л; |
5 |
10 |
20 |
15 |
У к а з а н и е . Перейти к условным вариантам Ui^=\Oxi—195.
466. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки /г = 10:
|
Xi |
102 |
104 |
108 |
|
|
|
/г^ |
2 |
|
3 |
5 |
|
Р е ш е н и е . |
Перейдем к |
условным вариантам |
ut^Xi—104. |
|||
В итоге получим |
распределение |
|
|
|
||
|
|
«/ |
—2 |
О |
4 |
|
|
|
/I/ |
2 |
3 |
5 |
|
Найдем исправленную выборочную дисперсию условных вариант:
^" 1Г^\ •
Подставив в эту формулу условные варианты, их частоты и объем
выборки, получим 5^=6,93.' Все первоначальные варианты были уменьшены на одно и то же
посюянное число С =104, поэтому дисперсия не изменилась, т. е. искомая дисперсия равна дисперсии условных вариант: ^х'^^^ ==6,93.
467. Найти |
исправленную |
выборочную |
дисперсию |
||
по данному распределению выборки объема |
п = 100: |
||||
Xi |
1250 |
1275 |
1280 |
1300 |
|
п^ |
20 |
25 |
50 |
5 |
|
У к а з а н и е . Перейти к условным вариантам Ui^=^Xi—1275.
4в8, Найти исправленную выборочную дисперсию по
данному распределению выборки объема |
п=\0: |
||||
Xi |
0,01 |
|
0,05 |
0,09 |
|
П/ |
2 |
|
3 |
5 |
|
Р е ш е н и е . Для того чтобы |
избежать действий с дробями, пе |
||||
рейдем к условным вариантам а/=: lOOx/. В итоге |
получим распре |
||||
деление |
<// |
1 |
5 |
9 |
|
|
|
||||
|
п/ |
2 |
3 |
5 |
|
162
Найдем исправленную выборочную дисперсию условных вариант
^== 7Г=Г1
Подставив в згу формулу данные задачи, получим s ^ ^ 10,844.
Найдем искомую исправленную дисперсию первоначальных вариант:
4=л^ /100*» 10,844/10 000 с^ 0,0085.
469.Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема /1 — 20:
Xi |
0,1 |
0,5 |
0,7 |
0,9 |
П/ |
6 |
12 |
1 |
1 |
У к а з а н и е . Перейти к условным вариантам а/»Юдг/.
470. Найти исправленную |
выборочную дисперсию по |
|||
данному распределению выборки объема п = 10: |
||||
х^ |
23,5 |
26,1 |
28,2 |
30,4 |
п^ |
2 |
3 |
4 |
1 |
У к а з а н и е . Перейти к условным вариантам UisЮдг/ —268. |
||||
§ 2. Метод момеитов |
||||
Метод моментов т о ч е ч н о й о ц е н к и |
неизвестных параметров |
заданного распределения состоит в приравнивании теоретических моментов соответствующим эмпирическим моментам того же порядка.
Если распределение определяется о д н и м п а р а м е т р о м » то для его отыскания приравнивают один теоретический момент одному эмпирическому моменту того же порядка. Например, можно при
равнять начальный |
теоретический момент |
первого порядка началь |
ному эмпирическому |
моменту первого порядка: Vi=sAfx. Учитывая, |
|
1ITO Vi=sM(X) и Aii=XB, получим |
|
|
|
М ( Х ) - 1 , . |
(•) |
Математическое ожидание является функцией от неизвестного параметра заданного распределения, поэтому, решив уравнение (*) относительно неизвестного параметра, тем самым получим его точеч ную оценку.
Если распределение определяется д в у м я п а р а м е т р а м и , то приравнивают два теоретических момента двум соответствующим эм пирическим моментам того же порядка. Например, можно прирав нять начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка и центральный теорети ческий момент второго порядка центральному эмпирическому моменту второго порядка:
163
Учитывая, что Vi=M(X), |
Mi^x^, ^i2=Z)(X), та==Ов, имеем |
\ D ( X ) = DB.
Левые части этих равенств являются функциями от неизвестных параметров, поэтому, решив систему (**) относительно неизвестных параметров, тем самым получим их точечные оценки.
Разумеется, для вычисления выборочной средней дсв и выбо рочной дисперсии DB надо располагать выборкой Xi, Хг, ...,л:„.
