SopromatGafarov

П р и л о ж е н и е 1

ОПОРНЫЙ

КОНСПЕКТ

ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ

1.ВНУТРЕННИЕ СИЛОВЫЕ ФАКТОРЫ

ИОСНОВНЫЕ ВИДЫ НАГРУЖЕНИЯ

	N
N - продольная сила	Растяжение	Сжатие
	Qx (Qy )− поперечные	Сдвиг	Qy
	силы

M x (M y )− изгибаю- щие моменты

Мх

И	б
	зги

M z	− крутящий	Кручение		z
	момент
			Mz

Дифференциальные зависимости

dN/dz = −qz dQy /dz = −qy dMx /dz = Qy

dMdzz = −mz

126

Интегральные зависимости

				z		z	z
N = No − ∫qz dz, Q y = Qo − ∫qy dz, M z = M o − ∫mz d z,
				o		o	o
						z
					M x = M o + ∫Qy dz = M o + ωQ .
						o
					Частные случаи
qz (qy )= ±q ,					mz = ±m	qz (qy )= 0 , mz = 0
N = No ± qz						N = No = const
Qy		= Qo ± qz				Qy = Qo = const
M z		= M o ± mz				M z = M o	= const
M	x	= M	o	+ Q z ± 0,5 qz2		M x = M o + Qo z
					o

2. ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ

Распределение

нормальных σz = N/A

напряжений

Условие прочности

σmax ≤ [σ].

Допускаемое напряжение

[σ] = σпред /[n]

σт(σ0,2 ) − дляпластичныхматериалов,

σпред =

σпч − для ххрупкихматериалов

хрупкие, если δ < 5%

Материалы	пластичные, если δ > 5%

127

Нормативный коэффициент запаса прочности [n] равен: для пластичных высокооднородных материалов (сталь, сплавы алюминия, титана,

магния и меди) – 1,5...2,5; для чугуна – 4...6; для дерева – 8...10.

Ориентировочные значения допускаемых напряжений на растяжение, МПа: стали углеродистые – 140...250; стали легированные –

100...400; бронза – 60...120; латунь – 70...140; дюралюминий – 80...150; чугун – 30...80; сосна (вдоль волокон) – 10.

Относительные деформации :

								m	m'
- продольная	ε =			l/l,			A(z)				F
- поперечная	ε	′	=	b/b.		qz		n	n' w(z)
							z
Закон Пуассона				ε′ = −νε.					l		l
Коэффициент Пуассона лежит в пределах 0 ≤ ν≤ 0,5
(пробка ν = 0 ;					сталь ν = 0,3 ;		резина ν = 0,5 )
Закон Гука	σ = Eε , где Е – модуль Юнга.
Материал Дерево				Бетон	Дюраль	Медь	Титан		Чугун	Сталь	Алмаз
Е, Гпа	10			20	70	100	100		120	200	1050
						Удлинение стержня
							l =	l	N dz .
								0∫ EA ( z )
						В частном случае, когда
					N = F = const				и EA = const,

l= EAFl .

	Условие жесткости	δ ≤[δ]
			l	N	2dz
	Потенциальная энергия упругой деформации U = ∫					.
				2EA
		0

128

3. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

y

σ

σ

τ

σ

y

3

ax

τyx

2

τyz

τxy

m

τ

τzy

σx

σz

τzx τxz

x

σ1

3

2

1

σ

z

σ3

σ2

σ1

σx

τxy

τxz

σ1

0

0

σ1 ≥ σ2 ≥ σ3

Тн = τyx

σy

τyz = 0 σ2

0

τzx

τzy

σz

0

0

σ3

τmax = 0,5 (σ1 − σ3 )

Закон парности касательных напряжений

τxy = τyx , τyz = τzy , τzx = τxz..

