лекция 7

	z +	p	+	W 2	= z		+	p	+	W 2
		1		1				2		2 .	(7.29)
		ρg				2		ρg
	1			2g						2g

Отсюда следует важный вывод о том, что для записи уравнения не важно, как течет жидкость между сечениями 1 и 2. Достаточно, чтобы условия одномерности соблюдались в этих сечениях. Из (7.29) также видно, что разница (z2 − z1) не изменится, если горизонтальную линию (ось) отсчета z провести

произвольно. Отсюда же следует, что геометрическую высоту z можно (и это удобно) отсчитывать от оси горизонтального канала. При этом показания пьезометра отсчитываются не от точки присоединения пьезометра, а от оси канала, на которой z = 0 .

Вводя избыточное давление pи как
pи = p − pH ,	(7.30)

где pH - атмосферное давление на высоте H над уровнем моря, уравнение (7.29) можно записать для избыточных давлений в виде:

z +	p	+	W 2	= z		+	p	2и	+	W 2	(7.31)
	1и		1		2					2
1	ρ g		2g				ρg			2g

Умножив обе части уравнения (7.25) на ρ , получим

	ρgz + p +	ρW 2	= const ,	Н	≡	Дж .	(7.32)
		2		м2
						м3

Втакой форме записи все слагаемые уравнения имеют размерность давления.

Вряде задач, обычно при описании течения газов, влияние силы тяжести несущественно. В этом случае уравнение (7.32) часто записывается в виде

	p +	ρW 2	= const = p* ,	(7.33)
		2

где p* - полное давление (давление торможения), которое можно измерить

трубкой полного напора (давления) (Трубка полного напора (трубка Пито) — это изогнутая трубка, открытый конец которой помещается в точку измерения полного давления, а ось изогнутого конца трубки располагается вдоль направления течения). Струйка жидкости полностью затормаживается перед открытым концом такой трубки, причем торможение газа происходит изоэнтропически, а весь скоростной напор капельной жидкости складывается с пьезометрическим, достигая полного напора.

С.М. Мухаметшин. Лекции по гидрогазодинамике

~ 11 ~

Согласно (7.33) с ростом скорости давление падает и наоборот. Такой же вывод был сделан из соотношений (7.22) и (7.23).

Чтобы воспользоваться уравнением Бернулли (7.24) для газа, необходимо знать зависимость ρ = ρ( p) , то есть уравнение термодинамического процесса, что

позволит вычислить функцию давления
P = ò dp .	(7.34)
ρ

Обобщенное уравнение Бернулли

В технике обычно рассматриваются случаи движения вязких жидкостей и газов, сопровождающиеся выполнением внешней механической работы. Последнюю часто отождествляют с технической работой, например, работой насоса или компрессора, хотя понятие «внешней работы» шире: оно включает ту составляющую работы сил трения, которая идет на увеличение кинетической энергии жидкости и диссипация которой не происходит.

Если на участке между сечениями 1 и 2 жидкость или газ совершают работу lr по преодолению сил гидравлического сопротивления (прим.: обычно

считается, что работа трения полностью превращается в теплоту трения и полностью воспринимается жидкостью) и техническую работу l , например,

вращают колесо турбины, то уравнение Бернулли запишется в виде уравнения баланса механической энергии, которое для газа будет иметь такой вид

gz +

1

dp

+

W

2

+

2

dp

+

W

2

(7.35)

ò0

1 = gz

2

ò0

2 + l + l , Дж/кг.

1

ρ

2

ρ

2

r

В таком виде оно часто называется обобщенным уравнением Бернулли. Перенося члены уравнения (7.35) в одну сторону, получим

g(z		- z ) +	2	dp	+	W 2	-W 2		(7.36)
	2		ò1			2		1 + l + l = 0 .
		1		ρ			2	r

Устремляя сечение 2 к сечению 1, перейдем к дифференциальной форме обобщенного уравнения Бернулли в виде:

g dz + dp	æ		2
	+ d çW
ρ	è	2

ö

÷ + dlr + dl = 0 . (7.37)