471. Случайная величина X распределена по закону Пуассона
где m—число испытаний, произведенных в одном опыте; Х/—число появлений события в t-м опыте.
Найти методом моментов по выборке х^, AT^, . . . • х„ точечную оценку неизвестного параметра Я, определяю щего распределение Пуассона.
Р е ш е н и е . Требуется оценить один параметр, поэтому доста точно иметь одно уравнение относительно этого параметра. Прирав
няем |
начальный теоретический момент первого порядка |
V] началь |
ному |
эмпирическому моменту первого порядка Afi: |
|
|
V i = M i . |
|
Приняв во внимание, что Vi==Al(X), Mi = x'^, получим |
Л1(Х) = дг^1. |
Учитывая, что математическое ожидание распределения Пуассона равно параметру к этого распределения (см. задачу 207), оконча тельно имеем k=Xji.
Итак, точечной оценкой параметра X распределения Пуассона служит выборочная средняя: Х*=дгв.
472. Случайная величина X (число семян сорняков в пробе зерна) распределена по закону Пуассона. Ниже приведено распределение семян сорняков в п = 1000 про бах зерна (в первой строке указано количество х^ сор няков в одной пробе; во второй строке указана частота /I/—число проб, содержащих х^ семян сорняков):
л:,. |
О |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
п^ |
405 |
366 |
175 |
40 |
8 |
4 |
2 |
Найти методом моментов точечную оценку неизвест ного параметра распределения Пуассона•
У к а з а н и е . Использовать решение задачи 471.
473. Случайная величина X (число нестандартных изделий в партии изделий) распределена по закону Пу-
164
ассона. Ниже приведено распределение нестандартных изделий в п = 200 партиях (в первой строке указано количество л:,- нестандартных изделий в одной партии; во второй строке указана частота м,- — число партий, содержащих Xi нестандартных изделий):
АГу |
О |
1 |
2 |
3 |
4 |
rii |
132 |
43 |
20 |
3 |
2 |
Найти методом моментов точечную оценку неизвест ного параметра X распределения Пуассона.
474. Найти методом моментов по выборке Xj, х^, . . . , Хп точечную оценку параметра р биномиального распре деления
где Х( — число появлений |
события |
в /-м опыте (/ = 1, 2, |
. . . , /г), т — количество испытаний |
в одном опыте. |
|
У к а з а н и е . Приравнять |
начальный теоретический момент пер |
|
вого порядка начальному эмпирическому |
моменту первого порядка. |
|
475. Случайная величина X (число появлений собы |
тия А ъ т независимых испытаниях) подчинена биноми альному закону распределения с неизвестным парамет
ром р. |
Ниже приведено |
эмпирическое распределение |
числа |
появлений события |
в 10 опытах по 5 испытаний |
в каждом (в первой строке |
указано число Xi появлений |
события А в одном опыте; во второй строке указана
частота л,- — количество опытов, |
в |
которых наблюдалось |
|||
Xi появлений события Л): |
|
|
|
|
|
X,. |
О |
1 |
2 |
3 |
4 |
л,. |
5 |
2 |
1 |
1 |
1 |
Найти методом моментов точечную оценку параметра р биномиального распределения.
У к а з а н и е . Использовать решение задачи 474.
476. Найти методом моментов по выборке х^, Xg, . . . , Хп точечную оценку неизвестного параметра X показа тельного распределения, плотность которого f{x) = Xe-'^^ (х>0) .
477. Случайная величина X (время работы элемента) имеет показательное распределение f{x) = Xe-^ (х^О). Ниже приведено эмпирическое распределение среднего времени работы п=200 элементов (в первой строке при-
165
ведено среднее время х^ работы элемента в часах; во вто рой строке указана частота щ—количество элементов» проработавших в среднем Х/ часов):
Xi |
2,5 |
7,5 |
12,5 |
17,5 |
22,5 |
27,5 |
л^ |
133 |
45 |
15 |
4 |
2 |
1 |
Найти методом моментов точечную оценку неизвест ного параметра показательного распределения.
У к а з а н и е . Использовать решение задачи 476.
478. Найти методом моментов точечную оценку пара метра р (вероятности) геометрического распределения P(X = Xi) = {}—pY'''^-pf где X/—число испытаний, про изведенных до появления события; р—вероятность по явления события в одном испытании.