Обобщенный закон Гука

εxεyεz

=[σx

=[σy

=[σz

−ν(σy

−ν(σz

−ν(σx

+σz )] / E,

+σx )] / E,

+σy )] / E,

γxy

γyz

γzx

	= τxy / G,	Модуль сдвига
	= τyz / G,	G =	E			.
	= τzx / G		2(1	+ ν)

Oтносительное изменение объема: εν = εx + εy + εz = σ/ K,

где σ=(σx +σy +σz )/ 3, K = E/3(1-2ν) – модуль объемной упругости.

Удельная потенциальная энергия упругой деформации:

- полная	u =[σ2			+ σ2	+ σ2			− 2ν(σ σ					2		+ σ	2	σ	3	+ σ		σ )] /( 2E) ;
			1	2			3				1									3		1
- изменения объема								uоб	=			σ2			;
												2K
- изменения формы u		ф	=[(σ −σ			2	)2	+ (σ	2	−σ				3	)2 + (σ				3	−σ )2			] /(12G).
				1																1

129

F

3.1. Линейное напряженное состояние

(два главных напряжения равны нулю)

	x			σz	σα α F		σα = σz cos	2	α ,
a
τm		45	o			z
				σmax	τα		τα = 0,5 σz sin 2α.

Наибольшее нормальное напряжение:	σmax = σα / α= 0 = σz .
Наибольшее касательное напряжение:	τmax = τα/α=45 = 0, 5σz .

3.2. Плоское напряженное состояние

(одно из главных напряжений равно нулю)

y'

σy

x'

τyx

σx'

= σx cos

2

α + σy sin

2

α + τxy sin 2α,

σx′

σy'

τx'y'

α

′ = −0,5(σ

− σ

)sin 2α + τ

cos 2α,

x

τ ′

x

y

xy

τyx

x y

σx

σmax = 0,5[(σx + σy ) ±

(σx − σy )2 + 4τ2xy ],

min

tgα		max		= (σmax −σx ) / τxy.
					min
		min
Чистый сдвиг:
σ›	= σy		= 0,		τxy = τ,	σmax = ±τ .
						min
				Главные напряжения
σ1 = +τ,	σ2 = 0,				σ3 = −τ,	α 1 = ±45 .
						3

130

σ2

4. ГИПОТЕЗЫ ПРОЧНОСТИ

ен

в

н

я

и

в

а

м

е

р

а

е

З

м

С

м

[σр]

σ3

σ1

σэкв

σпред.р

А

КпчА КпчВ

В

Они используются для оценки прочности конструкций в случае

плоского и объемного напряженных состояний. Исходя из принятого

критерия эквивалентности, лежащего в основе той или иной гипотезы

прочности (см. таблицу, приведенную ниже), сложное напряженное

состояние заменяют эквивалентным ему растяжением.

Условие прочности представляется в виде одного из следующих

неравенств:

σэкв ≤ [σр] = σпред.р /[n]

или

n = σпред.р / σэкв ≥ [n].

Название

Критерий

Эквивалентное напряжение σэкв

Область

гипотезы,

автор

прочности

применения

Наибольших нор-

Не

мальных напряже-

σmax

σ1

рекомендуется

ний

(Галилей, ХVII в.)

Наибольших ли-

Не

нейных

εmax

σ1 − ν(σ2 +σ3 )

рекомендуется

деформаций

(Мариотт, 1682 г.)

Наибольших

касательных

τmax

σ1 −σ3

Для

напряжений

пластичных

(Кулон, 1773 г.)

материалов,

у которых

Энергии формо-

uф

1

(σ1 −σ2 )2 +(σ2 −σ3 )2 +(σ3 −σ1 )2

σтр = σтс

изменения

(Губер, 1904 г.)