ø

Это уравнение можно интегрировать от начального сечения (например, «1») до любого промежуточного. Если учесть, что dp / ρ = vdp , а

vdp = d( pv) − pdv ,	(7.38)
С.М. Мухаметшин. Лекции по гидрогазодинамике	~ 12 ~

из (7.36) можно записать выражение для технической работы в виде

					2	W 2 −W 2		+ lr .	(7.39)
		−l = g(z2 − z1) + ( p2v2 − p1v1) − ò pdv +				2	1
					1	2
Согласно	(7.39) техническая		работа	идет	на изменение			энергии	положения
g(z2 − z1) ,	на	проталкивание	газа (работа		«ввода-вывода») ( p2v2 − p1v1) , на
			2
деформацию		жидкого объема ò pdv ,		изменение		его	кинетической энергии
			1

(W22 −W12 ) / 2 и на преодоление сил гидравлического сопротивления lr . Для ρ = const уравнение (7.35) запишется в виде

p

W 2

p

2

W

2

gz

+

1

+

1

= gz

2

+

+

2

+ l + l

(7.40)

1

ρ

2

ρ

2

r

или в виде

z +

p

+

W 2

= z

+

p

+

W 2

+ h + h,

(7.41)

1

1

2

2

2

1

ρg

2g

ρg

2g

r

где hr - потери напора

на

участке

1

-

2

на

преодоление

гидравлических

сопротивлений (гидравлические потери), h - изменение напора при совершении технической работы.

При одномерной трактовке реального течения в уравнении Бернулли используется среднерасходная (средняя) скорость Wcp.

Кинетическая энергия потока, рассчитанная с учетом действительного профиля скоростей, отличается от энергии, подсчитанной по средней скорости.

Степень этого отличия учитывается коэффициентом Кориолиса или

коэффициентом неравномерности поля скоростей

3

W

2

òF W22

dQ

òW

dF

ò

2

WdF

Q

α =

F

=

F

=

,

(7.42)

W 3 F

W 2

W

2

cp

cp

W F

cp

2

cp

2

С.М. Мухаметшин. Лекции по гидрогазодинамике

~ 13 ~

òW 2 dQ

где F 2 – осредненная по расходу удельная кинетическая энергия потока в

Q

		W 2
	данном сечении,	cp	– удельная кинетическая энергия потока в данном сечении,
		2

рассчитанная по средней скорости.

При турбулентном режиме течения при небольших числах Рейнольдса α=1,1–1,15. С ростом числа Рейнольдса α падает, стремясь к единице, то есть профиль скорости триближается к равномерному. При ламинарном режиме течения α=2.

Поправку на неравномерный профиль скорости необходимо вносить и в уравнение количества движения.

С учетом α и при отсутствии технической работы обобщенное уравнение Бернулли (7.41) запишется так

p

W 2

p

2

W 2

z

+

1

+ α

1 = z

+

+ α

2

+ h .

(7.43)

ρ g

1

ρ g

1 2g

2

2 2g

r

Учитывая (7.26), соотношению (7.43) можно придать такой вид

H1 = H2 + hr .

(7.44)

Отсюда

H2 = H1 − hr .

(7.45)

Так как hr > 0, то при течении по каналу вязкой жидкости ее полный напор

в направлении течения падает, то есть H2 < H1.

При z1 = z2 в канале постоянного сечения,

для которого при ρ = const и

постоянном расходе

W1 =W2 ,

при

α1 ≈ α2

из

(7.43) следует

способ

экспериментального определения гидравлических потерь:

h =

p1 − p2

=

p

,

(7.46)

r

ρg

ρg

где p = p1 − p2 – потери

давления,

определяемые

с помощью пьезометров.

Поэтому часто в (7.43) вместо hr

используется обозначение hr .

Учитывая (7.33) и (7.43) гидравлические потери можно определить и как

разность полных давлений

С.М. Мухаметшин. Лекции по гидрогазодинамике

~ 14 ~

h

*

=

p* − p*

1

2

.

(7.47)

r

ρg

Рассмотрим частный случай энергоизолированного течения, для которого

qe = 0 и l = 0, идеального газа (при этом и lr

= 0 ). Ниже будет показано, что такое

течение является изоэнтропным

Для

адиабатического

течения (qe = 0 )

справедливо соотношение

p

= const .

(7.48)

ρk

Нетрудно убедиться, что для этого случая

2

dp

k

p

k p

ò

ρ

=

2

−

1

,

(7.49)

k −1

ρ

k −1

ρ

1

2

1

а уравнение (7.36) для идеального энергоизолированного течения газа

приобретает вид

k

p

2

k

p

W 2

−W 2

g(z

2

− z ) +

−

1

+

2

1

= 0

(7.50)

1

k

−1

ρ2

k −1 ρ1

2

и может быть записано для произвольных сечений 1 и 2 в виде

k p

W 2

k

p

2

W 2

gz +

1

+

1 = gz

+

+

2 .

