1. . Виды колебаний, основные характеристики

Виды механических колебаний.

    Механическими колебаниями (или просто колебаниями) называется такое движение механической системы при котором обобщенные координаты и их производные изменяются во времени периодически возрастая или убывая.

    Различают следующие виды механических колебаний:

• свободные или собственные колебания - происходящие без переменного внешнего воздействия и поступления энергии извне;

• периодические - при которых значения обобщенной координаты и ее производных циклически повторяются (если это условие не выполняется, то колебания апериодические);

• вынужденные - вызываемые и поддерживаемые переменной во времени внешней силой;

• параметрические - вызываемые изменением во времени динамических параметров системы ( жесткости, массы или момента инерции, демпфирования и др.);

• автоколебания - стационарные колебания возбуждаемые и поддерживаемые за счет энергии поступающей от источника неколебательного характера, в которой поступление энергии регулируется движением самой системы;

• другие виды колебаний.

Основные характеристики:

• Амплитуда — максимальное отклонение колеблющейся величины от некоторого усреднённого её значения для системы,  (м)

• Период — промежуток времени, через который повторяются какие-либо показатели состояния системы (система совершает одно полное колебание),  (сек)

• Частота — число колебаний в единицу времени,  (Гц, сек⁻¹).

Период колебаний  и частота  — обратные величины;

 и 

В круговых или циклических процессах вместо характеристики «частота» используется понятие круговая (циклическая) частота  (рад/сек, Гц, сек⁻¹), показывающая число колебаний за  единиц времени:

• Смещение — отклонение тела от положения равновесия. Обозначение Х, Единица измерения метр.

• Фаза колебаний — определяет смещение в любой момент времени, то есть определяет состояние колебательной системы.

2.Свободные гармонические колебания

Гармонические колебания - периодический процесс, в котором рассматриваемый параметр изменяется по гармоническому закону. Если на колебательную систему не действуют внешние переменные силы, то такие колебания называются свободными. Рассмотрим массу, которая колеблется на пружине как показано на рисунке. Если амплитуда колебаний мала, то координата x массы по вертикальной оси изменяется по гармоническому закону: x = Asin(wt + j) где A - амплитуда колебаний, t - время, j - фаза колебаний, w - угловая частота колебаний, w = 2pn = 2p /T, n - частота колебаний, T - период колебаний. Далее мы найдём период колебаний T пружинного маятника, состоящего из грузика массой m и пружины жёсткостью k. Если грузик смещён из нулевого положения  (в котором пружина не деформирована) на расстояние x, то на грузик со стороны пружины будет действовать сила -kx. Помимо этого на грузик действует сила тяжести mg. Согласно второму закону Ньютона, сумма всех сил, приложенных к грузику, равна ma, где a - ускорение. Таким образом, мы можем записать дифференциальное уравнение для пружинного маятника: md2x/dt2 =  -kx + mg где g - ускорение свободного падения в гравитационном поле,d2x/dt2 - вторая производная координаты x по времени t. Это уравнение имеет следующее решение: x  = Asin[(k/m)1/2t + j] + mg/k Мы можем видеть из этой формулы, что период колебаний равен T = 2p(m/k)1/2 и, соответственно, угловая частота w равна w = (k/m)1/2 Амплитуда колебаний A и фаза колебаний j зависят от начальных условий (в момент времени t=0): начального смещение грузика x0 и начальной скорости v0. В состоянии равновесия пружина растянута на величину mg/k. Предположим, что колеблющийся грузик связан с пером, который рисует линию на бумажной ленте. Если лента движется равномерно в горизонтальном направлении, то перо будет рисовать на ней синусоиду. Зная скорость движения ленты и период синусоиды, мы можем вычислить период колебаний грузика на пружине. В общем случае на осциллятор действует сила трения, пропорциональная скорости движения грузика: F=av. В случае пружинного маятника эта сила возникает из-за сопротивления воздуха и неупругих свойств самого материала, из которых изготовлена пружина. В результате, амплитуда колебаний будет со временем уменьшаться. Уравнение свободного гармонического осциллятора с затуханием может быть записано следующим образом: m(d2x/dt2) + a (dx/dt) + kx = mg где a - коэффициент трения. Это уравнение может быть переписано в виде d2x/dt2+ 2g(dx/dt) + W2x = g где 2g = a / m; W2=k /m В случае, когда  W2 > g2 уравнение колебаний свободного гармонического осциллятора с затуханием имеет следующее решение: x = Ae-gtcos(wt + j ) При этом период колебаний зависит от коэффициента затухания g : T = 2p/w = 2p/(W2 -g2)1/2