2

Гипотеза О. Мора

τn = f (σn)

σ1 −mσ3

Для

σтр/σ

тс − пластичные материалы,

пластичных

(Мор, 1882 г.)

m

=

/σпчс − хрупкие материалы

и хрупких

σпчр

материалов

131

5. КРУЧЕНИЕ КРУГЛЫХ ВАЛОВ

	Mк				Mк	dA	M τ	σ3
	m	γ	n	dϕ z	τ
			n'		ρ	d
				ρ				σ1
		dρ		Mк
		dz			d			l τmax

M

Угол сдвига

Распределение

касательных

напряжений

Максимальное

касательное

напряжение

γ= ρdϕ/ dz.

τ= Mк ρ

I p

τ =	M к	ρ
	I p

Геометрические характеристики:

	dв
Форма
d	dн
	А=dв/ dн

I p	πd 4	0,1d 4	πdн4	(1 − α4 )
	32		32
Wp	πd 3	0,2d 3	πdн3	(1−α4 )
	16		16

•	полярный момент инерции	I p = ∫ρ2dA,
		A
•	полярный момент сопротивления	Wр = I p /ρmax .
Углы закручивания:
•	относительный	θ = dϕ/dz = M к / (GI р) ,
•	абсолютный (при Mк = M = сonst)	ϕ=Mкl / (GI p ).

Расчет валов сводится к одновременному удовлетворению двух условий:

•	прочности τmax = M кmax /Wp ≤ [τ], откуда dпч ≥ 3	16M кmax ;
		π[τ]
•	жесткости θmax = M кmax / (GI p ) ≤[θ], откуда dж	≥ 4 32M кmax .
		πG[θ]

132

Допускаемые величины:			(0,55...0,60)[σр] - длястали;
	касательное напряжение
•			[τ] =	[σ		]	- для чугуна;
			(1,0...1,2)		р
•	относительный угол закручивания			град/м).
	[θ] = 3,5...17,5 мрад/м (0,20...1,0
Потенциальная энергия упругой деформации U = ∫Mк2dz/( 2GI p ).
						l
	6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
		ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
			y			η
Статические моменты			хс
	Sx = ∫ ydA,	S y = ∫xdA.					ξ
	A	A	x
Координаты центра тяжести					dA
							с
	xc = Sy /A,	yc = Sy /A.	ρ				y
							x
				y
Моменты инерции:			0
•	осевые	Ix = ∫ y2dA, I y = ∫x2dA;
			A	A

•	центробежный		I xy = ∫xydA;
				A
•	полярный	I p = ∫ρ2dA = ∫ρ2dA = ∫(x2 + y2 )dA = Ix + I y .
		A	A	A
Радиусы инерции			ix2 = I x /A,	iy2 = I y /A.

Преобразование моментов инерции при параллельном переносе осей (переход от центральных осей ξ,η к произвольным x, y):

Ix = Iξ + y c2 A, I y = Iη + xc2 A, Ixy = Iξη + xc yc A.

133

y

η

y

η

η

y

η

ξ

ξ

R

ξ

ξ

h

C

h

C

d=2

C

C

x

x

x

b

b

R

xc = 0,5b

yc = h/3

ξc = ηc = 0

yc = 4R / 3π 0,42R

Iξ = bh3 /12

Iξ = bh3 / 36

Iξ = Iη = πR4 4

Iξ = Iη = 0,055R4

Ix = bh3 / 3

Ix = bh3 /12

Ip = πR4 / 2

Ix = Iy = πR4 /16

y

y

Преобразование моментов

инерции при повороте осей

A

I x′

= I x cos2

α + I y sin2 α − I xy sin 2α ,

dA

x

= I x sin2 α + I y cos2 α + I xy sin 2α ,

y

I y′

y

I x′ y′ = 0,5(I x − I y ) sin 2α+I xy cos 2α .

x α

x

Главные моменты инерции

0

x

Imax = I1,2 = 0,5 [(Ix + I y ) ± (Ix − I y )2 + 4Ixy2 ].

min

Положение главных осей

tgαmax = (Ix − Imax) / Ixy.

min min

7.ПЛОСКИЙ ПРЯМОЙ ИЗГИБ

7.1.Определение напряжений и расчет на прочность

134