(7.51)

k −1 ρ

k −1

ρ

1

2

2

2

2

1

Так как сечения 1 и 2 произвольные, можно записать, что

gz +

k

p

+

W 2

= const .

(7.52)

k −1 ρ

2

Для идеальной несжимаемой жидкости соответствующее уравнение

запишется в виде (7.25):

gz +

p

+

W 2

= const .

(7.53)

ρ

2

Отличие уравнений (7.52) и (7.53) состоит в наличии сомножителя

k

,

k −

1

который учитывает сжимаемость.

~ 15 ~

С.М. Мухаметшин. Лекции по гидрогазодинамике

Рекомендации по применению уравнения Бернулли для решения задач.

С помощью уравнения Бернулли решаются многие задачи гидрогазо- динамики. При применении уравнения Бернулли важно правильно выбрать те два сечения по длине потока , для которых оно записывается. В этих сечениях должны соблюдаться условия одномерности. Для потока реальной жидкости с этой целью вводится коэффициент α неравномерности поля скоростей (коэффициент Кориолиса). Рекомендуется учитывать его лишь при ламинарном режиме течения, для которого α = 2 . Для турбулентных потоков можно принимать α =1.

В качестве сечений рекомендуется выбирать:

- свободную поверхность жидкости в баке (резервуаре), где, ввиду малости, можно считать, что W = 0;

- выход в атмосферу, где при дозвуковом истечении p = pH , а pи = 0;

-сечения, к которым присоединены те или иные измерительные приборы (манометры, пьезометры и т.п.);

-неподвижный воздух, находящийся вдалеке от входа в трубу (канал), в которую происходит всасывание из атмосферы.

Выбранным сечениям необходимо присвоить цифровые или буквенные обозначения, которые лучше всего показать на соответствующем рисунке.

Два сечения потока выбираются так, чтобы для одного из них были известны величины z, p , W , а для другого - одна или две из них подлежали

определению. При двух неизвестных кроме уравнения Бернулли дополнительно используют уравнение неразрывности (расхода). Затем выбирают новую пару, в которую войдет одно сечение с известными параметрами и т.п.

Уравнение Бернулли рекомендуется сначала записать в общем виде, в

котором присутствуют три слагаемых в удобном для решения задачи варианте размерности этих слагаемых. При этом индекс у всех слагаемых должен соответствовать выбранным обозначениям. Использование других индексов в процессе дальнейших преобразований, замена членов уравнения или исключение членов, равных нулю, должно быть обосновано.

При записи уравнения Бернулли для течения реальных жидкостей, сопровождающихся выполнением механической работы, записывается уравнение баланса механической энергии между выбранными сечениями потока, часто называемое обобщенным уравнением Бернулли. Так как сумма трех слагаемых в

уравнении Бернулли выражает удельную механическую энергию жидкости в соответствующем течении, то суммарные потери энергии при течении или энергия, отведенная от жидкости, например, в турбине, уменьшают энергию жидкости, а поэтому в правой части обобщенного уравнения Бернулли они записываются со знаком плюс. Такой подход соответствует правилу знаков, принятому в термодинамике.

При записи уравнения Бернулли и проведении преобразований такжз необходимо учитывать следующее:

- вертикальная ордината z всегда отсчитывается от произвольной горизонтальной плоскости вверх; эту плоскость (сравнения) целесообразно

С.М. Мухаметшин. Лекции по гидрогазодинамике

~ 16 ~

провести через центр одного из выбранных сечений, тогда одна ордината z будет равна нулю, а если оба сечения лежат на одной горизонтальной оси, то будут равны нулю обе ординаты z;

- давление p , входящее в правую и левую части уравнения должно быть задано в одной системе отсчета (абсолютной или избыточной);

-когда жидкость подводится к баку (резервуару) можно считать, что вся кинетическая энергия жидкости теряется, причем, в случае ламинарного течения, необходимо учесть коэффициент α ;

-при использовании формулы Вейсбаха или других подобных зависимостей для расчета гидравлических потерь следует обращать внимание на указания относительно того, по какой средней скорости (или какой площади сечения) рассчитаны заданные в справочных данных коэффициенты сопротивления.

С.М. Мухаметшин. Лекции по гидрогазодинамике

~ 17 ~