Указание . Принять во внимание, что М(X) = 1/р (см. за дачу 222).
479.Найти методом моментов оценку параметра р геометрического распределения Р{Х = х^) = {1—ру^'^-р^ если в четырех опытах событие появилось соответственно после двух, четырех, шести и восьми испытаний.
480.Найти методом моментов по выборке х^, х,, ...» Хп точечные оценки неизвестных параметров а и р гам ма-распределения, плотность которого
/(^) = ра^хг\а+1)^^^"^^ ( а > - 1 . Р > 0 , х>0) .
Решение. Для отыскания двух неизвестных параметров не обходимо иметь два уравнения; приравняем начальный теоретический момент первого порядка Vi начальному эмпирическому моменту пер вого порядка Ml и центральный теоретический момент второго по рядка fis центральному эмпирическому моменту второго порядка т^;
Учитывая, что Vi = Ai(X), Мг^х^^ ^ia=Z>(X), m^^D^, имеем ГЛ1(Х)=7,. *.
Математическое ожидание и дисперсия гамма-распределения со ответственно равны Л1 (Х) = (а+1)Р» D(X)=(aH-l)p* (см. зада чу 302), поэтому (^) можно записать в виде
/(а+1)р=7„
Ua+1)P*=I>B.
Решив эту систему, окончателыю^ получим искомые JFOчeчныe оценки ненэтестяых параметров: а*=(х^)^/0,^—1, ^*=0^/х^'
16в
481. Случайная величина X (уровень воды в реке по сравнению с номиналом) подчинена гамма-распределению,
плотность |
которого |
определяется |
параметрами а |
и Э |
|||||
( а > — 1 , р > 0 ) : |
|
|
|
|
|
|
|||
Ниже приведено распределение среднего уровня |
воды по |
||||||||
данным |
/г = 45 паводков (в первой |
строке указан |
сред |
||||||
ний уровень воды х^ (см); |
во второй строке приведена |
||||||||
частота |
п^- — количество |
паводков со |
средним |
уровнем |
|||||
воды JC,): |
|
|
|
|
|
|
|
||
Xi |
37,5 |
62,5 |
87,5 |
112,5 |
137,5 |
162,5 |
187,5 |
250 |
350 |
п ^ 1 3 6 7 |
|
7 |
5 |
4 8 4 |
Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров а и р рассматриваемого гамма-распределения.
Р е ш е н и е . |
Используем точечные оценки параметров |
гамма- |
распределения (см. задачу 480): |
|
|
|
O C * = ( 7 B ) V Z ) B - 1, Р * = ^ В М В . |
П |
По заданному |
распределению легко найдем выборочную среднюю |
|
и выборочную дисперсию: х^=1&6, DB = 6782. |
|
Подставив эти числа в формулы (*), окончательно получим искомые точечные оценки неизвестных параметров рассматриваемого гамма-распределения: а* =3,06, р* =40,86.
482. Устройство состоит из элементов, время безот казной работы которых подчинено гамма-распределению. Испытания пяти элементов дали следующие наработки (время работы элемента в часах до отказа): 50, 75, 125, 250, 300. Найти методом моментов точечные оценки неизвест ных параметров а и р , которыми определяется гаммараспределение.
У к а з а н и е . Использовать решение задачи 480. Учесть, что объем выборки п = 5 мал, поэтому в формулах для вычисления па раметров а и р вместо выборочной дисперсии подставить исправлен ную дисперсию s^ = 'Lni(Xi—х^)^/(п — 1).
483. Найти |
методом моментов по выборке лг^, Xg, . . . , |
|||
Хп точечные оценки |
неизвестных параметров а и о нор |
|||
мального распределения, плотность |
которого |
|||
|
/(л:) = —i=e-<^-«>V(2a«). |
|||
У к а з а н и е . |
Приравнять |
начальный |
теоретический момент |
|
первого порядка |
и центральный |
теоретический момент второго по |
||
рядка соответствующим |
эмпирическим моментам. |
167
484. Случайная величина X (отклонение контролируе мого размера изделия от номинала; подчинена нормаль ному закону распределения с неизвестными параметрами а и о. Ниже приведено эмпирическое распределение от клонения от номинала п = 200 изделий (в первой строке указано отклонение х^- (мм); во второй строке приведена частота п,- — количество изделий, имеющих отклонение Xf):
Xi |
0,3 |
0,5 |
0,7 |
0,9 |
1,1 |
1,3 |
1,5 |
1,7 |
1,9 |
2,2 |
2,3 |
п^ |
6 |
9 |
26 |
25 |
30 |
26 |
21 |
24 |
20 |
8 |
5 |
Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров а и о нормального распределения.
У к а з а н и е . |
Использовать задачу 483. |
|
||
485. Найти |
методом моментов |
по выборке х^, дг^, |
...» |
|
х„ точечные |
оценки параметров а |
и b равномерного |
рас |
|
пределения, |
плотность которого |
/ (х) = 1/(6—а) (6 > а). |
У к а з а н и е . Использовать решения задач 313, 315.
486. Случайная величина X (ошибка измерения даль ности радиодальномером) подчинена равномерному за кону распределения с неизвестными параметрами а и Ь. Ниже приведено эмпирическое распределение средней ошибки л = 200 измерений дальности (в первой строке указана средняя ошибка л:,-; во второй строке указана частота п^—количество измерений, имеющих среднюю ошибку АГ/):
л:,. 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 п^ 21 16 15 26 22 14 21 22 18 25
Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров а и Ь равномерного распределения.
У к а з а н и е . Использовать задачу 485.
487. Найти методом моментов по выборке х^, х^, . . . , л:„ точечные оценки неизвестных параметров Х^ и Яд «двойного распределения» Пуассона
1 |
Х^'е~^« |
1 |
Х^'е~^« |
* \Х = Xf) = -оГ • |
; |
h "о* • |
i — » |
где х^ — число появлений события в п^ испытаниях Х^ и Яа—положительные числа, причем X2>^i.
Р е ш е н и е . Если случайная величина Z распределена по закону Пуассона с параметром X, то ее начальные теоретические моменты
168
первого и второго порядка соответственно равны (см. задачи 207, 227):
Vi = Af(Z)==^,
Найдем начальные теоретические моменты первого и второго порядка рассматриваемой случайной величины X, учитывая соотно шения (*):
Vi = M (X) = A,,/2 + X2/2=(Xi + X2)/2,
V2=Af(X2) = (l/2)(^i + A?)+(l/2)(X2 + ^l)=Vi+(>.?+Xi)/2.
Отсюда
/Xi + X2 = 2vb
\Xf + X| = 2v2 —2vi.
Решив эту систему относительно неизвестных параметров, приняв во внимание, что Лг > Ki, получим:
^i = vi —Kv2-—Vi —V?, X2 = Vi+K Va —Vi —V?.
488. Случайная величина X распределена по «двой ному» закону Пуассона:
|
|
|
|
|
1 |
Xfe-^* |
1 Ц^e-^* |
|
|||||
|
Р |
(2С = |
X:) == "7Г • |
|
i |
|
Ь 7Г " |
i |
• |
||||
Ниже приведено эмпирическое распределение числа |
|||||||||||||
появлений |
события |
в л = 327 |
испытаниях |
(в первой |
|||||||||
строке указано число х,- появлений события; |
во второй |
||||||||||||
строке |
приведена частота |
|
n^• — количество |
испытаний, |
|||||||||
в которых появилось Х/ событий): |
|
|
|
|
|||||||||
|
X,. |
О |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
п^ 28 47 |
81 67 |
53 |
24 |
13 |
8 |
3 |
2 |
1 |
||||
Найти методом моментов точечные оценки неизвест |
|||||||||||||
ных параметров |
Х^ и К^ «двойного |
распределения» Пу |
|||||||||||
ассона. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У к а з а н и е . |
Использовать |
решение |
задачи |
487. |
Вычислить по |
||||||||
выборке |
начальные |
эмпирические |
моменты |
первого и второго по |
|||||||||
рядков: |
|
Ml = ( 2 niXi)/n, |
Af2 = ( 2 ^i^b/^- |
|
|||||||||
|
|
|
§ 3. Метод наибольшего правдоподобия
Метод наибольшего правдоподобия точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения сводится к отысканию макси мума функции одного или нескольких оцениваемых параметров.
А. Дискретные случайные величины. Пусть X—дискретная слу чайная величина, которая в результате «опытов приняла возмож ные значения Xi, х^, . . . , л:„. Допустим, что вид закона распреде ления величины X задан, но неизвестен параметр в , которым оп-
169